清華微積分(高等數(shù)學(xué))課件第十七講 定積分(二)

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1、2021-7-13 1 P174習(xí) 題 6.3 1(3)(4). 2(2). 4. 5. 7(3)(5)(11). 8(1)(3).復(fù) 習(xí) : P168186 作 業(yè) 2021-7-13 2 第 十 七 講 定 積 分 （ 二 ） 二 、 牛 頓 -萊 布 尼 茲 公 式一 、 變 上 限 定 積 分三 、 定 積 分 的 換 元 積 分 法四 、 定 積 分 的 分 部 積 分 法 2021-7-13 3 .,)( ,)( 上 也 可 積在 則上 可 積在若 xaxf baxbaxf 上 限 變 量積 分 變 量的 函 數(shù)是 上 限 x xa dttf )()(xF記 作 )( bxa )(

2、xF或 x a dxxf )( )( bxa 一 、 變 上 限 定 積 分 2021-7-13 4 定 理 ： ,)()( ,)(,)()2( ;,)(,)()1( baxxfxF baDxFbaCxf baCxFbaRxf 且 則若 則若 )()( xfdxxfdxd xa 走 過 路 程在 時(shí) 刻 開 始 作 直 線 運(yùn) 動(dòng)從 時(shí) 刻質(zhì) 點(diǎn) 以 速 度t atv ,)( ta dvts )()(連 續(xù) 時(shí) 就 有當(dāng) )(tv )()()( tvdvdtdts t a 注 意 連 續(xù) 函 數(shù) 一 定 存 在 原 函 數(shù) ！路 程 函 數(shù) 是 速 度 函 數(shù) 的 原 函 數(shù) 2021-7-1

3、3 5 證 (1) 用 連 續(xù) 定 義 證 明 , baxxbax 任 取 xaxx a dttfdttfxFxxF )()()()( a xxx a dttfdttf )()( xx x dttf )( ,)(,0, baxMxfMbaRf xx xxx x dttfdttfxFxxF )()()()(0 xM )0(0 x 2021-7-13 6 x xFxxFxF x )()(lim)(),1( 0 有由 xx xx dttfx )(1lim0證 (2) 用 導(dǎo) 數(shù) 定 義 證 明 , baxxbax 任 取 利 用 積 分 中 值 定 理 得 到,)( baCxf )(lim)(1li

4、m)( 00 fdttfxxF xxx xx )(xfxx xxx 0 之 間與介 于 2021-7-13 7 211 )2(;)1(1 x tx t dtedxddtedxd求例 所 以 有是 連 續(xù) 函 數(shù)因 為 ,xe xx t edtedxd 1)1( 21)2( x tdtedxd 222 xu xexe dxdudtedud u t 1 解 2xu令 2021-7-13 8 232 xx tdtedxd求例 2323 11 x tx txx t dtedtedte 32 )3(2 2 xx exxe 3223 11 x tx txx t dtedxddtedxddtedxd 32

5、232 xx exxe 32 11 x tx t dtedte解 2021-7-13 9 .),( 0sin3 0 20 2 dxdyxyy dttdte xy t 求能 確 定 隱 函 數(shù)設(shè) 由 方 程例 得 到求 導(dǎo)方 程 兩 邊 對(duì) ,x 0sin 22 xdxdye y 得解 出 ,dxdy 2sin2 xedxdy y解 注 意 變 上 限 定 積 分 給 出 一 種 表 示 函 數(shù) 的 方 法 ， 對(duì) 這 種 函 數(shù) 也 可 以 討 論 各 種 性 態(tài) 。 2021-7-13 10 .,),( cos,sin4 22 00 dxyddxdyxyy dydx tt求確 定 函 數(shù)設(shè)

6、參 數(shù) 方 程例 )( )(tx tydxdy )()( 22 txdxyd tdxdy ttt cotsincos tt tsin )cot( t3sin1解 2021-7-13 11 250 20 )cos1(lim5 x dttxx 求 極 限例 利 用 洛 比 達(dá) 法 則”“ ,00 2325 25 2 100 20 )cos1(lim)cos1(lim xxx dtt xxxx 20 5 )cos1(lim x xx 1015lim 22210 xxx 解 2021-7-13 12 恒 有具 有 什 麼 性 質(zhì) 的 函 數(shù)試 問例 ,:6 f ),()()( baxCdttfdxxf

