五年級(jí)下冊(cè)同步奧數(shù)培優(yōu)北師大版

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1、讓每一個(gè)學(xué)生成功 目 錄 第一講 分?jǐn)?shù)乘法（乘法中的簡(jiǎn)算）…………………………………… 2 練習(xí)卷……………………………………………….………. 5 第二講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積）……………………………… 6 練習(xí)卷…………………………………………………….… 10 第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題…………………………………………… 11 練習(xí)卷………………………………………………………. 15 第四講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積）……………………………… 16 練習(xí)卷……………………………………………………… 20 第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量

2、）…………………… 21 練習(xí)卷…………………………………………………….. 24 第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問(wèn)題）………………………………………… 25 練習(xí)卷…………………………………………………….… 28 綜合演習(xí)（1）………………………………………………………… 29 綜合演習(xí)（2）………………………………………………………… 31 第一講 分?jǐn)?shù)乘法 例題講學(xué) 例1 （1）19 （2） 27 【思路點(diǎn)撥】 觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第（1）題中的比1少，可以把看作1-，然后和19相乘，利用乘法分配律

3、使計(jì)算簡(jiǎn)便；同樣，第（2）題中27與中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和相乘，再運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。 技巧 把哪個(gè)數(shù)拆分是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，或拆成與1有關(guān)的兩數(shù)之差或和；或者把一個(gè)數(shù)拆分成與分?jǐn)?shù)分母相關(guān)的和或差，最后用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。 同步精練 1. 35 2. 10 3. 8 4. 126 5. 17

4、 6. 例2 【思路點(diǎn)撥】 仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子1999+20001998=1999+2000（1999-1）=1999+20001999-2000=20001999-1，這樣就把分子轉(zhuǎn)化成與分母完全相同的式子，結(jié)果自然就好計(jì)算了，試試吧！ 技巧 解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題時(shí)，不要慌張，要仔細(xì)觀察數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)一般都能化成分子、分母能約分的情況，然后使計(jì)算簡(jiǎn)便。 同步精練 1. 2. 例3

5、 【思路點(diǎn)撥】 在這道題中，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的乘積?？聪旅嬉?guī)律： =1-， =-， =-， …… 把每個(gè)分?jǐn)?shù)都拆寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，使部分分?jǐn)?shù)前后互相抵消，使計(jì)算簡(jiǎn)便。 技巧 做這類題目的關(guān)鍵是把一個(gè)分?jǐn)?shù)式子如何進(jìn)行拆分，并把拆分的結(jié)果統(tǒng)一前后抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。 同步精練 1. ……+ 2. ++++ 3. 練 習(xí) 卷 1. 27 2.

6、 3. 4. 5. 6. 7． 第二講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積） 例題講學(xué) 例1 兩個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？【40】 【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)題意畫圖： 從圖上可以清楚地看出：兩個(gè)正方體原先各有6個(gè)正方形的面，當(dāng)把它們拼起來(lái)時(shí)就少了2個(gè)正方形的面。這時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積只相當(dāng)于求（12-2=）10個(gè)正方形的面積；還可以這樣想：當(dāng)兩個(gè)正方體拼成一個(gè)

7、長(zhǎng)方體時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積，我們可以先分別求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再求出它的表面積。 技巧 1.當(dāng)物體拼合時(shí)表面積之和少了，可以根據(jù)用原來(lái)的面去掉減少了的面，從而求出拼合后物體的面積數(shù)量，然后求出表面積。2.還可以求出拼成后大物體的長(zhǎng)、寬、高，再根據(jù)物體形狀直接求表面積。 同步精練 1. 把兩個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？ 2．把底面積是36平方厘米的兩個(gè)正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？ 3．把三個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350平方

8、厘米。每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？ 例2 把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最大，這時(shí)表面積之和是多少平方厘米？【(7x6+7x5+6x5)x2+7x6x2=298】 【思路點(diǎn)撥】把長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和等于原長(zhǎng)方體表面積再加上兩個(gè)截面的面積。這個(gè)長(zhǎng)方體幾個(gè)面中，上、下面的面積最大，所以要看哪個(gè)面的面積最大，于是本題就按平行于上、下面的方式去截，才使表面積之和最大。 技巧 長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體有三種截法，如圖：

9、 每一種截法都會(huì)產(chǎn)生不同的面，所以判斷怎么樣截是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 同步精練 1. 把一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體木料截成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，怎樣截才能使截成之后，得到兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大？最大是多少？【536】 2. 把兩個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【40】 3．把兩個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積的最大值與最小值

