第十講-中學數(shù)學概念教學

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,數(shù)學概念概述,數(shù)學概念學習的心理分析,數(shù)學,概念教學的基本要求和教法探討,數(shù)學概念概述,數(shù)學概念的意義,反映數(shù)學對象,本質(zhì)屬性,的思維形式叫做“數(shù)學概念”。,數(shù)學概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑,（,1,）從現(xiàn)實模型直接得來；,（,2,）經(jīng)過,多級抽象,概括得來；,（,3,）從數(shù)學,內(nèi)部需要,產(chǎn)生出來；,（,4,）把客觀事物理想化和純粹化得出；,（,5,）根據(jù)有理論上存在的可能性而提出等,數(shù)學概念是發(fā)展變化的：原因一方面事物是發(fā)展變化的，另一方面人們的認識是不斷深化的。如：自然數(shù)集（加零）擴大的自然數(shù)集（加正分數(shù)）算術(shù)

2、數(shù)集（加負整（分）數(shù)）有理數(shù)集（加無理數(shù)）實數(shù)集（加虛數(shù)）復(fù)數(shù)集,概念和詞語密切聯(lián)系：語詞是概念的語言形式，而概念是語詞的思想內(nèi)容，兩者密切聯(lián)系，不可分割。,概念和語詞之間是一一對應(yīng)的嗎？,數(shù)學概念的重要性：非常基本，也非常重要，判斷由概念構(gòu)成，推理由判斷構(gòu)成，論證由判斷和推理構(gòu)成，因此概念是其他思維形式的基礎(chǔ)，是思維的細胞。,數(shù)量關(guān)系和空間形式,概念的內(nèi)涵和外延,概念的,內(nèi)涵,亦稱內(nèi)包,：就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和,是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。是指概念所反映的對象的,特有屬性、本質(zhì)屬性,。,概念的,外延,亦稱外包，,指概念所反映的對象的,總和（或范圍），,是概念

3、的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物,。,例：“,ABC,的頂點,”,內(nèi)涵,是指點的性質(zhì)和其中任一點同在這個三角形兩邊之上這個性質(zhì)；,外延,是指,A,、,B,、,C,三點的集合。,注：,（,1,）,數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學科學體系中來認識的。,例如，,角,的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。,（,2,）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的,（,3,）,概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。,概念間的關(guān)系（指概念外延間的關(guān)系）,概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）,1,、相容關(guān)系（,兩個概念外延之間至少有一部分重合,）,（,1,）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系）：,外延完全重合，內(nèi)

4、涵可以不同。,例如,：,（一）,數(shù),0,是擴大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù),與負數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個,相等數(shù)的差等；,（二）,等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線,的外延都是同,一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。,注,：,研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、較,全面的認識。另外，在推理證明中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使,得論證簡明。,（,2,）從屬關(guān)系（屬種關(guān)系）,如果甲概念的外延,真包含,乙概念的外延 ，如下圖所示，那么，這兩個概念具有,從屬關(guān)系,。其中，外延較,大,的那個概念叫做,屬概念,，外延較,小,的那個概念叫做,種概念,。這兩個概念的外延

5、和 的關(guān)系可以寫成,例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概念；實數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在屬種關(guān)系中，外延大的那個叫屬概念，外延小的那個叫種概念,（一個概念的屬概念是否唯一，一個概念的種概念是否唯一？）,注意：一是種類概念之間具有相對性。二是要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如,對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間的關(guān)系不是從屬關(guān)系,只是全體與部分的關(guān)系。,（,3,）交叉關(guān)系,如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有,交叉關(guān)系,或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系，可設(shè)兩個概念的外延分別是集合 和 集

6、合，如果 是非空集合而且不是 ，那么這兩個概念具有,交叉,關(guān)系。,例：,（,1,）整數(shù)和整數(shù),（,2,）等腰三角形和直角三角形,（,4,）不相容關(guān)系（全異關(guān)系）,如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有,全異關(guān)系,，這種關(guān)系又叫做“全異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。,全異關(guān)系又分為,反對關(guān)系,、,矛盾關(guān)系和并列關(guān)系,.,反對關(guān)系：,兩個概念的外延完全不同，而且,它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正有理,數(shù)和負有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對關(guān)系。,矛盾關(guān)系：,兩個概念的外延完全不同，并且,它們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù),和無理數(shù)相對于實數(shù)來說就是矛盾關(guān)系。,并列關(guān)系：

