電磁波復(fù)習(xí)資料矢量分析

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1電磁波復(fù)習(xí)資料電磁波復(fù)習(xí)資料 矢量分析矢量分析2本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理第1頁(yè)/共51頁(yè)31.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1 1.1 .1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊Ｊ噶康膸缀伪硎境Ｊ噶浚捍笮『?/p>

2、方向均不變的矢量。第2頁(yè)/共51頁(yè)4（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的減法結(jié)合律交換律第3頁(yè)/共51頁(yè)5q矢量 與 的夾角（2）標(biāo)量乘矢量大小為，若則與同方向，若則與反方向。（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積符合交換律第4頁(yè)/共51頁(yè)6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積若 ，則若 ，則方向遵循右手螺旋法則！第5頁(yè)/共51頁(yè)7（5）矢量的三重積 標(biāo)量三重積ABCBCV=A(BC)標(biāo)量三重積的結(jié)果表示以為棱的平行六面體的體積。矢量三重積Baccab法則第6頁(yè)/

3、共51頁(yè)8 空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三個(gè)相互正交曲面的交點(diǎn)來(lái)確定。1 1.2.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。在正交坐標(biāo)系中，描述正交曲面的量稱為坐標(biāo)變量。第7頁(yè)/共51頁(yè)91.1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量 點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydx第8頁(yè)/共51頁(yè)102.2.

4、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）第9頁(yè)/共51頁(yè)113.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）線元矢量第10頁(yè)/共51頁(yè)124.4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系(相同)直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq圓柱坐

5、標(biāo)與球坐標(biāo)系（相同）第11頁(yè)/共51頁(yè)13矢量在直角坐標(biāo)系中的表示：寫成行列式形式為第12頁(yè)/共51頁(yè)14矢量在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的表示：注意：1.坐標(biāo)變量的順序是固定的。2.位置矢量與一般矢量的區(qū)別。第13頁(yè)/共51頁(yè)151.3 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：如果一個(gè)空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)

6、是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第14頁(yè)/共51頁(yè)161.標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)第15頁(yè)/共51頁(yè)172.方向?qū)?shù)意義：表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。概念：u(M)沿方向增加；u(M)沿方向減?。籾(M)沿方向無(wú)變化。M0M方向?qū)?shù)的概念 特點(diǎn):方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，與 方向有關(guān)。問(wèn)題：在什么方向

7、上變化率最大、其最大的變化率為多少？的方向余弦。式中：第16頁(yè)/共51頁(yè)183.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或 ）意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中 取得最大值的方向是哈密頓算符，讀作“Nabla”或“del”最大值？取到最大值時(shí)的方向？第17頁(yè)/共51頁(yè)19梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或 ）第18頁(yè)/共51頁(yè)20標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）第19

8、頁(yè)/共51頁(yè)21 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為 例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(1)該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第20頁(yè)/共51頁(yè)22表征其方向的單位矢量 (2)由 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 之 間 的 關(guān) 系 式 可 知，沿 el 方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第21頁(yè)/共51頁(yè)23而該點(diǎn)的梯度值為 顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率

9、，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第22頁(yè)/共51頁(yè)241.4 1.4 1.4 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1.矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是有向曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線OM 第23頁(yè)/共51頁(yè)252.矢量場(chǎng)的通量 問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？引入通量的概念。通量的概念其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過(guò)面積元 的通量。如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量第24頁(yè)/共51頁(yè)26通過(guò)閉合曲面有

10、凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義第25頁(yè)/共51頁(yè)273.矢量場(chǎng)的散度 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第26頁(yè)/共51頁(yè)28圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：第27頁(yè)/共51頁(yè)29直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前

11、、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzxyP第28頁(yè)/共51頁(yè)30根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為第29頁(yè)/共51頁(yè)314.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第30頁(yè)/共51頁(yè)321.5 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢

12、量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第31頁(yè)/共51頁(yè)33 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。磁感應(yīng)線要么不穿過(guò)曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線第32頁(yè)/共51頁(yè)34q如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即q如果矢量

13、場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。第33頁(yè)/共51頁(yè)35 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。2.矢量場(chǎng)的旋度（）（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向 的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向 有關(guān)。過(guò)點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0 時(shí)（法線方向不變），極限第34頁(yè)/共51頁(yè)36而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyz yCMzx1234計(jì)算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中 、的表達(dá)式

14、第35頁(yè)/共51頁(yè)37于是 同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)流 面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元 的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度第36頁(yè)/共51頁(yè)38旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系第37頁(yè)/共51頁(yè)39旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第38頁(yè)/共51頁(yè)403.斯托克斯定理 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋

15、度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第39頁(yè)/共51頁(yè)414.散度和旋度的區(qū)別 第40頁(yè)/共51頁(yè)421.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有旋渦旋渦性質(zhì)，穿過(guò)一曲面 的旋度源旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度旋度。1.6 1.6 1.6 1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)第41頁(yè)/共51頁(yè)432

16、.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)第42頁(yè)/共51頁(yè)44（2）無(wú)散場(chǎng) 僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)第43頁(yè)/共51頁(yè)45（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分第44頁(yè)/共51頁(yè)461.7 1.7 1.7 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：拉普拉斯

17、算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第45頁(yè)/共51頁(yè)47 矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第46頁(yè)/共51頁(yè)482.格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式：根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,式中S 為包圍V 的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。第47頁(yè)/共51頁(yè)49基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。格林定理說(shuō)明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)

18、題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。第48頁(yè)/共51頁(yè)50亥姆霍茲定理:若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為式中：亥姆霍茲定理表明：在無(wú)界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。1.8 1.8 1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第49頁(yè)/共51頁(yè)51有界區(qū)域 在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。第50頁(yè)/共51頁(yè)