10、相差多少？ 【192】-【168】=【24】 例3 求出下面立體圖形的表面積。（單位：厘米） 6 【思路點(diǎn)撥】 從圖上看出，這個(gè)圖形是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體組成的，求它的表面積時(shí)，可以把正方體的右側(cè)面平移到長(zhǎng)方體上，這個(gè)立體圖形的表面積就可以用一個(gè)完整的長(zhǎng)方體表面積加上一個(gè)正方體的上、下、前、后四個(gè)面的面積。 4 8 10 【440】 4 4 同步精練 1. 在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（如圖），求這個(gè)立體圖形的表面積。【214】

11、 2.求下列組合圖形的表面積。（三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)從上往下 依次是1厘米、2厘米、4厘米） 【116】 3. 18個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體堆成如下圖的形狀，求它的表面積。 上下兩面面積：[(2x3)x(2x3)]x2=72 左右兩面面積: [2x(2x3)+2x(2x2)+ 2x(2x2)+2x2]x2=64 前后兩面面積：[(2+2)x(2+2

12、+2)+2x(2+2)+2x2]x2=72 總面積：72+64+72=208平方厘米 例4 如圖，從右面這個(gè)圖形的頂點(diǎn)處挖去一個(gè)小正方體，那么所得物體的表面積是多少平方厘米？（每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為1厘米） 【思路點(diǎn)撥】 從頂點(diǎn)處挖掉一個(gè)小正方體后，原來(lái)的小正方體露在外面的3個(gè)面就少了，但這時(shí)又有3個(gè)同樣大小的面露了出來(lái)，所以表面積是沒(méi)有大小變化的?！?4】 同步精練 1.如上圖，如果從小正方體的上面的中間挖去一個(gè)小正方體，那么此時(shí)正方

13、體的表面積是多少了呢？【58】 2.如下圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的大正方體的6個(gè)面上分別挖去一個(gè)小正方體，現(xiàn)在剩下圖形的表面積是多少？ 【312】 2. 從一個(gè)長(zhǎng)方體的上面往下挖通，求現(xiàn)在物體的表面積是多少。 （原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的圖形為長(zhǎng)、寬都是4厘米的小長(zhǎng)方體。） (10x8+10x12+8x12)x2-4x4x2+(4+4+4+4)x12=752 練 習(xí) 卷 1.長(zhǎng)方體的底面積是12平方厘米，寬2厘米，高和寬相等，表面積是（56）平方厘米，底面周長(zhǎng)是（1

14、6）厘米。 2.一個(gè)正方體的底面積是25平方分米，它的表面積是（150）平方分米。 3.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新的長(zhǎng)方體表面積比原來(lái)增加了（8a+8b）平方米。 4.把一根長(zhǎng)2.4米，寬0.8米，高0.4米的木料鋸成大小相等的2段，它的表面積最少增加多少平方米？ 【0.64】 5.將兩本長(zhǎng)25厘米、寬20厘米、厚5厘米的書包成一包，怎樣才能節(jié)約包裝紙？請(qǐng)畫圖表示，并求出需要多少包裝紙？ 【25x20+25x10+20x10】x2=1900 6.求下面立體圖形的表面積。（單位：厘米） 前后兩面面積

15、：(14x6+7x7+5x3)x2=296 左右兩面面積：14x20x2=560 上下兩面面積：20x(6+7+5)x2=720 總面積為：296+560+720=1576平方厘米 7.把一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體外面全部涂上紅色，再把它切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共切成多少塊？在這些小正方體中： ①三面涂紅的有多少塊？8 3cm ②兩面涂紅的有多少塊？12 3cm 3cm ③一涂紅的有多少塊？ 6 ④任何一面都沒(méi)有涂紅的有多少塊？1 第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題 例題講學(xué) 例1 加工一批零件，第一天加工210個(gè)，第二天加工240個(gè)，這兩天共加工

16、了這批零件的。這批零件共有多少個(gè)？【750】 【思路點(diǎn)撥】 總個(gè)數(shù)的 ？個(gè) 技巧 根據(jù)題意，把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，兩天共加工210+240=450（個(gè)），450正好占這批零件總數(shù)的。求單位“1”的量用除法計(jì)算。 求單位“1”時(shí)，用除法，可以用“具體的量它所對(duì)應(yīng)的分率”。 同步精練 1.超市運(yùn)進(jìn)水果，第一批運(yùn)進(jìn)320千克，第二批運(yùn)進(jìn)400千克，這兩批運(yùn)進(jìn)的水果重量占超市現(xiàn)在所有水果的，超市現(xiàn)在一共有水果多少千克？ 【1080】 2.一條鐵路，修完900千米后，剩余部分比全長(zhǎng)的少300千米，這條鐵路全長(zhǎng)多少千米？ （900-3

