高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第十八章　不等式選講教師用書

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1、 第十八章　不等式選講 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 1.理解絕對值的幾何意義，并能用它證明絕對值三角不等式等較簡單的不等式.①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用絕對值的幾何意義解幾類簡單的絕對值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c類型. 3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法. 4.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用它證明一些簡單不等式及其他問題. 5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2＋b

2、2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α||β|≥|αβ|、一般形式，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用. 6.了解排序不等式的推導(dǎo)及意義并能簡單應(yīng)用. 7.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式： 本章重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用、絕對值型不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用. 本章難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式及其應(yīng)用；絕對值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式. 本專題在數(shù)學(xué)必修5“不等式”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一

3、些重要的不等式，如絕對值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時(shí)了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，會(huì)用絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡單問題.高考中，只考查上述知識(shí)和方法，不對恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)  18.1　絕對值型不等式 典例精析 題型一　解絕對值不等式 【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式f(x)＞3； (2)若f(x)＞a對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝|x－1|＋|

4、x－2|＝ 所以當(dāng)x＜1時(shí)，3－2x＞3，解得x＜0； 當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＞3無解； 當(dāng)x＞2時(shí)，2x－3＞3，解得x＞3. 所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因?yàn)閒(x)＝所以f(x)min＝1. 因?yàn)閒(x)＞a恒成立， 所以a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1). 【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝. (1)當(dāng)a＝－5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍. 【解析】(1)由題設(shè)知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的圖象，知定義域

5、為(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時(shí)，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3， 所以－a≤3，即a≥－3. 題型二　解絕對值三角不等式 【例2】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)對a≠0，a、b∈R恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍. 【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x). 又因?yàn)椤荩?，則有2≥f(x). 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 【變式訓(xùn)練2】(20xx深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥

6、a＋對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　. 【解析】(－∞，0)∪{2}. 題型三　利用絕對值不等式求參數(shù)范圍 【例3】(2009遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3， ①當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式組的解集為(－∞，－]； ②當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立， 不等式組的解集為?

7、； ③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3， 不等式組的解集為[，＋∞). 綜上得f(x)≥3的解集為(－∞，－]∪[，＋∞). (2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不滿足題設(shè)條件. 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值為1－a.由題意有1－a≥2，即a≤－1. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3. 綜上可知a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞). 【變式訓(xùn)練3】關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2與x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (a∈R)的解集分別為A，B.求使A?B的a的取值

8、范圍. 【解析】由不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2?－(a－1)2≤x－(a＋1)2≤(a－1)2， 解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}. 由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0?(x－2)[x－(3a＋1)]≤0， ①當(dāng)3a＋1≥2，即a≥時(shí)，B＝{x|2≤x≤3a＋1}， 因?yàn)锳?B，所以必有解得1≤a≤3； ②當(dāng)3a＋1＜2，即a＜時(shí)，B＝{x|3a＋1≤x≤2}， 因?yàn)锳?B，所以解得a＝－1. 綜上使A?B的a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3. 總結(jié)提高 1.“絕對值三角不等式”的理解及記憶要結(jié)合三角形的形狀，運(yùn)用時(shí)注意等

9、號成立的條件. 2.絕對值不等式的解法中，＜a的解集是(－a，a)；＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推廣到復(fù)合型絕對值不等式≤c，≥c的解法，還可以推廣到右邊含未知數(shù)x的不等式，如≤x－1?1－x≤3x＋1≤x－1. 3.含有兩個(gè)絕對值符號的不等式，如＋≥c和＋≤c型不等式的解法有三種，幾何解法和代數(shù)解法以及構(gòu)造函數(shù)的解法，其中代數(shù)解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數(shù)解法的基礎(chǔ)，這兩種解法都適宜于x前面系數(shù)不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣. 18.2　不等式的證明(一) 典例精析 題型一　用綜合法證明不等式 【例1】 若a，b，c為不全相等的

10、正數(shù)，求證： lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【證明】 由a，b，c為正數(shù)，得 lg ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg . 而a，b，c不全相等， 所以lg ＋lg ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c. 即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【點(diǎn)撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個(gè)重要依據(jù)(是一個(gè)定理)，在證明不等式時(shí)要注意結(jié)合運(yùn)用.而在不等式的證明過程中，還要特別注意等號成立的條件是否滿足. 【變式訓(xùn)練1】已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝1，

11、c2＋d2＝1.求證：|ac＋bd|≤1. 【證明】因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)， 所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝. 又因?yàn)閍2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1. 題型二　用作差法證明不等式 【例2】 設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca). 【證明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2 　　 ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2]. 而在△ABC中，＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－

