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1、高一數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生抽象思維能力的教學(xué)策略
趙 菁 （3470）
內(nèi)容提要：隨著知識(shí)的深化和理論知識(shí)的增加，高中數(shù)學(xué)的抽象特征明
顯加大，對(duì)抽象思維能力的要求明顯提高。本文從多角度探討高一數(shù)學(xué)
教學(xué)過(guò)程中提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的幾條途徑。借助已有知識(shí)，通過(guò)恰
當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化，尤其是數(shù)形轉(zhuǎn)化的思維訓(xùn)練，加深符號(hào)語(yǔ)言的理解，逐
漸形成熟練的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)習(xí)慣；重視概念形成過(guò)程的教學(xué)，注重學(xué)生
的參與和自主探求，提升自覺(jué)運(yùn)用抽象語(yǔ)言進(jìn)行代數(shù)形式化的能力。在
此基礎(chǔ)上，揭示相關(guān)概念之間的內(nèi)在了解，在新的視角內(nèi)，幫助學(xué)生搭
建更系統(tǒng)
2、的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而進(jìn)一步加深概念本質(zhì)的理解。最后，還要多
角度運(yùn)用抽象概念，解決具體問(wèn)題，提高抽象概念的運(yùn)用意識(shí)，進(jìn)一步
提升數(shù)學(xué)思維能力。
主 題 詞：抽象思維能力 教學(xué)策略
一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)在抽象思維要求上明顯提高
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確性等特點(diǎn)，其中內(nèi)容的抽象性是最本質(zhì)的特征。從教材來(lái)看，隨著知識(shí)的深化和理論知識(shí)的增加，進(jìn)入高中以后，數(shù)學(xué)的抽象特征明顯加大，體現(xiàn)在大量的數(shù)學(xué)抽象概念以及符號(hào)語(yǔ)言的廣泛使用；就學(xué)生而言，對(duì)概念的理解和應(yīng)用的考察要求明顯提高。
在初中教學(xué)中，往往通過(guò)歸納的方法獲得
3、事物的共同屬性，而高中數(shù)學(xué)中，則不僅要得到性質(zhì)，更要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貜睦碚撋蠈?duì)結(jié)論加以證明。如，函數(shù)的單調(diào)性變化，在初中，只是觀察獲得一次函數(shù)、二次及反比例函數(shù)的變化規(guī)律，高中則從根本上給出了這種外在表現(xiàn)的實(shí)質(zhì)，是函數(shù)的自變量與因變量的變化關(guān)系。初中代數(shù)學(xué)習(xí)較多的是模仿訓(xùn)練，推理能力主要是通過(guò)平面幾何的論證來(lái)實(shí)現(xiàn)，其推理的過(guò)程多數(shù)依賴直觀的幾何圖形，而高中則較多地增加了代數(shù)推理，訓(xùn)練學(xué)生抽象概念的理解和具體運(yùn)用。由于對(duì)這種形式化的推理與證明缺乏必要的思維訓(xùn)練和心理準(zhǔn)備，缺乏符號(hào)化、數(shù)學(xué)化的能力，在解決一些模型化、形式化的問(wèn)題時(shí)，如應(yīng)用題、定理證明、代數(shù)推理等能力題時(shí)，較難找到有效的解題策略，大多數(shù)學(xué)生會(huì)
4、覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常抽象，出現(xiàn)困難。
那么，如何通過(guò)課堂教學(xué)，幫助學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，進(jìn)而進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)思維能力，為高二高三階段的學(xué)習(xí)與提高打好基礎(chǔ)，是擺在高一教師面前的重點(diǎn)任務(wù)。
二、提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的教學(xué)策略
（一）借助已有知識(shí)，通過(guò)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化，加深符號(hào)語(yǔ)言的理解
數(shù)學(xué)信息表達(dá)通常有三種形式：文字信息、圖形信息、符號(hào)信息。各種信息各有其特點(diǎn)，并發(fā)揮著不同的功能，但表達(dá)的數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性都是一樣的，可以相互轉(zhuǎn)換。因此，新概念的學(xué)習(xí)可以借助已有的數(shù)學(xué)背景和直觀的圖形語(yǔ)言，通過(guò)三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，加深對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的理解。