17、00）*4=2400千米 3.修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了1000米。這時(shí)已修的米數(shù)占全長(zhǎng)的。這條路全長(zhǎng)多少千米？ 1000/(8/15-1/5)=3000米 例2 李添三天看完一本書，第一天看了這本書的，第二天看了24頁(yè)，還剩下全書的未看。這本書共有多少頁(yè)？【80】 全書的 全書的 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意畫線段圖，幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。 ？頁(yè) 24頁(yè) 技巧 這道題中有一個(gè)具體數(shù)量“第二天看了24頁(yè)”，所以這是解決問(wèn)題的突破口，要找出24頁(yè)所對(duì)

18、應(yīng)的分率，即總頁(yè)數(shù)-第一天看的-剩下的=1--=，用24除以它所對(duì)應(yīng)的分率，即可求出全書頁(yè)數(shù)。 從具體數(shù)量出發(fā)，找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之所在。 同步精練 1.電腦公司要修一批電腦，已經(jīng)修了這批電腦的，再修24臺(tái)就正好修了這批電腦的一半。這批電腦有多少臺(tái)？ [24/(1/2-1/3)]=144 3. 一筐蘿卜賣掉以后，又賣出6千克，這時(shí)賣出的正好是剩下的。這筐蘿卜原有多少千克？ 解：由原有X千克蘿卜，由題意得到2{[1/5]X+6}=X-{[1/5]X+6} 解的：X=45 3.筑路隊(duì)三天修好一條

19、馬路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了全長(zhǎng)的，第一天比第二天少修90米，這條馬路全長(zhǎng)多少米？ 解：設(shè)馬路全長(zhǎng)X米，由題意得到：[1/4]X+90=[2/5]X 得X=600米 例3 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，這時(shí)還剩下108米。這捆電線共長(zhǎng)多少米？【180】 【思路點(diǎn)撥】 這道題中已知的具體數(shù)量是“還剩下108米，”所以要找出它所對(duì)應(yīng)的分率——還剩下幾分之幾。 第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，而余下的即是（1-）的=，108米對(duì)應(yīng)的分率是（1--）=，所以用108除以求出這捆電線的總長(zhǎng)度。 技巧 問(wèn)題的關(guān)鍵還是找題中具體數(shù)量所對(duì)應(yīng)的分率。謹(jǐn)

20、記：“具體量對(duì)應(yīng)分率=單位1” 同步精練 1.工廠進(jìn)了一批原料，第一個(gè)星期用去總數(shù)的，第二個(gè)星期用去總數(shù)的，這時(shí)用去的比剩下的多31噸，這批原料共有多少噸？ 解：設(shè)共有X噸，則[2/5]X+[4/9]X-31=X-{[2/5]X+[4/9]X } 得X=45噸 2.牛師傅計(jì)劃做一批零件，第一天做了計(jì)劃的，第二天又做了余下的，這時(shí)還剩42個(gè)零件沒(méi)做。牛師傅計(jì)劃做多少個(gè)零件？ 解：設(shè)計(jì)劃做X個(gè)，由題意的：X-{(4/7)X+[X-(4/7)X] (3/5)}=42得：X=245 3.一批木料，先用去總數(shù)的，又用去剩下的，這時(shí)用去的比剩下的多10立方米，這批木料共有多少

21、立方米？[70立方米] 例4 有一堆蘋果，吃了后又買來(lái)324個(gè)，這時(shí)這堆蘋果的個(gè)數(shù)比原來(lái)多了。原來(lái)這堆蘋果有多少個(gè)？[720] 【思路點(diǎn)撥】① 這道題中僅有一個(gè)具體數(shù)量“又買來(lái)324個(gè)”所以解決問(wèn)題的關(guān)鍵即是找準(zhǔn)324的對(duì)應(yīng)分率，也就是找出“又買來(lái)的324個(gè)蘋果占幾分之幾”根據(jù)已知條件吃了，還剩下，而買來(lái)324個(gè)之后，比原來(lái)多了，也就是占原來(lái)的，所以買來(lái)的324個(gè)蘋果就占（-=），所以用324除以對(duì)應(yīng)的分率就可以求出單位“1”，即原來(lái)的蘋果總數(shù)了。 【思路點(diǎn)撥】② 吃了后總數(shù)少了，而當(dāng)買來(lái)324個(gè)蘋果之后，卻比原來(lái)的總數(shù)還多了，這說(shuō)明這324個(gè)蘋果不但把吃了的補(bǔ)上了，而

22、且還多出來(lái)了，所以324個(gè)蘋果就占（+=），故而用324即可以求出單位“1”了。 同步精練 1.食堂原有一批大米，吃了后，有運(yùn)進(jìn)170千克，這時(shí)大米的總重量比原來(lái)還多了，原來(lái)食堂有大米多少千克？[300千克] 2.玩具店開業(yè)當(dāng)天賣出玩具，第二天又新進(jìn)150件新玩具，這時(shí)玩具總數(shù)比原來(lái)卻少了。玩具店原來(lái)有玩具多少件？[540件] 練 習(xí) 卷 1.某家具店要生產(chǎn)一批沙發(fā)，第一周生產(chǎn)了64套，第二周生產(chǎn)了86套，兩周共生產(chǎn)了這批沙發(fā)總數(shù)的。家具廠還要生產(chǎn)多少套沙發(fā)？ (64+86)/(3/10)=500 500*(7/10)=350 2.服裝廠第一

