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1、單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標題樣式,*,9.7,向量到子空間的距離,2 標準正交基,3 同構(gòu),4 正交變換,1 定義與根本性質(zhì),6 對稱矩陣的標準形,8酉空間介紹,7 向量到子空間的,距離最小二乘法,小結(jié)與習題,第九章 歐氏空間,5 子空間,一、向量到子空間的距離,9.7 向量到子空間的距離,二、最小二乘法,向量間的距離,長度 稱為向量 和 的距離，,根本性質(zhì),（i）,（ii）,并且僅當 的等號才成立；,（iii）(,三角形不等式,),一、,向量到子空間的距離,定義,記為,2,.向量到子空間的距離,(1),設(shè) 為一固定向量，如果 與子空間 中,每
2、個向量垂直，,稱 垂直于子空間 記作,如果 則,注:,(2),向量到子空間中的各向量的距離以垂線為最短.,如圖示意，對給定 ，設(shè) 是 中的滿足,的向量，則,對 有,因 是子空間，,則,由勾股定理,證明：,故,所以,二、,最小二乘法,問題提出:,實系數(shù)線性方程組,1,即任意 都可能使,2,不等于零,可能無解，,設(shè)法找實數(shù)組 使,（2）,最小,這樣的 為方程組,（1）,的,最小二乘解,，,此問題叫,最小二乘法問題,.,最小二乘法的表示:,設(shè),3,用距離的概念，（,2）,就是,由,（,3,）,設(shè)則,要找 使（,2,）最小，等價于找子空間,中向量 使 到它的距離 比到,中其它向量的距離都短.,設(shè),這等價于,4,即,這樣4等價于,5,為此必,或,這就是最小二乘解所滿足的代數(shù)方程.,已知某種材料在生產(chǎn)過程中的廢品率 與某種,化學成份 有關(guān)下列表中記載了某工廠生產(chǎn),中 與相應(yīng)的 的幾次數(shù)值：,找出 對 的一個近似公式.,例題,把表中數(shù)值畫出圖來看，發(fā)現(xiàn)它的變化趨勢,近于一條直線因此我們決定選取 的一次式,來表達當然最好能選到適當?shù)?使得下面的等式,解：,都成立.,實際上是不可能的任何 代入上面各式都發(fā)生,些誤差.于是想找到 使得上面各式的誤差的平方,和最小，即找 使,最小.,易知,最小二乘解 所滿足的方程就是,解得,取三位有效數(shù)字.,即為,
高等代數(shù)北大版97
