2020中考數學 九年級下冊銳角三角函數在實際問題中的應用(含答案)

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1、2020中考數學 銳角三角函數在實際問題中的應用（含答案） 1.如圖，小軍和小兵要去測量一座古塔的高度，他們在離古塔60米的A處用測角儀測得塔頂的仰角為30，已知測角儀AD=1.5米，則塔CB的高為多少米？ 參考答案:解：過A作AE∥DC交BC于點E 則AE=CD=60米，則∠AEB=90，EC=AD=1.5 在Rt△ABE中， 即 ∴ 所以，古塔高度為：米 2.如圖，小強在家里的樓頂上的點A處，測量建在與小明家樓房同水平線上相鄰的電梯樓的高，在點A處看電梯樓頂點B處的仰角為60，看樓底點C的俯角為45，兩棟樓之間的距離為30米，則電梯樓的高

2、BC為多少米？ 參考答案:解：過A作AD∥地面，交BC于D 則在Rt△ABD中，，即，∴ 在Rt△ACD中，，即，∴ ∴樓高BC為： 3.小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點的俯角分別為45，35。已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100米，請求出熱氣球離地面的高度。（結果保留整數，參考數據：，，） 參考答案:解：過A作AD⊥BC于點D 則AD即為熱氣球的高度，且∠1=∠2=45 ∴可設AD=BD=x 則CD=x+100 在Rt△ADC中 ，即 得： 即熱

3、氣球的高度為米 4.如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點A，B，C在同一直線上．小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47，觀測旗桿底部B的仰角為42．已知點D到地面的距離DE為1.56m，EC=21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結果保留小數點后一位，參考數據：tan47≈1.07，tan42≈0.90）． 參考答案:解：根據題意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90,∠DEC=90． 過點D作DF⊥AC,垂足為F． 則∠DFC=90,∠ADF=47,∠BFD=42． 可得四邊形DECF為矩形． ∴DF=EC=21,FC=DE=1．

4、56． 在Rt△DFA中， ∴AF=DFtan47≈21107=22.47． 在Rt△DFB中， ∴BF=DFtan42≈210.90=18.90． 于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6, BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5． 5.如圖所示，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象．在廢墟一側面上選兩探測點A、B，AB相距2米，探測線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點C與探測面的距離．（參考數據,） 參考答案:解：過C作CD⊥AB于點D， 則∠DBC=45=∠BCD

5、 ∴可設BD=CD=x 在Rt△ACD中可得： 即： 得 即，點C與探測面的 距離大約為2.73米。 6.如圖所示，如圖所示，我市某中學課外活動小組的同學利用所學知識去測量釜溪河沙灣段的寬度。小宇同學在A處觀測對岸C點，測得∠CAD＝45，小英同學在距A處50米遠的B處測得∠CBD＝30，請你根據這些數據算出河寬。（精確到0.01米，參考數據， ，） 參考答案:解：在Rt△ACE中，∠CAE=45 ∴可設CE=EA=x 在Rt△BCE中，，即，得 即，河寬約為68.3米 7.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m，在A點測得D點的

6、仰角∠EAD為45，在B點測得D點的仰角∠CBD為60，求這兩座建筑物的高度（結果保留根號） 參考答案:解：如圖，過A作AF⊥CD于點F， 在Rt△BCD中，∠DBC=60，BC=30m， ∵ ∴CD=BC?tan60=m， ∴乙建筑物的高度為m； 在Rt△AFD中，∠DAF=45， ∴DF=AF=BC=30m， ∴AB=CF=CD﹣DF=m， ∴甲建筑物的高度為m． 8.如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號，經確定，遇險拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現，在C處的南偏

7、西60方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于B處的正西方向．于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時，問漁船在B處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船A的救援？(參考數據：，，，結果精確到0.1小時) 參考答案:解：因為A在B的正西方，延長AB交南北軸于點D，則AB⊥CD于點D ∵∠BCD＝45，BD⊥CD ∴BD＝CD 在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60海里 即cos45＝，解得CD＝海里 ∴BD＝CD＝海里 在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝ 即 tan60＝，解得AD＝海里 ∵AB＝AD－BD ∴AB＝－＝30()海里 ∵海監(jiān)船A的航行

8、速度為30海里/小時 則漁船在B處需要等待的時間為 ＝＝≈2.45－1.41＝1.04≈1.0小時 ∴漁船在B處需要等待1.0小時 9.隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時尚．為開發(fā)新的旅游項目，我市對某山區(qū)進行調查，發(fā)現一瀑布．為測量它的高度，測量人員在瀑布的對面山上D點處測得瀑布頂端A點的仰角是30，測得瀑布底端B點的俯角是10，AB與水平面垂直．又在瀑布下的水平面測得CG＝27m，GF＝17.6m(注：C、G、F三點在同一直線上，CF⊥AB于點F)．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40．求瀑布AB的高度． (參考數據：≈1.73，sin40≈0.64，cos