23、車間有工人150人，第二車間的工人數(shù)是第一車間的，兩個(gè)車間的人數(shù)正好是全廠工人總數(shù)的，全廠有工人多少人？ 第二車間有人：150*（2/5）=60 兩車間的人數(shù)為：150+60=210 全廠工人有：210/(5/6)=252 3.一根鋼筋截去8米后，所剩部分比原長(zhǎng)的還多2米。這根鋼筋原長(zhǎng)多少米[25] 4.學(xué)校植樹，第一天完成了計(jì)劃的，第二天完成了計(jì)劃的，第三天植樹55棵，結(jié)果超過(guò)計(jì)劃的，學(xué)校計(jì)劃植樹多少棵？ (3/8)X+(5/12)X+55=(1+1/4)X X=120 5.欣欣原有一些糖果，吃了后，媽媽又給她買來(lái)14顆，這時(shí)的糖果總數(shù)是原來(lái)的。欣欣原來(lái)有糖果多少

24、顆？ (1/4)x+14=(5/6)x x=24 第四講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積） 例題講學(xué) 例1 把一塊棱長(zhǎng)為6分米的正方體鋼坯，熔鑄成橫截面是9平方分米的長(zhǎng)方體鋼材。鑄成的鋼材有多長(zhǎng)？【6x6x6】/9=24分米 技巧 【思路點(diǎn)撥】 把正方體鋼坯熔鑄成長(zhǎng)方體后，雖說(shuō)形狀變了，可體積沒(méi)有變，正方體鋼坯的體積就是長(zhǎng)方體鋼材的體積。所以先求出正方體的體積，也就是長(zhǎng)方體的體積。用體積除以長(zhǎng)方體鋼材的橫截面面積，就可以求出長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)度了。 抓住體積不變這個(gè)隱藏的量，熔鑄前體積等于熔鑄后的體積，再根據(jù)“體積橫截面積=長(zhǎng)”這個(gè)公式，從而輕松解決問(wèn)題。

25、同步精練 1.把一塊棱長(zhǎng)為0.8米的正方體鋼坯，鍛造成底面積是0.16平方米的長(zhǎng)方體鋼材，鍛造成的鋼材有多高？[3.2米] 2.把一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體橡皮泥，重新捏成一個(gè)高和寬都是2厘米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少分米？ [10x10x10]/[2x2]=250厘米=25分米 3.棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器內(nèi)有4分米高的水，把這些水全部倒入一個(gè)長(zhǎng)4分米、寬3分米、高15分米的長(zhǎng)方體水箱內(nèi)，這時(shí)水深多少？要注滿水箱還需要再倒入多少升水？h=[6x6x4]/[4x3]=12分米 還需倒入：長(zhǎng)x寬x（H-h）= 4x3x3=36立方分米=36升 例2 一

26、只長(zhǎng)15分米、寬12分米的長(zhǎng)方體玻璃鋼中，有10分米深的水。放入一塊棱長(zhǎng)為3分米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒(méi)在水中并且水未溢出， 這時(shí)，水面升高了幾厘米？ 技巧 【思路點(diǎn)撥】 將物體放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的體積其實(shí)就是物體的體積。本題可以先求出正方體鐵塊的體積，也就是增加的水的體積，再用這個(gè)體積除以容器的底面積從而求出水面上升的高度了。 要明白一點(diǎn)：當(dāng)物體完全沉沒(méi)在水中時(shí)，物體的體積=上升的水的體積。正方體體積：3x3x3=27立方分米 h=27/[15x12]=0.15分米 同步精練 1.一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面積是200平方厘米，高10厘米，里面盛

27、有5厘米深的水?，F(xiàn)將一塊石頭放入水中，水面升高到8厘米處，這塊石頭的體積是多少立方厘米？ V=200X(8-5)=600立方厘米 2.一個(gè)長(zhǎng)60厘米、寬20厘米的盛水容器，把5塊體積相等的鐵塊投入水中后，容器中的水面剛好上升了4厘米，求每塊鐵塊的體積。 V=(60X20X4)/5=960立方厘米 3.在一只長(zhǎng)120厘米、寬60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明進(jìn)入浴缸后，水剛好沒(méi)到李明頸部。已知水上升了20厘米，求出李明頸部以下的體積是多少立方分米？ V=120X60X20=144000立方厘米=144立方分米 例3 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，高截去2cm，表面積就減少了

