講授通解通法提高教學(xué)效率

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1、講授通解通法,提高教學(xué)效率 摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法〞.讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)一道題目,而是一類題目.對(duì)教學(xué)中,課堂上講的每一道題目,都要給予認(rèn)真全面地思考,才能真正做到“授業(yè)解惑〞,真正實(shí)現(xiàn)高效教學(xué),建設(shè)一個(gè)和諧、完美的課堂. 【關(guān)鍵詞】通解通法;函數(shù);不等式;單調(diào)性等 眾所周知,在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)該掌握并向?qū)W生講授一定的解題技巧.但如何實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué),卻值得我們一線教師更多思考.筆者認(rèn)為需要向?qū)W生傳授必要且適宜的“通解通法〞.現(xiàn)在的課外市場(chǎng)充滿著各類質(zhì)量參差不齊的教學(xué)參考書,提供的某些問(wèn)題的解決方法,貌似是“通解通法〞,實(shí)那么不然.作為一線教師,

2、我們需要認(rèn)真思考,仔細(xì)鉆研,引導(dǎo)學(xué)生,并給出學(xué)生易于接受的,且能夠舉一反三的“通解通法〞.以下筆者通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)和大家一起探討. 例1定義在R上的函數(shù)y=f〔x〕,滿足當(dāng)x>0時(shí),f〔x〕>1,且對(duì)任意的x,y∈R,都有f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕,求證:對(duì)任意的x∈R,都有f〔x〕>0. 分析此題是人教版必修一函數(shù)章節(jié)中常見的一類題型,以下提供兩種方法供讀者體會(huì). 解法一對(duì)任意的x∈R,都有 f〔x〕=fx2+x2=fx2fx2=f2x2≥0. 假設(shè)存在x0∈R,使f〔x0〕=0, 那么對(duì)任意的x∈R,都有 f〔x〕=f〔x-x0+x0〕=f〔x-x0〕f〔x0〕=0. 這

3、與條件“當(dāng)x>0時(shí),f〔x〕>1〞矛盾,所以假設(shè)不成立, 所以對(duì)任意的x∈R,都有f〔x〕=f2x2>0. 解法二在f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕中,令y=0,有 f〔x〕=f〔x〕f〔0〕. ∵x>0時(shí),f〔x〕>1,∴f〔0〕=1. 設(shè)x0,f〔-x〕>1,那么 f〔0〕=f〔x+〔-x〕〕=f〔x〕f〔-x〕, ∴f〔x〕=f〔0〕f〔-x〕=1f〔-x〕>0. 綜上所述,對(duì)任意的x∈R,都有f〔x〕>0. 比擬,解法二更為通用,利用x>0時(shí),f〔x〕>1,再求證x=0,x>0時(shí),f〔x〕>0也滿足,也符合我們?cè)陬愃祁}目中常和學(xué)生提到的“求什么,設(shè)什么〞的解題思路.

4、例2在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍. 分析此題是高三復(fù)習(xí)課比擬常見的一道題目,它考查了等差數(shù)列、三角函數(shù)、解不等式等核心知識(shí)點(diǎn),是一道區(qū)分度很高的題目.一般的解法是: 因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2, 所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14, 根據(jù)根本不等式,a2+c2≥2ac,所以cosB≥34-14=12,又∠B∈〔0,π〕,且函數(shù)y=cosx在x∈〔0,π〕上是減函數(shù),所以∠B∈0,π3. 評(píng)注上述解法很巧妙地利用了根本不等式.很多人認(rèn)為

5、這就是解決本類題目的“通解通法〞,殊不知此法并不嚴(yán)謹(jǐn).原因在于此法只考慮了cosB的下限,上限沒(méi)有確定.也就是說(shuō),根據(jù)題目的條件,cosB的上限是否一定是1呢?當(dāng)然,我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發(fā),cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14,如果根據(jù)條件,得出ac的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性,cosB的范圍就確定了,問(wèn)題就迎刃而解了. 解析b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c. 因?yàn)閍,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),所以a+b>c, 故a+a+c2>c,整理得13cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14. 令t=ac,則t∈13,1, 所

6、以,y=cosB=38t+1t-14, 當(dāng)t∈13,1時(shí),y′=381-1t2=38t2-1t2≤0, 所以y=38t+1t-14在t∈13,1上是減函數(shù), 所以cosB∈12,1,所以∠B∈0,π3. 評(píng)注通過(guò)推導(dǎo),我們發(fā)現(xiàn),cosB的上限確實(shí)是1.有些人會(huì)認(rèn)為,這樣的考慮根本沒(méi)有必要.實(shí)際上,我們看了以下的變式,就知道,如此考慮是非常有必要的. 變式1在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍. 分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角〞兩個(gè)字.要保證△ABC是銳角三角形,只需要△ABC的三個(gè)角都是銳角,也就是三個(gè)角