12、c2＜0. 同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0. 故a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca). 【點(diǎn)撥】 不等式的證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時(shí)，要注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊. 【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：＋≥(a＋b)2. 【證明】因?yàn)椋?a＋b)2＝－ ＝ ＝＝≥0， 所以不等式＋≥(a＋b)2成立. 題型三　用分析法證明不等式 【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋

13、c＝1. 求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c). 【證明】因?yàn)閍、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要證原不等式成立， 即證[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c] ≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]， 也就是證[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).① 因?yàn)?a＋b)＋(b＋c)≥2＞0， (b＋c)＋(c＋a)≥2＞0， (c＋a)＋(a＋b)≥2＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得證. 【點(diǎn)撥

14、】 本題采用的是分析法.從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過程. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求證：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，(1＋m)n＜(1＋n)m. 【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a， ①a＝0時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)； ②當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)單調(diào)遞減. (2)證明：要證(1＋m)n

15、＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證＜. 設(shè)g(x)＝(x＞0)，則g′(x)＝＝. 由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減， 所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數(shù)， 而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立. 總結(jié)提高 1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計(jì)算方法. 2.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等

16、，如基本不等式、絕對值三角不等式等. 3.用分析法證明不等式的關(guān)鍵是對原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立. 4.所謂“綜合法”、“分析法”其實(shí)是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復(fù)習(xí)到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式. 18.3　不等式的證明(二) 典例精析 題型一　用放縮法、反證法證明不等式 【例1】已知a，

17、b∈R，且a＋b＝1，求證：(a＋2)2＋(b＋2)2≥. 【證明】 方法一：(放縮法) 因?yàn)閍＋b＝1， 所以左邊＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[]2＝[(a＋b)＋4]2＝＝右邊. 方法二：(反證法) 假設(shè)(a＋2)2＋(b＋2)2＜，則 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜. 由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜. 所以(a－)2＜0，這與(a－)2≥0矛盾. 故假設(shè)不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥. 【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及a＋b＝1這個(gè)特點(diǎn)，選用重要不等式a2 ＋ b2≥ 2()2來證明比較好，它可以將具備a2＋b2形式的式子

18、縮小. 而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件a＋b＝1，得到關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來證明. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，…，an－1，an滿足a0＝an＝0，且有 a0－2a1＋a2≥0， a1－2a2＋a3≥0， … an－2－2an－1＋an≥0， 求證：a1，a2，…，an－1≤0. 【證明】由題設(shè)a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0. 同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0. 假設(shè)a1，a2，…，an－1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a

19、1，a2，…，an－1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù). 即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0， 則有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0. 并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0. 這與題設(shè)an＝0矛盾.由此證得a1，a2，…，an－1≤0成立. 題型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明： 設(shè)an＝＋＋…＋，n∈N*，求證：＜an＜. 【證明】 方法一：(放縮法) ＜＜，即n＜＜. 所以1＋2＋…＋n＜an＜[1＋3＋…＋(2n＋1)]. 所以＜an＜， 即＜an＜. 方法二：(數(shù)學(xué)歸納法)

20、 ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，而1＜＜2，所以原不等式成立. ②假設(shè)n＝k (k≥1)時(shí)，不等式成立，即＜ak＜. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝＋＋…＋＋， 所以＋＜ak＋1＜＋. 而＋＞＋＝＋(k＋1)＝， ＋＜＋＝＝. 所以＜ak＋1＜. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立. 綜合①②知當(dāng)n∈N*，都有＜an＜. 【點(diǎn)撥】 在用放縮法時(shí)，常利用基本不等式＜將某個(gè)相乘的的式子進(jìn)行放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個(gè)公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)來尋找思路. 【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列，，…，，…，Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，觀察上

21、述結(jié)果推測出計(jì)算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 【解析】猜想Sn＝(n∈N＋). 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝＝，等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)等式成立，即Sk＝. 則Sk＋1＝Sk＋＝＋ ＝＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.綜合①②得，對任何n∈N＋，等式都成立. 題型三　用不等式證明方法解決應(yīng)用問題 【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量. (1)求an的表達(dá)式； (2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a，如果b＝a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)

22、生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？(取lg 2＝0.30) 【解析】(1)依題意得a1＝a(1＋)－b＝a－b， a2＝a1－b＝(a－b)－b＝()2a－(＋1)b， a3＝a2－b＝()3a－[()2＋(＋1)]b， 由此猜測an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b＝()na－4[()n－1]b(n∈N＋). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a－b，猜測成立. ②假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)猜測成立，即ak＝()ka－4[()k－1]b成立. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak－b＝－b＝()k＋1a－4[()k＋1－1]b， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜測仍