集合是學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后
5、接觸的第一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，也是高一數(shù)學(xué)的第一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)知識(shí)。教學(xué)中，要善于借用已有的知識(shí)背景，通過(guò)不同層次
趙 菁：四中數(shù)學(xué)教師。郵編：100034。
的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生理解和掌握集合語(yǔ)言表達(dá)的內(nèi)涵，克服抽象符號(hào)學(xué)習(xí)與使用中的困難，提升對(duì)抽象的集合符號(hào)的理解能力，從而建立學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。
例如集合、、和等，都是用集合符號(hào)表達(dá)的具體事物，對(duì)初學(xué)者是非常抽象的內(nèi)容。學(xué)生們說(shuō)：“其中的每個(gè)字母、每個(gè)符號(hào)我都認(rèn)識(shí)，但組合在一起，就不知道是什么了?！逼鋵?shí)也就是體現(xiàn)了對(duì)抽象符號(hào)的認(rèn)識(shí)存在困難。為解決這一困難，我們可以運(yùn)用對(duì)抽象符號(hào)賦值使之具體化的辦法，將抽象符號(hào)的具體體現(xiàn)表達(dá)出來(lái)，通過(guò)
6、具體事物來(lái)認(rèn)識(shí)其共性。而以上數(shù)學(xué)符號(hào)的具體體現(xiàn)又有數(shù)和形不同的表現(xiàn)，因此，借助于一次、二次函數(shù)等已有的知識(shí)背景，從數(shù)和形兩個(gè)方面分別認(rèn)識(shí)集合中的元素，有助于建立起這種數(shù)形結(jié)合、相互解釋、相互映證的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和能力。
（二）重視概念形成過(guò)程的教學(xué)，加深概念的本質(zhì)理解，提升運(yùn)用抽象語(yǔ)言進(jìn)行代數(shù)形式化的能力
數(shù)學(xué)中的概念都是實(shí)物的共性的數(shù)學(xué)描述。從具體的事例中抽取實(shí)物的共性，其本身就是數(shù)學(xué)抽象過(guò)程。在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視由具體形象抽象到數(shù)學(xué)表述的概念教學(xué)，切不可錯(cuò)過(guò)這一提升學(xué)生歸納、抽象的機(jī)會(huì)。要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生主動(dòng)參與事物共性的發(fā)現(xiàn)與抽象過(guò)程，形成概念，再將其本質(zhì)屬性逐步用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確的
7、表述，這就是數(shù)學(xué)的形式化過(guò)程。
下面以“函數(shù)單調(diào)性”為例說(shuō)明。
[問(wèn)題1]觀察以下函數(shù)，并歸納共性:
答曰：在定義域范圍內(nèi)，x增大，y增大。
[問(wèn)題2]已學(xué)過(guò)的函數(shù)中,哪些具有這種特征?如何判斷？如一次、二次函數(shù)，可以通過(guò)畫圖判斷，但不熟悉的函數(shù)如：如何判斷
方法1：試數(shù)猜想
質(zhì)疑：特殊值如何保證一般性？
方法2：證，
質(zhì)疑：，如何保證不管大多少，都有呢。
逐步引出定義，
隨著這些問(wèn)題的探索、思考、討論、比較和總結(jié)，學(xué)生的思維逐步由感性走向理性，由淺顯走向深入，由模糊走向精確，并將形象的思考逐步抽象為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)。由于學(xué)生參與了事物共性的
8、抽取和具體圖像性質(zhì)的準(zhǔn)確代數(shù)化過(guò)程，對(duì)這一概念的本質(zhì)特征的理解以及代數(shù)抽象表述都能較好的接受，同時(shí)也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
（三）揭示內(nèi)在了解，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加深概念理解
數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的深刻的內(nèi)在了解，包括各部分知識(shí)之間的橫向了解和知識(shí)在各自發(fā)展過(guò)程中的縱向了解。
對(duì)于函數(shù)這章中的幾個(gè)重要概念，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，雖研究的角度各不相同，但其共性在于都是研究自變量和因變量的變化關(guān)系。又如函數(shù)、方程、不等式三個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生從初中開(kāi)始接觸，到高一才可能形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，理解它們內(nèi)在的緊密了解，那就是方程和不等式都是函數(shù)在特殊數(shù)學(xué)條件下的變化形式，