28、48平方厘米，剩下部分成為一個(gè)正方體，求原長(zhǎng)方體的體積。 【思路點(diǎn)撥】 當(dāng)高少了2cm后，首先明白表面積少了哪些面？應(yīng)該是前后左右四個(gè)小面，因?yàn)樯厦骐m然也少了，但又多出來(lái)一個(gè)上面，所以少了4個(gè)小面，因?yàn)槭Ｏ碌牟糠质且粋€(gè)正方體，所以這四個(gè)小面是完全相等的，故用48除以4從而得出一個(gè)小面的面積，再用一個(gè)小面的面積除以2，從而能求出正方體的棱長(zhǎng)，也是原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，接著求出原長(zhǎng)方體的高，最后求出體積。 技巧 解：48/4=12平方厘米,12/2=6厘米，V=6x6x8=288立方厘米 關(guān)鍵是看截去一個(gè)小長(zhǎng)方體后，表面積是少了哪些面，一般會(huì)認(rèn)為少了5個(gè)小面，其實(shí)上面并沒(méi)有少，

29、只少了4個(gè)，而少的這4個(gè)面本題是有關(guān)系的，因?yàn)槭Ｏ碌臑橐粋€(gè)正方體，所以先求出一個(gè)面積，從而打開解決問(wèn)題的入口。 同步精練 1.把一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一個(gè)正方體，而表面積卻減少了36平方厘米，求原長(zhǎng)方體的表面積。 36/4=9 9/3=3,長(zhǎng)=寬=3厘米，高=3+3=6厘米，S=2x{3X3+3X6+3X6}=90 【錯(cuò)題】2.從一個(gè)長(zhǎng)是12厘米、高9厘米的長(zhǎng)方體上，平行于底截掉一個(gè)4厘米高的小長(zhǎng)方體，表面積減少了80平方厘米，求截掉的小長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？ 例4一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘

30、米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？ 技巧 【思路點(diǎn)撥】 要求長(zhǎng)方體的體積，就要求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方體的前面和上面的面積之和是209平方厘米，也就是長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高=長(zhǎng)（寬+高）=209。根據(jù)“長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)”這個(gè)條件可知：209=1119。而11和19哪個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和呢，只有19=2+17，所以長(zhǎng)、寬、高就分別是11、2、17，從而能求出長(zhǎng)方體的體積了。 V=11X2X17=374立方厘米 解決此類題目的關(guān)鍵是在把面積之和如何分成兩個(gè)數(shù)的積，并且這兩個(gè)數(shù)中首先必須有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，再把另一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)

31、的和。 同步精練 【略】1.一個(gè)長(zhǎng)方體的前面和右面的面積之和是54平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？ 1.一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積之和為39平方厘米，它的長(zhǎng)、寬、高都是整厘米，且都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？ ． 考點(diǎn)：整數(shù)的裂項(xiàng)與拆分；長(zhǎng)方體和正方體的體積．分析：根據(jù)題意：一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積=長(zhǎng)高+長(zhǎng)寬=長(zhǎng)（高+寬）=39，又知它的長(zhǎng)、寬、高都是整厘米，且都是質(zhì)數(shù)，39只有1種組合133，3不可再分，13只能分為2、11，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式求出得數(shù)．解答：解：一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積=長(zhǎng)高+長(zhǎng)寬=長(zhǎng)（高+寬）=39

32、（平方厘米）， 39=313=3（2+11）， 所以：長(zhǎng)寬高分別為2、3、11， 體積=2311=66立方厘米． 答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是66立方厘米． 故答案為：66立方厘米． 【略】2.一個(gè)長(zhǎng)方體的上面和右面的面積之和是36平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積分別是多少？ 練 習(xí) 卷 1.一個(gè)正方體玻璃缸棱長(zhǎng)2分米，向容器中倒入5升水，再放入一塊不規(guī)則的石頭，這時(shí)量得容器內(nèi)的水深15厘米。石頭的體積是多少立方厘米？ h=5/(2X2)=1.25分米 V=2X2X(1.5-1.25)=1立方分米=1000立方厘米 2.一個(gè)

33、封閉的長(zhǎng)方體容器的高是25厘米，長(zhǎng)和寬都是10厘米，容器內(nèi)裝著一些水。如果把該容器長(zhǎng)、寬都是10厘米的面做底面放在桌面上，這時(shí)水的高度是15厘米。如果把容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面做底面放在桌子上，這時(shí)水的高度是多少厘米？ H=10x10x15/（25x10）=6厘米 3.一只底面是正方形的長(zhǎng)方體鐵箱，如果把它的側(cè)面展開，正好得到一個(gè)邊長(zhǎng)是40厘米的正方形。求這只長(zhǎng)方體鐵箱的容積是多少升？ 長(zhǎng)=寬=40/4=10厘米 高=40厘米 V=10x10x40=4000立方厘米=4升 4. 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高截去2厘米，表面積就減少了32平方厘米，剩下的正好是一個(gè)正方體