23、成立. 由①②知，對任意n∈N＋，猜測成立. (2)當(dāng)b＝a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于a， 所以()na－4[()n－1]a＜a，整理得()n＞5， 兩邊取對數(shù)得nlg ＞lg 5， 所以n＞＝≈＝7. 故經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失. 【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y＝(v＞0). (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時(shí)) (2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在

24、什么范圍內(nèi)？ 【解析】(1)依題意，y＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝40時(shí)，上式等號成立，所以ymax＝≈11.1(千輛/時(shí)). (2)由條件得＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. 答：當(dāng)v＝40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí). 總結(jié)提高 1.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進(jìn)

25、行命題正確與否的判斷. 2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標(biāo)，目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找. 常用的放縮方法有： (1)添加或舍去一些項(xiàng)，如＞，＞n； (2)將分子或分母放大(或縮小)； (3)利用基本不等式，如＜； (4)利用常用結(jié)論，如 －＝＜， ＜＝－ ； ＞＝－(程度大)； ＜＝＝(－) (程度小). 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明過程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進(jìn)行假設(shè)與推理，二者缺一不可. 18.4　柯西不等式和排序不等式 典例精析 題型一　用柯西不等式、排序不等式證明

26、不等式 【例1】設(shè)a1，a2，…，an都為正實(shí)數(shù)，證明：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. 【證明】方法一：由柯西不等式，有 (＋＋…＋＋)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥ (＋＋…＋)2＝(a1＋a2＋…＋an)2. 不等式兩邊約去正數(shù)因式a1＋a2＋…＋an即得所證不等式. 方法二：不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an，則a≤a≤…≤a，≥≥…≥. 由排序不等式有 a＋a＋…＋a＋a≥a＋a＋…＋a＝a1＋a2＋…＋an， 故不等式成立. 方法三：由均值不等式有 ＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…，＋a1≥2an，將這n個(gè)不等式相加得 ＋＋…＋＋＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥

27、2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所證不等式. 【點(diǎn)撥】 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處.將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口，有時(shí)往往要進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、重組、配方等方法的處理. 【變式訓(xùn)練1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正數(shù)，求證：＋＋≥9. 【證明】左邊＝[2(a＋b＋c)](＋＋) ＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9， (或左邊＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋) ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9) 所以＋＋≥9. 題型二　用柯西不等式求最值 【例2】 若

28、實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4 (當(dāng)且僅當(dāng)1＝kx,2＝ky,3＝kz時(shí)等號成立， 結(jié)合x＋2y＋3z＝2，解得x＝，y＝，z＝)， 所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥. 故x2＋y2＋z2的最小值為. 【點(diǎn)撥】 根據(jù)柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要給x2＋y2＋z2再配一個(gè)平方和形式的因式，再考慮需要出現(xiàn)定值，就要讓柯西不等式的右邊出現(xiàn)x＋2y＋3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應(yīng)用在求代數(shù)式的最

29、值中. 【變式訓(xùn)練2】已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值. 【解析】因?yàn)?x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋()2] ≥(3x＋y＋z)2≥(3x＋2y＋z)2， 所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－，y＝－，z＝－時(shí)， 3x＋2y＋z取最小值，最小值為－2. 題型三　不等式綜合證明與運(yùn)用 【例3】 設(shè)x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 【證明】(1)當(dāng)x≥1時(shí)，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：順序和≥反序和得 11＋xx＋x2x2＋…＋xnxn≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋x

30、n1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又因?yàn)閤，x2，…，xn，1為序列1，x，x2，…，xn的一個(gè)排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，② 將①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③ (2)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＞x＞x2＞…＞xn. 由①②仍然成立，于是③也成立. 綜合(1)(2)，原不等式成立. 【點(diǎn)撥】 分類討論的目的在于明確兩個(gè)序列的大小順序. 【變式訓(xùn)練3】把長為9 cm的細(xì)鐵線截成三段，各自

31、圍成一個(gè)正三角形，求這三個(gè)正三角形面積和的最小值. 【解析】設(shè)這三個(gè)正三角形的邊長分別為a、b、c，則a＋b＋c＝3，且這三個(gè)正三角形面積和S滿足： 3S＝(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝?S≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號成立. 總結(jié)提高 1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用. 2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時(shí)，教科書展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡單應(yīng)用. 3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，有難度的逐步調(diào)整去構(gòu)造.對于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí)，通常考慮排序不等式.