9、是典型的事物一般性特征和特殊性特征的關(guān)系。
在教學(xué)過(guò)程中，一方面要關(guān)注各個(gè)數(shù)學(xué)概念的特殊特征，另一方面更要重視知識(shí)體系的建立，強(qiáng)調(diào)概念之間的共性與了解，使學(xué)生既能準(zhǔn)確理解概念，加深理解，同時(shí)又能構(gòu)建完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在更全面的知識(shí)體系內(nèi)靈活運(yùn)用概念，逐漸形成自覺(jué)地從不同角度分析研究事物的思維能力。
（四）運(yùn)用抽象概念，解決具體問(wèn)題，強(qiáng)化概念運(yùn)用意識(shí)
數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是來(lái)源于客觀的現(xiàn)實(shí)原形，經(jīng)過(guò)理性思維之后、完全可以脫離具體內(nèi)容的、具有廣泛的應(yīng)用性的抽象結(jié)果。如：立體幾何公理三，從三腳支架、門軸等生活經(jīng)驗(yàn)作為知識(shí)的立腳點(diǎn)，但它反映的內(nèi)涵卻有更深刻的意義，成為在進(jìn)行邏輯推理中直接應(yīng)用的理性成果。
10、
概念教學(xué)既要重視由具體事物到事物共性的概念抽象過(guò)程，又要重視使用概念“具體解決問(wèn)題”的運(yùn)用過(guò)程。對(duì)于后者，在高中階段，尤為重要。應(yīng)通過(guò)不同層次的設(shè)計(jì)來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)抽象到具體的概念運(yùn)用過(guò)程。
如奇偶性教學(xué)中，一方面我們可由具體函數(shù)的形象特征上升為抽象表達(dá)，但還必須通過(guò)具體應(yīng)用來(lái)達(dá)到對(duì)定義的準(zhǔn)確全面理解，挖掘定義的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵和產(chǎn)生的外部影響（即其他相關(guān)性質(zhì)），如：定義中隱含的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的必要條件、定義中隱含的函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)而非局部性質(zhì)、定義中隱含的圖象的對(duì)稱特點(diǎn)等。定義的應(yīng)用就更為廣泛：如求具有奇偶性的函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域的解析式、證明復(fù)合函數(shù)的奇偶性、研究和證明奇偶函數(shù)的
11、單調(diào)性、利用奇偶函數(shù)圖象對(duì)稱的特點(diǎn)簡(jiǎn)化問(wèn)題等等。通過(guò)解決具體問(wèn)題加深自身的認(rèn)識(shí)，并達(dá)到熟練應(yīng)用。
例如：已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的表達(dá)式。
這是一個(gè)很常規(guī)的問(wèn)題。在教學(xué)中，不應(yīng)僅僅看重獲得結(jié)果，更應(yīng)定位在通過(guò)問(wèn)題的解決過(guò)程加深對(duì)函數(shù)符號(hào)、函數(shù)概念與函數(shù)圖像的對(duì)稱性的理解。
如：有的學(xué)生在求的對(duì)應(yīng)解析式時(shí)，有下述解法而且很困惑找不到問(wèn)題所在：
設(shè)，則，，所以當(dāng) 時(shí)，解析式為。
出現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的原因在于沒(méi)有理解抽象符號(hào)的含義。此時(shí)，不能僅僅否認(rèn)學(xué)生的做法，將常規(guī)最簡(jiǎn)解法強(qiáng)硬加給學(xué)生，更要抓住機(jī)會(huì)，找出癥結(jié)，解決學(xué)生的疑難，并在比較中鑒別，認(rèn)清常規(guī)方法的優(yōu)越性，并加深相關(guān)聯(lián)知識(shí)的
12、認(rèn)識(shí)，使知識(shí)在運(yùn)用中更加清晰。
綜上所述，隨著知識(shí)的不斷擴(kuò)展，高中數(shù)學(xué)的抽象性程度將不斷提高。在抽象思維能力的的提升和訓(xùn)練上，既要抓住高一機(jī)會(huì)，又要防止急躁，適度推進(jìn)。教學(xué)中應(yīng)把握特點(diǎn)，正確引導(dǎo)，講究策略與方法，并注意調(diào)適學(xué)生心理，找到數(shù)學(xué)抽象與學(xué)生學(xué)力的切合點(diǎn)，從而使數(shù)學(xué)抽象為我所用，促成學(xué)生思維水平的不斷提高，為高二的學(xué)習(xí)與提高和高三階段的綜合復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。
參考書目：
曹才翰 蔡金法著：數(shù)學(xué)教育學(xué)概論
數(shù)學(xué)家教育學(xué)基本理論與實(shí)踐 羅小偉 著
【責(zé)編：劉建新】
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高一數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生抽象思維能力的教學(xué)策略