34、。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多立方厘米？ 32/4=8厘米 8/2=4厘米 長(zhǎng)=寬=4厘米 高=6厘米 V=4X4X6=96立方厘米 第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量） 例題講學(xué) 例1 乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的。現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)現(xiàn)在是甲隊(duì)的。原來(lái)兩隊(duì)一共有多少人？ 【思路點(diǎn)撥】 當(dāng)“現(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)”后，甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)都發(fā)生了改變，所以單位“1”不好確定，但有一個(gè)未變的量，那就是兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)，因此我們可以把兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)看作單位“1”。 從“乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的”可以把乙隊(duì)人數(shù)看作3份，甲隊(duì)人數(shù)看作7份，總?cè)藬?shù)為1

35、0份，則乙隊(duì)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的=，后來(lái)甲隊(duì)派30到乙隊(duì)后，乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的=，那么乙隊(duì)多了（-）而正是多了30人所致。求出30人所對(duì)應(yīng)的分率，再求出原來(lái)的總?cè)藬?shù)。 技巧 令甲人數(shù)X,則乙(3/7)X,(X-30)(2/3)=(3/7)X+30 X=210(甲) （乙）=90 此類題目的兩個(gè)量都是變化的，所以單位“1”不能確定，一定要找出不變的量，把它確定為單位“1”，然后再看其中的一個(gè)量前后分別是單位“1”的幾分之幾，最后再利用具體數(shù)量和分率從而求出單位“1”。 同步精練 1.甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)，甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的?，F(xiàn)在從乙糧庫(kù)調(diào)6

36、噸糧食到甲糧庫(kù)，則甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的。原來(lái)兩個(gè)糧庫(kù)各存糧多少噸？ 令乙原有X，則甲(5/7)X,(5/7)X+6=(4/5)(X-6) 【X=126:乙】【甲：90】 3. 五（3）班在一次聚會(huì)中，請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的，中途又有一人離開，這樣請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的。五（3）班共有多少人？ 令：出席人X,則請(qǐng)假人X/9，X/9+1=(3/22)(X-1) X=45 X/9=5 [50總?cè)藬?shù)] 例2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人的一半，乙捐了另外三人的，丙捐了另外三人的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？ 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)

37、題意可知，單位“1”是另外三人的總和，但另外三人的總和是無(wú)論如何也不知道，且是變化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的總和是固定不變的，所以可以把四人的錢數(shù)總和看作單位“1”。 “甲捐了另外三人的一半”，可以看作甲捐的錢是1份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人總數(shù)的，同理，乙捐的是四人總數(shù)的，丙捐的是四人總數(shù)的。那么我們就可以求出剩下的丁捐的錢數(shù)占四人總數(shù)的幾分之幾了，再用具體數(shù)量91除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出總數(shù)。 技巧 1- [1-1/3-1/4-1/5]X=91 X=420元 此類題目的難點(diǎn)就在于雖然單位“1”名字上統(tǒng)一，但卻不是固定的，所以要找出固定不

38、變的量作為統(tǒng)一的單位“1”，然后求出每個(gè)量占單位“1”的幾分之幾，最后用對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出單位“1”。 同步精練 1.三個(gè)小朋友合買一枚價(jià)值24元的2008年奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，第一個(gè)小朋友付的錢是其他孩子付的錢的一半，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的錢的。問(wèn)：第三個(gè)孩子付了多少元錢？ 【10元】 2.甲乙丙丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，乙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，丙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的。已知丁數(shù)是260，求四個(gè)數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？ 【1200】 【400】 例3一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。這一堆糖果原來(lái)一共有多少塊？

39、 【思路點(diǎn)撥】 解答這道題時(shí)，應(yīng)抓住奶糖不變這個(gè)條件。因?yàn)樵诳倲?shù)發(fā)生了變化，水果糖也發(fā)生了變化的時(shí)候，奶糖卻是不變的，所以把變化的量——水果糖，求出變化前后分別是奶糖的幾分之幾，再看變化前后的具體數(shù)量，然后求出單位“1”——奶糖，最后再求出總數(shù)來(lái)。 具體解法：變化前，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的（）=；加入16塊水果糖后，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的=3，水果糖變化前后共增加了（3-）=，正是由于增加16塊所致，所以用16=9塊……奶糖——單位“1”，那么原來(lái)的水果糖就有9=11塊，總數(shù)為9+11=20（塊）。 同步精練 1.袋里有若