7、,指兩個或兩個以上的同一系列的類概念，同時對于它們共同的種概念之間的關(guān)系，外延無公共部分。,反對關(guān)系,矛盾關(guān)系,內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系,概念的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當概念的內(nèi)涵擴大時,則概念的外延就縮小,;,當概念的內(nèi)涵縮小時,則概念的外延就擴大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。,例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加,“,兩組對邊分別平行,”,這個性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。,不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個概念之間。,概念的定義和原始概念,把概念的內(nèi)涵用語言表達出來，就是給概念下定義。（,揭示

8、概念內(nèi)涵的邏輯方法,）,原始概念：,一些概念不能再用別的概念來定義，而被作為概念體系的出發(fā)點，這樣的概念叫原始概念，或基本概念，或不定義概念,如：點、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。,定義的結(jié)構(gòu)：,被定義項（被定義的概念）、定義聯(lián)項（聯(lián)系詞）和定義項（下定義的概念）。,如：平行四邊形,就是,兩組對邊分別平行的四邊形。,下定義的方法：,鄰近的屬加種差的定義,鄰近的屬：,在一個概念的各個屬概念中，其內(nèi)涵與這個概念的內(nèi)涵之差最小的，叫這個概念的鄰近的屬。,如平行四邊形是矩形的屬概念而四邊形和多邊形則不是。,種差：,用于區(qū)別該概念和鄰近的屬概念的屬性）,例：,一個角是直角,的,平行四邊形,叫做,矩形

9、,（種差）（鄰近的屬）（被定義的項）,兩組對邊分別平行,的,四邊形,叫做,平行四邊形,（種差）（鄰近的屬）（被定義項）,注：,一個概念的同一個屬可以有不同的種差，因此同一個概念可以有不同的定義。,發(fā)生定義：,用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出定義。,例如：,“圓是由一定線段的一動端點在平面上繞另一不動端點運動而形成的封閉曲線”。這種定義一般說來語言敘述比較長，但直觀、生動，有時可以用圖形直觀地表示出來。,關(guān)系定義：,用對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義。,例如：,“偶數(shù)就是能被,2,整除的整數(shù)”,外延定義：,列舉概念的全部對象來下定義。,例如：,“有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)和零

10、的統(tǒng)稱”,遞歸定義：,當被定義的對象與自然數(shù)性質(zhì)有關(guān)時常采用。,公理定義法,（約定式定義）,規(guī)定“”,下定義的基本要求,定義要下得正確,必須遵守以下規(guī)則,（,1,）定義應(yīng)當相稱,所謂定義相稱指下定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等,不能擴大,也不能縮小,即通常說的不能過寬也不能過窄。,定義過寬,：下定義概念的外延大于被定義概念的外延。,例如,:A,、無理數(shù)是無限小數(shù)；,B,、直徑是弦。,此兩例都犯了定義過寬的邏輯錯誤。例,A,中的下定義概念,“,無限小數(shù),”,外延大,于被定義概念,“,無理數(shù),”,外延。因無限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。例,B,中的下定

11、義概念,“,弦,”,的外延大于被定義概念,“,直徑,”,的外延。,定義過窄：,下定義概念的外延小于被定義概念的外延。,例如,:A,、無理數(shù)是有理數(shù)的不盡方根；,B,、各角為直角的菱形是矩形。,此兩例都犯了定義過窄的錯誤。例,A,中的下定義概念,“,有理數(shù)的不盡方根,”,的外,延小于被定義概念,“,無理數(shù),”,的外延。因為,、,e,、,lg3,等都是無理數(shù),它們都不是有,理數(shù)的不盡方根。例,B,中的下定義概念,“,各角為直角的菱形,”,的外延小于被定義概念,“,矩形,”,的外延。因為各角為直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一,定是正方形。,（,2,）定義不能惡性循環(huán),在定義中,下定義

12、概念必須能直接地揭示被定義概念的內(nèi)涵,而不,能直接或間接地依賴于被定義概念。下定義的目的就是要揭示被定義,概念的內(nèi)涵。如果下定義概念直接或間接地包含了被定義概念,那么就,達不到明確概念內(nèi)涵的目的。違犯了這條規(guī)則,就會犯循環(huán)定義的邏輯,錯誤。,循環(huán)定義常有以下兩種情況,：,惡性循環(huán)：,在一個科學系統(tǒng)中,如果把概念,A,作為已知的概念來定義概念,B,但,又用概念,B,來定義概念,A,這種邏輯錯誤叫做定義惡性循環(huán)。例如用兩條,直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。這樣定,義概念不能揭示概念的內(nèi)涵。,詞語反復(fù)：,用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯誤

13、叫做詞語反復(fù),結(jié)果什么也沒有說清楚。以下幾例都犯了,詞語反復(fù)的錯誤。,1,互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。,2,基礎(chǔ)知識就是最基礎(chǔ)的知識。,（,3,）定義,一般,不用否定形式,定義應(yīng)從正面對被定義概念的本質(zhì)屬性用肯定形式給予揭示,一般不用否定形式。例如,“,不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù),”,。這樣定,義無理數(shù),既不能揭示無理數(shù)的內(nèi)涵,又不能確定無理數(shù)的外延。,但是,有些概念的特有屬性就是它缺少某個屬性,對這樣的概,念下定義可用否定形式。例如,“,同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫,做平行線,”,就是用的否定形式。,（,4,）定義應(yīng)當簡明,（,5,）定義一般不用比喻說法,在定義中不能應(yīng)用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)

14、列舉非本質(zhì)屬,性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。,例如,“,無窮小是很小很小的數(shù),”,這樣定義無窮小是錯誤的。,從外表看,頗似定義,但它用了比喻詞。又如,“,正方形是一種有規(guī),則四邊形,”,“,有規(guī)則,”,是一個不可捉摸的含混概念,這樣定義不能,揭示出,“,正方形,”,的內(nèi)涵。再如,“,對邊平行且相等的平面四邊形是,平行四邊形,”,。這個定義既不清楚確切,也不簡明。定義中漏掉了,“,兩組,”,、,“,分別,”,、多了,“,且相等,”,“,平面,”,。,概念的劃分和分類,劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個概念所指的事物，按,照不同的屬性分成若干小類，從概念來說，就是將一個屬概念劃

15、分成若,干種概念，被劃分的類叫做劃分的母項，若干小類叫做劃分的子項。,概念的劃分：,把一個屬概念分為若干個不相容種概念的邏輯方法。,概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性,或特征所進行的劃分。,概念分類的要求：,（,1,）排中律：,不能同假，必有一真，即,A,和,A,必居其一，且僅居其一，,A,或,A,）,（,2,）同一律：,保持同一性，,A,是,A,（,3,）無矛盾律：,使用同一標準，逐級分類等,劃分規(guī)則,（,1,）劃分后各子項應(yīng)當互不相容：,子項之間必須有全異關(guān)系，違反這條規(guī)則叫做犯了子項相容的錯誤。,例如：,把平行四邊形劃分為菱形、正方形和鄰邊不等的平行四邊形。,（,

16、2,）,各個子項必須窮盡母項：,子項的總和應(yīng)當與母項全同，違反這條規(guī)則叫做犯了子項不窮盡錯誤。,例如：,把平行四邊形劃分為菱形、正方形和矩形。,（,3,）每一次劃分應(yīng)當用同一個劃分標準：,劃分的標準可以不同，但每一次劃分時不能用兩種或兩種以上的劃分,標準。,（,4,）不能越級劃分：,應(yīng)取最接近的種概念，否則就叫做犯了越級分類的錯誤。,如：把實數(shù)分成整數(shù)和分數(shù)。,二分法：,首先把被劃分的概念分為兩個互相矛盾的概念，再繼續(xù)按照此方法進行，最后得到的種概念就一定能夠滿足前面的三條規(guī)則。,如：用二分法表示線性方程組的解,數(shù)學概念的特點,概括性,邏輯性,抽象性,多質(zhì)性,發(fā)展性,數(shù)學概念學習的心理分析,概念學習的基本形式,1.,概念的,形成,概念形成就是讓學生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)同類事,物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因此，數(shù)學概念的形成實質(zhì)上是抽象出,數(shù)學對象的共同本質(zhì)特征的過程?？筛爬ㄈ缦拢?（,1,）,辨別,各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進行分析、辨認，根,據(jù)事物的外部特征進行概括。,（,2,）,分化,出各種刺激模式的屬性。,（,3,）,抽象,出各個刺激模式的共同屬性。,（,