《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;3 第2課時(shí) 平面向量基本定理 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;3 第2課時(shí) 平面向量基本定理 Word版含答案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、20192019 版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版）版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 第 2 課時(shí) 平面向量基本定理 核心必知 平面向量基本定理 (1)定理： 如果e e1，e e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量， 那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a a1e e12e e2. (2)基底：我們把不共線的兩個(gè)向量e e1，e e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 問(wèn)題思考 1零向量可以作為基底的一個(gè)向量嗎？ 提示：不能因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量都是共線向量 2平面向量的基底是唯一的嗎？ 提示：不是平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，當(dāng)基底一旦確定后，平面內(nèi)任何一向量都可以用這
2、一基底唯一表示 3為什么平面向量基本定理中要求e e1，e e2不共線？ 提示：若e e1e e2，則e e2e e1，a a1e e12e e2(12)e e1 故a ae e1，即用e e1，e e2只能表示與之共線的向量 講一講 1 如果e e1，e e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，R R， 那么下列說(shuō)法中不正確的是( ) e e1e e2可以表示平面內(nèi)的所有向量； 對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量a a，使得a ae e1e e2的實(shí)數(shù)對(duì)(，)有無(wú)窮多個(gè)； 平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a a都可以分解為a ae e1e e2的形式，且這種分解是唯一的； 若e e1e e2，則0. A B C D 嘗試解答
3、 由平面向量基本定理知，正確；對(duì)于，若e e1e e2，則 0 0e e1()e e2，因?yàn)閑 e1，e e2不共線，所以必有0，正確；對(duì)于，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故不正確 答案 D 1由平面向量基本定理可知：基底不唯一，一組基底中的兩向量不共線；平面內(nèi)的任意向量a a都可在給出的基底下進(jìn)行分解；基底給定時(shí)，分解形式唯一，即，是被a a，e e1，e e2唯一確定的一對(duì)實(shí)數(shù) 2解決這種概念性問(wèn)題的關(guān)鍵是深刻理解平面向量基本定理的意義和基底的概念 練一練 1設(shè)e e1，e e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能
4、作為基底的是( ) Ae e1e e2和e e1e e2 B3e e14e e2和 6e e18e e2 Ce e12e e2和 2e e1e e2 De e1和e e1e e2 解析：選 B 6e e18e e22(3e e14e e2)， (6e e18e e2)(3e e14e e2)， 3e e14e e2和 6e e18e e2不能作為平面的基底 2設(shè)e e1，e e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a ae e1e e2(，R R)，有下列結(jié)論： 若a a與e e1共線，則0； 若a a與e e2共線，則0； 若a a0 0，則 0. 以上結(jié)論正確的是_(填序號(hào)) 解析：若a a與e
5、e1共線，則a ae e1e e10e e2， 0，故不正確，正確；若a a0 0，則 e e1e e20 0， 0，故正確 答案： 講一講 2如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知d d，試用c c，d d表示. 將代入得a ad d12(c c12a a) a a43d d23c c23(2d dc c)，代入 得b bc c1223(2d dc c)23(2c cd d) 利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法以及數(shù)乘向量進(jìn)行線性運(yùn)算，解決此類問(wèn)題時(shí)， 要仔細(xì)分析所給圖形， 借助于平面幾何知識(shí)和向量共線定理及平面向量基本定理解決 練一練 3. 如圖，A
6、BCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若b b，試以a a，b b為基底表示. 13(a ab b) 講一講 3已知D、E、F分別是ABC的BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)試用向量法證明：AD、BE、CF交于一點(diǎn) 1利用向量證明幾何問(wèn)題是其工具性的體現(xiàn)操作時(shí)，為明確方向，常常選取問(wèn)題中不共線的線段對(duì)應(yīng)的向量作為基底 2就本題而言，充分利用三點(diǎn)共線和基底表示向量的唯一性來(lái)構(gòu)建方程(組)求解，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在 練一練 4已知O，A，B，P是平面內(nèi)的四點(diǎn)，且O，A，B三點(diǎn)不共線，若 (，R R)，試求當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線 解：由向量共線定理知，若A，B，P三點(diǎn)共線，則
7、存在唯一 由平面向量基本定理可知，唯一 1t，t，1. 故當(dāng)1 時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線. 已知e e1 10 0，R R，a ae e1 1e e2 2，b b2e e1 1，則a a與b b共線的條件為( ) A0 Be e20 0 Ce e1 1e e2 De e1 1e e2或0 錯(cuò)解 若0，則a ae e1，又b b2e e1， a a12b b， a a與b b共線，故選 A. 錯(cuò)因 錯(cuò)解之處在于考慮問(wèn)題不全面，在應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)要注意a a1e e12e e2中，e e1，e e2不共線這個(gè)條件，若沒(méi)有指明，應(yīng)對(duì)e e1，e e2共線的情況加以考慮 正解 若e e1e e2時(shí)
