蘇教版數(shù)學(xué)選修2-1：第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 課時作業(yè)（含答案）

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1、 2.2.2　橢圓的幾何性質(zhì) 課時目標(biāo)　1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題． 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 焦點的 位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn) 方程 范圍 頂點 軸長 短軸長＝______，長軸長＝______ 焦點 焦距 對稱性 對稱軸是________，對稱中心是______ 離心率 一、填空題 1．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸

2、長是短軸長的兩倍，則m的值為________． 2．P是長軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為c，則PF1PF2的最大值與最小值之差為________． 3．以等腰直角△ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為________． 4．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為______________． 5．如圖所示，A、B、C分別 為橢圓＋＝1 (a>b>0)的頂點與焦點，若∠ABC＝90，則該橢圓的離心率為________． 6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離

3、心率的取值范圍是____________． 7．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為______________． 8．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過橢圓＋＝1 (a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為________________________________________________________． 二、解答題 9．設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離為4(－1)，求此橢圓方程及它的離心率、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)．

4、 10. 如圖，已知P是橢圓＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x＝－ (c是橢圓的半焦距)與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e. 能力提升 11．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為________． 12.已知F1、F2是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左、右兩個焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足＋＝0(O是坐標(biāo)原點)，AF2⊥F1F2.若橢圓的離

5、心率等于 ，△ABF2的面積等于4，求橢圓的方程． 1．橢圓的范圍實質(zhì)就是橢圓上點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應(yīng)用． 2．橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形．橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用． 3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，其取值范圍是0

6、的一個重點，也是高考的熱點內(nèi)容．在求解有關(guān)橢圓離心率的問題時，一般并不直接求出a和c的值去計算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍． 2．2.2　橢圓的幾何性質(zhì) 知識梳理 焦點的 位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＋＝1 ＋＝1 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 頂點 (a,0)，(0，b) (b,0)，(0，a) 軸長 短軸長＝2b，長軸長＝2a 焦點 (c,0) (0，c) 焦距 2c＝2 對

7、稱性 對稱軸是坐標(biāo)軸，對稱中心是原點 離心率 e＝，0

8、點為焦點時，設(shè)直角邊長為m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，所以，離心率e＝＝＝＝－1. 4.＋＝1 5. 解析　由題意知，由(a＋c)2＝a2＋a2＋b2， 又∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0， ∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝. 6. 解析∵＝0， ∴M點軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑， 由題意知橢圓上的點在圓x2＋y2＝c2外部， 設(shè)點P為橢圓上任意一點，則OP>c恒成立， 由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長， ∴b>c，∴c22c2， ∴2<，∴e＝<. 又∵0

9、7.＋＝1 解析　設(shè)橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0)， 將點(－5,4)代入得＋＝1， 又離心率e＝＝，即e2＝＝＝， 解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1. 8. 解析　由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以b＝1，c＝2，從而a＝，e＝＝. 9．解　設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1(a>b>0)， 則解得 所以所求的橢圓方程為＋＝1，或＋＝1. 離心率e＝＝， 當(dāng)焦點在x軸上時，焦點為(－4,0)，(4,0)，頂點(－4，0)，(4，0)，(0，－4)，(0,4

10、)， 當(dāng)焦點在y軸上時，焦點為(0，－4)，(0,4)，頂點(－4,0)，(4,0)，(0，－4)，(0,4)． 10．解　依題意知H，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)． 設(shè)P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程， 得yP＝.∴P. ∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝. ∴ab＝c2. ∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1. ∴e4＋e2－1＝0.∵0