7、 xa ),()()( , baxCdttfdxxf baCf xa 則 有若 2021-7-13 13 思 考 題 ： 1.有 原 函 數(shù) 的 函 數(shù) 是 否 一 定 連 續(xù) ？ 2.有 原 函 數(shù) 的 函 數(shù) 是 否 一 定 黎 曼 可 積 ？ 3.黎 曼 可 積 的 函 數(shù) 是 否 一 定 存 在 原 函 數(shù) ？ 2021-7-13 14 則 有上 的 任 意 一 個(gè) 原 函 數(shù) 在是設(shè) , ,)()(,)( baxfxFbaCxf baba xFaFbFdxxf )()()()( 二 、 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式定 理 2：定 積 分 變 上 限知故 由 定 理因 為 ,1,)(

8、 baCxf 證 x a dttfxG )()( .0)(,)( aGbaxf 且上 的 一 個(gè) 原 函 數(shù)在是 )1()()()()( aGbGdttfbG ba 2021-7-13 15 CxGxF )()(故 有一 個(gè) 原 函 數(shù) 上 的 任 意在是又 已 知 , ,)()( baxfxF )()()()(, aFbFaGbG 于 是 有 )()()( aFbFdxxfb a 便 得 到式代 入 ,(1) 2021-7-13 16dxx 10 1 11 計(jì) 算例 |1010 )1ln(1 1 xdxx 2ln 1ln2ln 解 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 將 定 積 分 的 計(jì)算 問

9、 題 轉(zhuǎn) 化 為 求 被 積 函 數(shù) 的 一 個(gè) 原 函數(shù) 的 問 題 . 2021-7-13 17 dxx 0 sin12 計(jì) 算例 dxdxx xx 0 220 cossin21sin1 dxxx 0 222 )cos(sin dxxx 0 2cos2sin dxxxdxxx 22 )2cos2(sin)2sin2(cos0 | 22 )2sin22cos2()2cos22sin2( 0 xxxx )12(4 解 2021-7-13 18 的 大 小 。與試 比 較設(shè) 21 202201 ,)cos(sin,)sin(sinII dxxIdxxI 例 3解 利 用 估 值 定 理 ,sin

10、,2,0 xxx 有時(shí)當(dāng) ,2,0 時(shí)且 當(dāng) x ),cos(sincos,sin)sinsin( xxxx 因 而 有 ,cos,sin xx 2021-7-13 19 1,cossin)sin(sin 20 2020 xxdxdxx 1,sincos)cos(sin 20 2020 xxdxdxx 2020 )cos(sin)sin(sin dxxdxx所 以即 21 II 因 此 2021-7-13 20 dtttfdxxf ba bta Ct txbaCxf ba )()()( ,)(,)()3( ;)()2( ;,)()1( ),(,)( 1則 有滿 足 三 個(gè) 條 件 ： 作 變

11、換設(shè) 函 數(shù)三 、 定 積 分 的 換 元 積 分 法定 理 1: (定 積 分 的 換 元 積 分 法 ) 2021-7-13 21 txoab )(tx txoab )(tx 證 的 一 個(gè) 原 函 數(shù)是設(shè) )()( xfxF )()()()()()()( ttftxftxFdt tdF )()()()( FFdtttf ba dxxfaFbF )()()( 2021-7-13 22 )0(1 0 22 adxxaa求 定 積 分例 )20(sin ttax令 2,;0,0 taxtx 時(shí)當(dāng)時(shí)則 當(dāng) dttadxtaxa coscos22 dttadxxa a 20 20 22 cos2

12、4)2sin21(2)2cos1(2 20202 |22 attadtta 解 于 是 由 換 元 公 式 2021-7-13 23 dxex 2ln0 12 求 定 積 分例 tex 1令 )1ln( 2 tx即 dtttdxe x 10 222ln0 121 22)arctan(2)1 11(2 |1010 2 ttdtt解 于 是 由 換 元 公 式 得 2021-7-13 24 有為 偶 函 數(shù) 時(shí)當(dāng) 則上 連 續(xù)在 對(duì) 稱 區(qū) 間若例 ,)()1( ,)(3 xf aaxf aaa dxxfdxxf 0 )(2)( 0)( aa dxxf 有為 奇 函 數(shù) 時(shí)當(dāng) ,)()2( xf