7、中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍,但是不能單純地依賴根本不等式了. 解析因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c.因?yàn)閍,b,c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng),所以,a+b>c,1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab, 所以a+a+c2>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c235, 又a≤c,所以1≥ac>35, cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14=38ac+ca-14, 令t=ac,那么t∈35,1, 所以y=cosB=38t+1t-14, 當(dāng)t∈35,

8、1時(shí),y′=381-1t2=38t2-1t2≤0, 所以y=38t+1t-14在t∈35,1上是減函數(shù), 所以cosB∈12,35,所以,∠B∈arccos35,π3. 評(píng)注此題如果不考慮cosB的上限,直接用根本不等式,那么此題就會(huì)出錯(cuò).也就是說(shuō),原來(lái)利用根本不等式的方法對(duì)變式1已經(jīng)不適合了.利用函數(shù)單調(diào)性的解法才是真正的“通解通法〞. 變式2在鈍角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍. 答案∠B∈0,arccos35.過(guò)程留給讀者. 變式3在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且a,

9、b,c成等比數(shù)列,求∠B的取值范圍. 解析因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,不妨設(shè)a≤b≤c.因?yàn)閍,b,c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng), 所以a+b>c,1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab, 所以a+ac>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c25-12, 又a≤c,所以1≥ac>5-12, cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12, 令t=ac,那么t∈5-12,1, 所以y=cosB=12t+1t-12, 當(dāng)t∈35,1時(shí),y′=121-1t2=12t2-1t2≤0, 所以y=38

10、t+1t-14在t∈5-12,1上是減函數(shù),所以cosB∈12,5-12,所以∠B∈arccos5-12,π3. 例3設(shè)f〔x〕=1+ax1-ax〔a>0且a≠1〕,當(dāng)0分析此題是2021年高考理科四川卷22題第〔3〕問(wèn).它考查了函數(shù)、不等式等根底知識(shí),是一道區(qū)分度很高的題目.參考書或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法是: 設(shè)a=11+p,那么p≥1,1當(dāng)n=1時(shí),|f〔1〕-1|=2p≤2當(dāng)n≥2時(shí), 設(shè)k≥2k∈N*時(shí),那么f〔k〕=〔1+p〕k+1〔1+p〕k-1=1+2〔1+p〕k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk, 所以1從而n-1所以n綜上所述,總有∑nk=1f〔k〕-n評(píng)注

11、這種構(gòu)造a=11+p,然后利用二項(xiàng)式定理展開,從而放縮的證明方法很巧妙.這種技巧性非常強(qiáng)的證法很難想到,當(dāng)然不是通解通法.其實(shí),我們可以如此思考這道問(wèn)題,從而給出適合此題的、更為通用的解法: f〔k〕=1+ak1-ak=1+2ak1-ak,k∈N* 0|f〔1〕-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2當(dāng)n=2時(shí),|f〔1〕+f〔2〕-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83于是,我們會(huì)猜想∑nk=1f〔k〕-n事實(shí)上,∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak,而g〔a〕=2ak1-ak在a∈0,12上是增函數(shù),故g〔a〕

12、∈0,22k-1,從而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1,關(guān)于∑nk=122k-1解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1 =2∑nk=12k+1-1〔2k-1〕〔2k+1-1〕=41-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1 =4〔1-12n+1-1〕g〔a〕=2ak1-ak在a∈0,12上是增函數(shù), 故g〔a〕∈0,22k-1, 從而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1評(píng)注如此的分析和解答,才是此題的常規(guī)解答方法,才是適合此題的

13、“通解通法〞. 方法方法,利用的函數(shù)單調(diào)性,從而精準(zhǔn)地確定cosB的取值范圍,進(jìn)而確定∠B的取值范圍,這才是本類題目的“通解通法〞.對(duì)例3來(lái)說(shuō),參考書或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法具有太強(qiáng)的技巧性,而本文提供的思路和方法是學(xué)生易于接受的,也是考生能夠“想得到,做得出〞的.誠(chéng)然,我們也需明白,沒(méi)有適合所有題型的通解通法,因?yàn)轭}目條件千變?nèi)f化,但我們對(duì)教學(xué)中、課堂上講的每一道題目,只有給予認(rèn)真全面地思考,才能真正做到“授業(yè)解惑〞,才能實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué).建設(shè)一個(gè)和諧,完美,高效的課堂,不正是每一名優(yōu)秀教師所期待的嘛! 【參考文獻(xiàn)】 【1】丁聰穎.一道函數(shù)高考題的別解、巧解與通解[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2021〔2〕:45-47. 【2】李建潮.函數(shù)問(wèn)題的通法通解[J].中學(xué)生數(shù)學(xué):高中版,2021〔7〕:26. 【3】孫娜.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“通解通法〞能力的培養(yǎng)[J].高中數(shù)理化,2021〔2〕:5.

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