8、，e e10 0，e e2t e e1(tR R) a ae e1e e2(1t)e e11 t2b b， a a與b b共線， 若e e1與e e2不共線，要使a a與b b共線，則a atb b(tR R)， 即e e1e e22te e1，亦即(12t)e e1e e20 0，0. 答案 D 1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組： ，其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是( ) A B C D 解析：選B 中兩向量不共線，由基底的定義知，可以作為基底 2下列結(jié)論中正確的是( ) a ab b存在唯一的實(shí)數(shù)，使a ab b a ab b存在不全為零的實(shí)數(shù)1
9、和2，使1a a2b b0 0 a a與b b不共線，則1a a2b b0 0120 a a與b b不共線不存在實(shí)數(shù)1，2，使1a a2b b0 0 A B C D 解析：選B 對(duì)于，若b b0 0，則a ab b，但當(dāng)a a0 0 時(shí)，使a ab b成立的有無(wú)數(shù)個(gè)，所以不正確；根據(jù)向量共線的判定及性質(zhì)定理知正確；根據(jù)平面向量基本定理知正確，不正確，因?yàn)閍 a，b b不共線時(shí)，存在120，使1a a2b b0 0. 3. 如圖，在矩形ABCD中，若5e e1，( ) A.12(5e e13e e2) B.12(5e e13e e2) C.12(3e e25e e1) D.12(5e e23e
10、e1) 4已知向量i i，j j不共線，實(shí)數(shù)，滿足等式 3i i(10)j j2i i(47)j j，則的值為_(kāi)，的值為_(kāi) 解析：由 3i i(10)j j2i i(47)j j得 i i(35)j j0 0. i i，j j不共線，0，350，得0，35. 答案： 0 35 5 若a ae e13e e2，b b4e e12e e2，c c3e e112e e2， 則向量a a寫為b bc c的形式是_ 解析：由b b4e e12e e2，c c3e e112e e2得，b b22e e1e e2，c c3e e14e e2. b b2c c3e e13e e2a a，即a a12b b13
11、c c. 答案： 12b b13c c 一、選擇題 1已知e e1，e e2是不共線向量，a a2e e1e e2，b be e1e e2，當(dāng)a ab b時(shí)，實(shí)數(shù)等于( ) A1 B0 C12 D2 解析：選 D 當(dāng)a ab b時(shí)，a atb b(tR R)，則 2e e1e e2t(e e1e e2)，即(2t)e e1(1t)e e20 0. e e1，e e2不共線，2t0，1t0，得2. 2已知a a，b b是不共線的向量，ABa ab b，ACa ab b，R R，若A、B、C三點(diǎn)共線，則，滿足的條件為( ) A2 B1 C1 D1 3 在ABC中， 點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)， 且，Q是BC
12、中點(diǎn)， 若，則的值為( ) A.12 B.23 C12 D23 4設(shè)起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a a，b b，3a a2b b的終點(diǎn)分別為A，B，C，則( ) AA，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn) BA，B，C三點(diǎn)共線 二、填空題 5如圖，每個(gè)小正方形方格的長(zhǎng)度為單位 1，以向量e e1，e e2作為基底，則a ab b_ 解析：a ab b2e e2e e1. 答案：2e e2e e1 6已知e e1，e e2不共線，a ae e12e e2，b b2e e1e e2，要使a a，b b能作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 解析：若a ab b，則4，故a a，b b能作為基底
13、的條件為4. 答案：|R R 且4 7. 如圖，在ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若，則_. 23. 答案：23 8ABC中，DEBC，且DE與AC相交于點(diǎn)E，M是BC的中點(diǎn)，AM與DE相交于點(diǎn)N，若 (x，yR R)，則xy_ 解析： 如圖，DEBC， 14x，y，得xy14. 答案：14 三、解答題 9設(shè)e e1 1，e e2 2是不共線的非零向量，且a ae e1 12e e2 2，b be e1 13e e2 2. . (1 1)證明：a a，b b可以作為一組基底； (2)以a a，b b為基底，求向量c c3e e1 1e e2 2的分解式； (3)若 4e e1 13e e2 2a a
14、b b，求，的值 解：(1)證明：設(shè)a ab b(R R)， 則e e1 12e e2 2(e e1 13e3e2 2) 由e e1 1，e e2 2不共線得 1321，23， 不存在，故a a與b b不共線，可以作為一組基底 (2)設(shè)c cma anb b(m、nR R)，得 3e e1 1e e2 2m(e e1 12e2e2 2)n(e e1 13e3e2 2) (mn)e e1 1(2m3n)e e2 2. mn32m3n1m2，n1， c c2a ab b. (3)由 4e e1 13e e2 2a ab b，得 4e e1 13e e2 2(e e1 12e e2 2)(e e1 13e3e2 2) ()e e1 1(23)e e2 2. 4，233.3，1. 故所求、的值分別為 3 和 1. 10在平面上給定一個(gè)ABC，試推斷平面上是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段AP的中點(diǎn)為M，BM的中點(diǎn)為N，CN的中點(diǎn)為P？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)；若不存在，說(shuō)明理由 解： 假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)P，如圖所示， M是AP的中點(diǎn)， N是BM的中點(diǎn)，由平行四邊形法則，
高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;3 第2課時(shí) 平面向量基本定理 Word版含答案