13、aaaa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(為 偶 函 數(shù) 知又 由 作 變 換對(duì) 于 右 端 第 一 項(xiàng))( :,xf tx 證 (1) )()()( tftfxf 2021-7-13 25 0 00 )()()( a aa dttfdttfdxxf為 什 麼 ? a dxxf0 )( 定 積 分 與 積 分 變 量 所 用 字 母 無 關(guān) ！ aaaa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( aaa dxxfdxxfdxxf 000 )(2)()(0 21 21 22 1arcsin dxx xx 例 如 : 從 而 由 換 元 公 式 2021-7-13 26 例 33

14、291)3( dxxx計(jì) 算 22 2sin1 cossin dxxxx計(jì) 算 2 33 291)3( dxxx例 解 解 33 2913 dxx 33 29 dxx 20 2sin1 cos2 dxxx 22 2sin1 cossin dxxxx 29 2021-7-13 27 可 以 證 明 ：利 用 定 積 分 的 換 元 法 , TTa a dxxfdxxf aTxf 0 )()( , )( 有則 對(duì) 任 意 的 實(shí) 數(shù)函 數(shù) 為 周 期 的 連 續(xù)是 一 個(gè) 以若 20 220 2 sin4sin xdxxdx )()()( 00 為 正 整 數(shù)ndxxfndxxf TnT 2021

15、-7-13 28分 部 積 分 公 式 則 有有 連 續(xù) 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 上在 區(qū) 間設(shè) 函 數(shù) ),(),( ,)(),( xvxu baxvxu b ababa dxxuxvxvxu dxxvxu )()()()( )()( | 四 、 定 積 分 的 分 部 積 分 法定 理 2: (定 積 分 的 分 部 積 分 法 ) 2021-7-13 29 )()()()()()( xvxuxvxuxvxu 得 公 式利 用是 連 續(xù) 函 數(shù) 從 而 左 端函 數(shù)由 條 件 上 式 右 端 是 連 續(xù) ,.)()( , LNxvxu |)()()()( baba xvxudxxvxu bab

16、aba dxxvxudxxvxu dxxvxuxvxu )()()()( )()()()(而 右 端 的 積 分 為 證 利 用 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 2021-7-13 30 |)()( )()()()( ba baba xvxu dxxvxudxxvxu 于 是 得 到 bababa dxxvxuxvxu dxxvxu )()()()( )()( | )()()()()()( | bababa xudxvxvxuxvdxu 成分 部 積 分 公 式 也 可 以 寫注 意 即 2021-7-13 31 411 lnln41 dxxxdxxx原 式 441 ln1 dxxx計(jì) 算例

17、)2ln2( 1141 41| dxxxxx | 41141 )4ln2()4ln2( xxxxxx 22ln6 )2ln2( 4141| dxxxxx 解 2021-7-13 32 dxxx n 10 2 )1(2 計(jì) 算例 dxxxnxxn dxxx nnn 10 1102110 2 )1(12)1(11 )1( | dxx nn xxnn nn 10 2102 )1()2)(1( 2 )1()2)(1( 2 |解 )3)(2)(1( 2)1()3)(2)(1( 2 |103 nnnxnnn n 2021-7-13 33 )(sin3 20 NndxxI nn 計(jì) 算 ：例 21200 d

18、xI 1cossin |20201 xdxxI解 20 1 )cos(sin xxdI nn dxxxn n 20 22 cossin)1( 20 1201 )(sin)cos(sin)cos( | xdxxx nn dxxxn n 20 22 )sin1(sin)1( nnn InInI )1()1( 2 2021-7-13 34 得 到時(shí)當(dāng) ,2kn 2!)2( !)12(sin20 22 kkdxxI kk )2(1 2 nInnI nn 得 到時(shí)當(dāng) ,12 kn 1!)12( !)22(sin 20 1212 kkdxxI kk 2021-7-13 35 例 如 ： 3252246 135sin20 6 dxx 35161357 246sin20 7 dxx )(sincos 2020 Nndxxdxx nn 可 以 證 明 dxx 40 8 2cos tx2令 dtt 20 8cos21 153610522468 135721