9、40≈0.77，tan40≈0.84，sin10≈0.17，cos10≈0.98，tan10≈0.18) 參考答案:解：過點D作DM⊥CE，交CE于點M，作DN⊥AB，交AB于點N，如圖所示． 在Rt△CMD中，CD＝20m，∠DCM＝40，∠CMD＝90， ∴CM＝CD?cos40≈15.4m，DM＝CD?sin40≈12.8m， ∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60m． 在Rt△BDN中，∠BDN＝10，∠BND＝90，DN＝60m， ∴BN＝DN?tan10≈10.8m． 在Rt△ADN中，∠ADN＝30，∠AND＝90，DN＝60m， ∴AN

10、＝DN?tan30≈34.6m． ∴AB＝AN＋BN＝45.4m． 答：瀑布AB的高度約為45.4米． 10.如圖，斜坡BE，坡頂B到水平地面的距離AB為3米，坡底AE為18米，在B處，E處分別測得CD頂部點D的仰角為30，60，求CD的高度．(結果保留根號) 參考答案:解：作BF⊥CD于點F，設DF＝x米， 在Rt△DBF中，， 則， 在直角△DCE中，DC＝x＋CF＝3＋x(米)， 在直角△ABF中，，則米． ∵BF－CE＝AE，即． 解得：， 則CD＝(米)． 答：CD的高度是米． 11.如圖，站在高出海平面100m的懸崖C處，俯視海平面上一

11、搜捕魚船A，并測得其俯角為30，則船與觀察者之間的水平距離是多少？船向觀察者方向行進了一段距離到達B處，此時測得船的俯角為60，求船航行了多少米？ 參考答案:解：由題可知∠CAD=30，∠CBD=60，CD=100 ∴在Rt△ADC中，，即，∴ ∴在Rt△BDC中，，即，∴ ∴船與觀察者之間的水平距離為：，船航行了 12.有一艘漁輪在海上C處作業(yè)時，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號，此時搜救中心的兩艘救助輪救助一號和救助二號分別位于海上A處和B處，B在A的正東方向，且相距100里，測得地點C在A的南偏東60，在B的南偏東30方向上，如圖所示，若救助

12、一號和救助二號的速度分別為40里/小時和30里/小時，問搜救中心應派那艘救助輪才能盡早趕到C處救援？（≈1.7） 參考答案:解：作CD⊥AB交AB延長線于D， 由已知得：∠EAC=60，∠FBC=30， ∴∠1=30，∠2=90-30=60， ∵∠1+∠3=∠2， ∴∠3=30， ∴∠1=∠3， ∴AB=BC=100， 在Rt△BDC中，， ∴， ∵AD=AB+BD=150， ∴在Rt△ACD中，， ∴，， ∵， ∴搜救中心應派2號艘救助輪才能盡早趕到C處救援． 13.一艘漁船位于港口A的北偏東60方向，距離港口20海里B處

13、，它沿北偏西37方向航行至C處突然出現故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達C處，求救援的艇的航行速度.（sin37≈0.6，cos37≈0.8，≈1.732，結果取整數） 參考答案:解：輔助線如圖所示： BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF， 有題意知，∠FAB=60，∠CBE=37， ∴∠BAD=30， ∵AB=20海里， ∴BD=10海里， 在Rt△ABD中， 在Rt△BCE中， ∴CE=BC?sin37≈0.610=6海里， ∵ ∴EB=BC?cos37≈0.810=8海里， EF=AD=17.

14、32海里， ∴FC=EF﹣CE=11.32海里， AF=ED=EB+BD=18海里， 在Rt△AFC中， 21.263≈64海里/小時. 答：救援的艇的航行速度大約是64海里/小時. 14.今年，我國海關總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動，堅決把“洋垃圾”拒于國門之外．如圖，某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時，發(fā)現在的北偏東方向，相距150海里處的點有一可疑船只正沿方向行駛，點在港口的北偏東方向上，海監(jiān)船向港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出，在處成功攔截可疑船只，此時D點與點的距離為海里． （1）求點到直線的距離； （2）執(zhí)法船從到航行了多少海里?（結果保留根號

15、） 參考答案:解：（1）過點B作交CA的延長線于點H， 答：點到直線的距離為75海里。 （2） BH=75 在中， (海里) 答：執(zhí)法船從到航行了海里。 15.為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置一個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時∠AEB=∠FED），在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3，平面鏡E的俯角為45，FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結果保留整數）（參考數據：tan39.3≈0.82，ta

16、n84.3≈10.02） 參考答案:解：由題意，可得∠FED=45. 在直角△DEF中，∵∠FDE=90，∠FED=45， ∴DE=DF=1.8米，米. ∵∠AEB=∠FED=45， ∴∠AEF=180﹣∠AEB﹣∠FED=90. 在直角△AEF中，∵∠AEF=90，∠AFE=39.3+45=84.3， ∴AE=EF?tan∠AFE≈10.02=18.036（米）. 在直角△ABE中，∵∠ABE=90，∠AEB=45， ∴ 故旗桿AB的高度約為18米. 16.如圖，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿的高度。已知小亮站著測量，眼睛