40、干個(gè)球，其中紅球占，后來(lái)又往袋里放了6個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的。原來(lái)袋里共有多少個(gè)球？ 【36】 2.某科技發(fā)明興趣小組中女生占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的。這個(gè)興趣小組的男生有多少人？ 【150】 練 習(xí) 卷 1. 某公司男職工比全公司總?cè)藬?shù)的多60人，女職工人數(shù)是男職工的，這個(gè)公司共有多少人？解：設(shè)公司員工人數(shù)為X, (3/5X+60)+(3/5X+60)/3=X X=400 2.某工廠有三個(gè)車間，第一車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，第三車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，已知第二車間有30人。另兩個(gè)車間各有多少人？ 解：

41、設(shè)總?cè)藬?shù)為X. X-X/4-3/8X=30 X=80 一車間：20 二車間：30 3.紡織廠女工占工人總數(shù)的，后來(lái)又調(diào)來(lái)30名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)的2倍。問(wèn)：現(xiàn)在廠里共有多少人？ 解：設(shè)現(xiàn)在人數(shù)為X.則原來(lái)為X-30. 5(X-30)/8+30=2[3(X-30)/8] X=270 4.甲、乙兩人共有郵票若干張，其中甲占，若乙給甲12張，則乙余下的張數(shù)占總數(shù)的。兩人共有郵票多少?gòu)垼? 解：設(shè)共有郵票為X張。11X/20-12=2X/5 X=80 5.科技活動(dòng)小組中，男生人數(shù)占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)4名男生參加，這時(shí)，男生人數(shù)占小組人數(shù)的。求這個(gè)科技活動(dòng)小組

42、女生有多少人？現(xiàn)在共有多少人？ 解：設(shè)現(xiàn)在人數(shù)為X.則原來(lái)為X-4. 3(X-4)/8+4=4X/9 X=36 女生：5（X-4）/8=20 第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問(wèn)題） 【知識(shí)概述】 把鹽溶于水就得到鹽水，其中鹽叫做溶質(zhì)，水叫溶劑，鹽與水的混合液叫做溶液。我們把鹽占鹽水的百分比叫做鹽水的濃度，通常濃度用百分?jǐn)?shù)表示，又叫做百分比濃度，這一類問(wèn)題叫做濃度問(wèn)題?！钧}水的濃度也就是含鹽率，糖水的濃度也叫做含糖率…】 例題講學(xué) 例1 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，加入多少克水就能得到濃度為10%的鹽水？ 【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?

43、0%的鹽水，鹽水中的水的重量增加了，但是鹽的重量卻沒(méi)有任何變化?？梢愿鶕?jù)已知條件先求出不變的量——鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后再用現(xiàn)在鹽水的重量減去原來(lái)鹽水的重量，就是增加的水的重量。 解：8025%=20（克），2010%=200（克），200-80=120（克） 答：加入120克水就能得到濃度為10%的鹽水。 同步精練 1.把碘溶在酒精里，配成碘酒，現(xiàn)在有含碘15%的碘酒50千克，要把它變成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？ 解：5015%=7.5（克），7.53%=250（克），250-50=200（克） 2.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入多少克水就能得到

44、濃度為16%的鹽水？ 解：8020%=16（克），1616%=100（克），100-80=20（克） 例2 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，要使鹽水的濃度提高到40%，需要加多少克鹽？ 【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，在鹽水的變化過(guò)程中，鹽的重量增加了，但是水的重量并沒(méi)有發(fā)生變化，也就是原來(lái)鹽水中的水的重量等于現(xiàn)在鹽水中水的重量。 解：80（1-25%）=60（克），60（1-40%）=100（克），100-80=20（克）。 答：需要加20克鹽。 同步精練 1. 現(xiàn)有濃度為15%的鹽水20千克，要使鹽水濃度提高到20%，需要加多少千克鹽？ 解：20

45、（1-15%）=17（克），17（1-20%）=21.25（克），21.25-20=1.25（克）。 2.濃度為10%的糖水300克，要把它變成濃度為25%的糖水，需要加糖多少克？ 解：300（1-10%）=270（克），270（1-25%）=360（克）， 360-300=60（克） 3.往40千克含鹽16%的鹽水中加入10千克鹽。求這時(shí)鹽水的濃度。 解：4016% =6.4（克），(6.4+10)(40+10)=32.8% 例3 有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為10%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？ 【思路點(diǎn)撥】 要使溶液的濃度變大，可以采取增

46、加溶質(zhì)（糖、鹽、純酒精等）的方法，也可以用蒸發(fā)水的辦法。 把鹽水加熱，一部分水變成水蒸氣蒸發(fā)掉了，于是鹽水中的水的重量減少了，而在變化過(guò)程中鹽的重量卻沒(méi)有變化。先根據(jù)條件求出原來(lái)鹽水中鹽的重量，由于在變化過(guò)程中鹽的重量沒(méi)有變化，所以原來(lái)鹽水中鹽的重量也是現(xiàn)在鹽水中鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后用原來(lái)鹽水的重量減去現(xiàn)在鹽水的重量，就是要蒸發(fā)掉水的重量。 解：7002.5%=17.5（克），17.510%=175（克），700-175=525（克） 答：從中要蒸發(fā)掉525克水。 同步精練 1.現(xiàn)有濃度為12.5%的鹽水40千克，將它變成濃度為20%的鹽水，要蒸發(fā)掉多少千克水？

