與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練:第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓練23 Word版含解析

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1、課時跟蹤訓練(二十三) [基礎鞏固] 一、選擇題 1.在△ABC中,已知b=6,c=6,B=30°,則A等于(  ) A.60° B.90° C.30°或90° D.60°或120° [解析] 由csinB=3<b<c可知,該三角形有兩解,由正弦定理=,得sinC==,故C=60°或120°,∴A=90°或30°,故選C. [答案] C 2.(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cos

2、A=,則b=(  ) A. B. C.2 D.3 [解析] 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得5=b2+4-b,即3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去).故選D. [答案] D 3.(2017·合肥模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是(  ) A.3 B. C. D.3 [解析] c2=(a-b)2+6, 即c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,② 由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=

3、5;6×=,故選C. [答案] C 4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,則cos∠DAC=(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖所示,設CD=a,則易知AC=a,AD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=(a)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=. [答案] B 5.(2017·山東卷)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足s

4、inB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是(  ) A.a(chǎn)=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A [解析] 由題意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b. [答案] A 6.(2017·甘肅省張掖市高三一診)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=asinC,則sinB為(  ) A. B. C. D. [解析] 由bs

5、inB-asinA=asinC,且c=2a,得b=a,∵cosB===,∴sinB= =.故選A. [答案] A 二、填空題 7.在△ABC中,已知sin(B+A)+sin(B-A)=2sinAcosA,則△ABC的形狀為________. [解析] 由已知得sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,即sinBcosA=sinAcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,若cosA=0,則A=,△ABC為直角三角形. 若sinB-sinA=0,則A=B或A+B=π(舍去). △ABC為等腰三角形,故△ABC為直角三角形或等腰三

6、角形. [答案] 直角三角形或等腰三角形 8.(2016·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則b=________. [解析] 在△ABC中,∵cosA=,cosC=,∴sinA=,sinC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×+×=.由正弦定理=,可得b==1××=. [答案]  9.(2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=________. [解析] 解

7、法一:依題意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,所以2accosB=ac>0,cosB=.又0<B<π,所以B=. 解法二:依題意得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB>0,因此cosB=,又0<B<π,所以B=. [答案]  三、解答題 10.(2017·北京人大附中期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos2B+cosB=0. (1)求角B的值; (2)若b=,a+c=5,求△ABC的面積. [解] (1)在△ABC中

8、,由已知cos2B+cosB=0得 2cos2B+cosB-1=0, 解得cosB=,或cosB=-1(舍去). 因為B∈(0,π),所以B=. (2)由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB. 將B=,b=代入上式,整理得(a+c)2-3ac=7. 因為a+c=5,所以ac=6. 所以△ABC的面積S=ac·sinB=. [能力提升] 11.(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA·(sinC-cosC)=0,a=2,c=,則C=(  ) A. B. C. D.

9、 [解析] 因為sinB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinA·sinC-sinA·cosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因為sinC≠0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,所以A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得sinC===,又0<C<,所以C=.故選B. [答案] B 12.(2017·安徽省合肥市高三一檢)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2

10、,則△ABC的外接圓面積為(  ) A.4π B.8π C.9π D.36π [解析] 因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以c=bcosA+acosB=2,由cosC=得sinC=,再由正弦定理可得2R==6,即R=3.所以△ABC的外接圓面積為πR2=9π,故選C. [答案] C 13.(2017·廣東省惠州市三調)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,則△ABC的面積為________. [解析] 由正弦定理=得sinB==,又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所

11、以S=bcsinA=×2×2sin=×2×2×=+1. [答案]?。? 14.(2017·河北石家莊模擬)已知在△ABC中,角C為直角,D是邊BC上一點,M是AD上一點,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,則MA=________. [解析] 設∠DMB=θ,則∠ADC=2θ,∠DAC=-2θ,∠AMB=π-θ,∠ABM=-2θ. 在△CDA中,利用正弦定理得=; 在△AMB中,利用正弦定理得=, 又在Rt△ABC中,cosθ=, ∴===,又CD=1,從而MA=2. [答案] 2 15.(2017

12、3;全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為. (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長. [解] (1)由題設得acsinB=,即csinB=. 由正弦定理得sinCsinB=. 故sinBsinC=. (2)由題設及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由題設得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故△ABC的周長為3+. 16.(2017·四川省成都

13、市高三二檢)如圖,在平面四邊形ABCD中,已知A=,B=,AB=6.在AB邊上取點E,使得BE=1,連接EC,ED.若∠CED=,CE=. (1)求sin∠BCE的值; (2)求CD的長. [解] (1)在△BEC中,由正弦定理,知=. ∵B=,BE=1,CE=, ∴sin∠BCE===. (2)∵∠CED=B=,∴∠DEA=∠BCE,∴cos∠DEA=== =. ∵A=,∴△AED為直角三角形,又AE=5, ∴DE===2. 在△CED中,CD2=CE2+DE2-2CE·DE·cos∠CED=7+28-2××2×=49.

14、 ∴CD=7. [延伸拓展]  (2017·廣東汕頭一模)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足b=c,=,若點O是△ABC外一點,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OB=1,則四邊形OACB面積的最大值是(  ) A.   B.   C.3   D. [解析] 由=及正弦定理可得sinB·cosA=sinA-sinAcosB,∴sin(A+B)=sinA,∴sinC=sinA,又A,C∈(0,π),∴C=A,∴c=a,又b=c,∴△ABC是等邊三角形,設該三角形的邊長為x,則x2=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ,則S四邊形OACB=×1×2sinθ+x2=sinθ+(5-4cosθ)=2sin+,又θ∈(0,π),∴當θ=時,S四邊形OACB取得最大值.故選B. [答案] B

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