17、與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30；小敏蹲著測量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的演講為45；兩人相距5米且位于旗桿同側（點B、D、F在同一直線上）。 （1）求小敏到旗桿的距離DF；（結果保留根號） （2）求旗桿EF的高度。 參考答案: 解：過C作CP⊥EF于點P，過A作AQ⊥EF于點Q，則QP=1.7-0.7=1 則在Rt△ECD中可設CD=ED=x ∴EQ=x-1 在Rt△AEQ中，AQ=BD+CD=5+x ∴，即 得 ∴，小敏到旗桿的距離為 17.如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為

18、人行橫道，馬路兩側的A、B兩點分別表示車站和超市，CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直．馬路寬20米，A，B相距62米，∠A＝67，∠B＝37． （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B．求他沿折線A→D→C→B到達超市比直線橫穿馬路多走多少米． （參考數據：，，，，，） 參考答案:【解】（1）如圖（第20題圖）設CD與AB的距離為x米． ∵CD∥AB，CF∥DE，CD⊥DE，∴四邊形CDEF是矩形， ∴CF＝DE＝x（米），EF＝CD＝20（米）， 又∵AB⊥CF

19、，AB⊥DE， ∴AE＝≈，BF＝≈， ∴AB＝AE＋EF＋BF＝＋20＋≈62， 解得，x≈24（米） 即CD與AB的距離約為24米． （2）在Rt△ADE中，AD＝ ，同理，BC≈， ∴（AD＋DC＋CB）－AB≈26＋20＋40－62＝24（米） 即沿折線A→D→C→B去超市B比直線橫穿馬路多走約24米． 18.如圖，一艘游輪在A處測得北偏東45的方向上有一燈塔B．游輪以海里/時的速度向正東方向航行2小時到達C處，此時測得燈塔B在C處北偏東15的方向上，求A處與燈塔B相距多少海里？(結果精確到1海里，參考數據：，) 參考答案:解：過

20、點C作CM⊥AB，垂足為M， 在Rt△ACM中，∠MAC＝90－45＝45，則∠MCA＝45， ∴AM＝MC， 由勾股定理得：AM2＋MC2＝AC2＝(202)2， 解得：AM＝CM＝40， ∵∠ECB＝15， ∴∠BCF＝90－15＝75， ∴∠B＝∠BCF－∠MAC＝75－45＝30， 在Rt△BCM中，tanB＝tan30＝，即， ∴BM＝40， ∴AB＝AM＋BM＝40＋40≈40＋401.73≈109(海里)， 答：A處與燈塔B相距109海里． 19.如圖，輪船從點A處出發(fā)，先航行至位于點A的南偏西15且與點A相距100km的點B處，再航行至位于點B的北偏

21、東75且與點B相距200km的點C處。 （1）求點C與點A的距離。（保留根號） （2）確定點C相對于點A的方向。 參考答案:解：過A作AD⊥BC于點D， 由圖可知：∠ABD=60 在Rt△ABD中，，∴BD=50 ，∴ 在Rt△ADC中，由勾股定理可得： ∴ ∴銳角∠DAC=60 ∴點C在點A的南偏西75 20.如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC＝37，壩頂DC＝3m，背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)為1:0.5，壩底AB＝14m． (1)求壩高； (2)如圖2，為了提高堤壩的防洪抗洪能

22、力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時拓寬加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的長．(參考數據：，，) 參考答案:解：(1)作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N． 由題意：tan∠DAB＝＝2，設AM＝x，則DM＝2x， ∵四邊形DMNC是矩形， ∴DM＝CN＝2x， 在Rt△NBC中，tan37＝， ∴BN＝x， ∵x＋3＋x＝14， ∴x＝3， ∴DM＝6， 答：壩高為6m． (2)作FH⊥AB于H．設DF＝y，則AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3＋y)＝11＋y， 由△EFH∽△FBH，可得， 即， 解得y＝－7＋2或－7－2(舍棄)， ∴DF＝2－7， 答：DF的長為(2－7)m． 21.如圖，線段AB，CD分別表示甲、乙兩座建筑物的高。某九年級課外興趣活動小組未來測量者兩座建筑物的高，用自制測角儀在A處測得D點的仰角為α，在B處測得D點的仰角為β。已知甲乙兩座建筑物之間的距離BC=m，請你通過計算，用含有α、β，m的式子分別表示甲乙兩座建筑物的高度 參考答案:解：假設過A的水平線交CD于點E，則由題可知：AE⊥DC，AE=BC=m 在Rt△ADE中，，即 ∴ 在Rt△BDC中，，即 ∴ 所以，乙建筑物高 甲建筑物高：