高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 基本不等式練習(xí) 新人教A版

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1、 第六章 第4節(jié) 基本不等式 [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577548)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)<b<<　　　　 B．a(chǎn)<<<b C．a(chǎn)<<b< D.<a<<b 解析：B　[∵0<a<b，∴a<<b，A、C錯(cuò)誤；－a＝(－)>0，即>a，D錯(cuò)誤，故選B.] 2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577549)已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為(　　) A. B. C. D. 解析：B　[∵0&l

2、t;x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)取等號(hào)．] 3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577550)函數(shù)y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 解析：A　[∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝＝ ＝ ＝＝x－1＋＋2 ≥2＋2＝2＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝1＋時(shí)，取等號(hào)．] 4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577551)(2018·長(zhǎng)春市質(zhì)檢)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則(　　) A.＋有最大值4 B.有最小值 C.＋有最大值 D．a(chǎn)2＋b2有最小值 解析

3、：C　[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故選C.] 5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577552)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 解析：C　[設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)為x m，因?yàn)闊o蓋長(zhǎng)方體的容

4、積為4 m3，高為1 m，所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為 m，依題意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160，所以該容器的最低總造價(jià)為160元．] 6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577553)當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為　________　. 解析：因?yàn)閤＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a的最大值為3. 答案：3 7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577554)(文科)設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是　________　.

5、 解析：＝－＝(a－1,1)，＝－ ＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴與共線， ∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1. ∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時(shí)等號(hào)成立． 答案：8 7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577555)(理科)(2018·濟(jì)寧市一模)已知圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，則＋的最小值為　_________　. 解析：∵圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝2，圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0

6、)對(duì)稱， ∴該直線經(jīng)過圓心(1,2)． 把圓心(1,2)代入直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)， 得2a＋2b－3＝0， ∴a＋b＝，a＞0，b＞0， ∴＋＝×(a＋b) ＝≥＝2＋， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝a時(shí)取得最小值2＋. 答案：2＋ 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577556)(2018·天津河北區(qū)三模)已知a＞0，b＞0滿足a＋b＝ab－3，那么a＋2b的最小值為　____　. 解析：因?yàn)閍＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3. 又因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－1)＋2＝＋2(b－1)＋3≥2＋3＝4＋3，當(dāng)且僅當(dāng)＝2

7、(b－1)即b＝＋1時(shí)取“＝”． 答案：4＋3 9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c， ＋≥2＝2b， ＋≥2＝2a. 以上三式相加得： 2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577558)已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1) 得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0， 即3()2－2－

8、1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立． ∴xy的最小值為1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)， ∴x＋y的最小值為2. [能力提升組] 11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577559)(2018·金麗衢市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝(a<2)在區(qū)間(1，＋∞)上的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．0 B. C．1 D. 解析：B　[由

9、題意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝，即x＝1＋時(shí)，等號(hào)成立，所以2＋4＝6，即a＝，故選B.] 12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577560)(理科)(2018·平頂山市一模)若對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ 解析：A　[由x＞0，＝，令t＝x＋，則t≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，t取得最小值2，取得最大值，所以對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則a≥，故選A.] 12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577561)(文科)(2018·邯鄲市調(diào)研)若正數(shù)a，b滿足＋＝1

10、，則＋的最小值為(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 解析：A　[因?yàn)閍，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2＝36，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即a＝，b＝3時(shí)取等號(hào)．所以＋≥36－20＝16.] 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577562)規(guī)定記號(hào)“?”表示一種運(yùn)算，即a?b＝＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))．若1?k＝3，則k的值為　____________　，此時(shí)函數(shù)f(x)＝的最小值為　________　. 解析：1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0， ∴＝1或＝－2

11、(舍去)，k＝1. f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)＝即x＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案：1　3 14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577563)(2018·安徽皖北片第一次聯(lián)考)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)＝x2＋10x(萬元)．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完． (1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？ 解：(

12、1)∵每件商品售價(jià)為0.05萬元， ∴x千件商品銷售額為0.05×1 000x萬元， ①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)＝銷售收入－成本， ∴L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250； ②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)＝銷售收入－成本， ∴L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－. 綜合①②可得，L(x)＝ (2)由(1)可知， ①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L(x)＝－x2＋40x－250＝－(x－60)2＋950， ∴當(dāng)x＝60時(shí)，L(x)取得最大值L(60)＝950萬元； ②當(dāng)x≥80時(shí)，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝100時(shí)，L(x)取得最大值L(100)＝1 000萬元． 綜合①②，由于950＜1 000， ∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1 000萬元． 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。