47、 解：4012.5%=5（克），520%=25（克），40-25=15（克） 2.有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為20%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？ 解：7002.5%=17.5（克），17.520%=87.5（克），700-87.5=612.5（克） 練 習(xí) 卷 1.一瓶鹽水共重200克，其中鹽有20克，這瓶鹽水的濃度是（ 10）%。 2.配制一種鹽水，在450克水中加了50克鹽，這種鹽水的濃度是（10）%。 3.一種糖水的濃度是15%，200克糖水中，含糖（ 30）克。 4.一種糖水的濃度為10%，15克糖需加水（135）克。 5.現(xiàn)有

48、濃度為20%的鹽水80克，加入20克水，這時(shí)鹽水的濃度是多少？ 解：8020%=16（克），16(80+20)=16%， 6.在濃度為15%的糖水200中，加入多少克水就能得到濃度為10%的糖水？ 解：20015%=30（克），3010%=300（克），300-200=100（克） 7.濃度為20%的糖水500克，要把它變成濃度為50%的糖水，需要蒸發(fā)掉多少克水？ 解：50020%=100（克），10050%=200（克），500-200=300（克） 8.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入20克鹽，這時(shí)鹽水的濃度是多少？ 解：8020%=16（克）

49、，(16+20)(80+20)= 36% 綜 合 演 習(xí)（1） 1.體積是72立方厘米的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)6厘米，寬3厘米，高多少厘米？ 2.把3個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積分別是多少？ 3.一堆西瓜重10噸，上午賣出總重量的，下午賣出余下的，還有多少噸沒(méi)賣出？ 4.一批水果，第一天賣掉后，第二天又賣掉240千克，這時(shí)還剩下160千克，原來(lái)這批水果有多少千克？ 5.小明看一本課外書，第一周看了總頁(yè)數(shù)的，第二周比第一周多看了25頁(yè)，這時(shí)還剩下15頁(yè)沒(méi)看，這本課外書一共有多少頁(yè)？ 6.從甲地到乙地，一輛汽車第

50、一小時(shí)行了全程的，第二小時(shí)比第一小時(shí)少行了10千米，這時(shí)還剩下26千米不到乙地。甲乙兩地的全長(zhǎng)多少千米？ 7.求下圖組合圖形的表面積和體積。（單位：厘米） [上面的小正方體的棱長(zhǎng)為4厘米] 8.把一塊石頭放入一個(gè)長(zhǎng)5分米、寬4分米的玻璃容器中，水面上升了2厘米，這塊石頭的體積是多少？ 9.簡(jiǎn)便計(jì)算 129 41 綜 合 演 習(xí)（2） 1.在興華學(xué)校五年級(jí)剛分班的時(shí)候，五一班的人數(shù)占五二班人數(shù)的，后來(lái)又從五二班調(diào)3人到

51、五一班去了，這時(shí)五一班人數(shù)占五二班人數(shù)的。五一班原來(lái)有多少人？ 2.把一個(gè)長(zhǎng)18分米、寬和高都是2分米的長(zhǎng)方體鋼坯鍛造成一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬3分米的另一個(gè)長(zhǎng)方體鋼材，這個(gè)新的鋼材的高是多少？ 3.一堆石子，運(yùn)走后，又運(yùn)進(jìn)38噸，這時(shí)的石子重量比原來(lái)的還多了。原來(lái)有石子多少噸？ 4.一個(gè)西瓜，唐僧師徒四個(gè)人吃。悟空吃了整個(gè)西瓜的，八戒吃了余下的，沙僧吃了又余下的，最后唐僧只吃了千克。問(wèn)：這個(gè)西瓜有多重？ 5. 在一次課外活動(dòng)中，五四班有的學(xué)生先出去玩，過(guò)了一會(huì)，又出去了余下學(xué)生的，此時(shí)班級(jí)內(nèi)只剩下24人。五四班有多少人？ 6.五年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，后來(lái)又增加2位男生，這時(shí)男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)興趣小組共有多少人？ 7.甲乙丙丁四人合買一些書，甲拿出的錢占其余三人和的，乙拿出的錢占其余三人和的，丙拿出的錢占其余三人和的，丁拿出18元。這些書價(jià)值多少元？ 8.簡(jiǎn)便計(jì)算 38 （用兩種方法） 1998 - 42 -