《多邊形的內角和與外角和》教學設計-01

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1、 《多邊形的內角和與外角和》教學設計 教學任務分析 知識與技能  掌握多邊形內角和公式及外角和定理，并能應用 . 1. 經(jīng)歷把多邊形內角和問題轉化為三角形內角和問題的過程，  體會轉 化思想在幾何中的應用，同時體會從特殊到一般的認識問題的方法； 教  學  過程與方法 目標 2. 經(jīng)歷探索多邊形內角和公式的過程， 嘗試從不同角度尋求解決問題 的方法 . 訓練學生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神 . 情感態(tài)度價 通過猜想、 推理等數(shù)學活動， 感

2、受數(shù)學充滿著探索以及數(shù)學結論的確 值觀 定性，提高學生學習數(shù)學的熱情 . 重點 多種方法探索多邊形內角和公式 難點 多邊形內角和公式的推導 教學流程安排 活動流程 活動內容和目的 活動 1 學生自主探索四邊形 從對三角形及特殊四邊形 （正方形、 長方形） 內角和的認識出發(fā)， 內角和 使學生積極參加到探索四邊形內角和的活動中 . 活動 2 教師引導學生探索  加深對轉化思想方法的理解，  訓練發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力  . 總結把四邊形轉化為三角 形添加輔助線的基本

3、方法  通過把多邊形轉化為三角形體會轉化思想，感受從特殊到一般的 數(shù)學思考方法 . 活動  3 探索  n 邊形內角和 公式  學生提高動手實操能力、突破“添”的思維局限 活動 4  師生共同研究遞推  綜合運用新舊知識解決問題  . 法確定  n 邊形內角和公式 回顧本節(jié)內容，培養(yǎng)學生的歸納概括能力  . 活動 5  多邊形內角和公式 的應用  反思總結，鞏固提高  .

4、 活動  6 小結 作業(yè) 課前準備 教師用三角尺  剪刀  復印材料 課件 教學過程設計  三角形紙片 問題與情景 師生行為 設計意圖 [ 活動 1、 2] 學生回答： 通過回憶三角 問題 1. 三角形的內 形的內角和，有助 角和是多少？ 三角形內角和是 180 , 與形狀無關 ; 正方 于 后 續(xù) 問 題 的 解 形、長方形內角和是 360（ 4 90），由此

5、決. 與形狀有關嗎？ 猜想任意凸四邊形內角和是 360 . 從四邊形入 問題 2. 正方形、長方 學生先獨立探究 , 再小組交流討論 . 手，有利于學生探 形 的 內 角 和 是 多 求它與三角形的關 少？ 教師深入小組指導， 傾聽學生交流 . 對于通 系，從而有利于發(fā) 過測量、拼圖說明的，可以引導學生利用添加 現(xiàn) 轉 化 的 思 想 方 由此你能猜想任意 輔助線的方法把四邊形轉化為三角形. 法. 凸 四 邊 形 內 角 和 嗎？ 學生匯報結果 . 通過動手操 作尋

6、找結論，讓他 動 腦 筋 、 想 辦 們積極參加數(shù)學活 法，說明你的猜想是 動、主動思考、合 正確的 . 作交流，體驗解決 問 題 策 略 的 多 樣 性. 通過尋求多 ①過一個頂點畫對角線 1 條，得到 2 個三角 種方法解決問題， 訓練學生發(fā)散思維 形，內角和為 2 180； 能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意 識. ②畫 2 條對角線，在四邊形內部交于一點，得 到 4 個三角形，內角和為 4 180 -360 ； ③若在四邊形內部任取一點

7、，如圖，也可以得 到相應的結論； 問題 3 添加輔助線的 目的是什么， 方法有 沒有什么規(guī)律呢？ ④這個點還可以取在邊上（若與頂點重合，轉 化為第一種情況——連接對角線；否則如圖 4） [ 活動 3]

8、 問題 4 怎樣求 n 邊形的內角和？（ n 是大于等于 3 的整數(shù)） [ 活動 4] 每名同學發(fā)一張三角形紙片 問題 5 一張三角形紙片只剪一刀， 能不能得到一個四邊形， 在  內角和為 3180 -180 ； ⑤點還可以取在外部，如圖 5、6. 由圖 5，內角 和為 3 180-180 ；由圖 6，內角和為 2 180； 教師重點關注 : ①

9、學生能否借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形；②能否借助輔助線找到不同的分割方法 . 教師總結：利用輔助線把四邊形的內角和 轉化為三角形的內角和，體現(xiàn)了化未知為已知 的轉化思想 . . 以上這些方法同樣適用于探究任 意凸多邊形的內角和 . 為方便起見， 下面我們可 以選用最簡單的方法——過一點畫多邊形的對 角線，來探究五邊形、六邊形，甚至任意 n 邊 形的內角和 . 學生歸納得出結論：從 n 邊形的一個頂點 通 過 歸 納 出發(fā)可以引（ n-3 ）條對角線，它們將 n 邊形分 概括得出任意凸多 割成（ n-2 ）個三角形，（

10、凸） n 邊形的內角和 邊形的內角和與邊 等于（ n-2 ） 180 . 數(shù)關系的表達式， 體會數(shù)形之間的聯(lián) 特點：內角和都是 180的整數(shù)倍 . 系，感受從特殊到 一般的數(shù)學推理過 程 和 數(shù) 學 思 想 方 法. 將三角形去掉一個角可以得到四邊形，如圖 7，四邊形內角和為 180 +2 180 -180 =2 180. 這一過程中內角發(fā) 生了怎樣的變化 學生突破常規(guī)，學 會逆向思維，變以 問題 6 由四邊形得到 往的“把多邊形轉 五邊形呢？

11、 化成三角形” 為“把 每個圖形都是前一個圖形剪去一個三角形，每 三角形轉化成多邊 依此類推能否猜想 n 次操作內角和增加 180， n 邊形是三角形經(jīng)過 形”同樣使問題得 邊形內角和公式 （ n-3 ）次操作得到的，所以 n 邊形內角和公式 到解決 為（ n-2 ） 180 （嚴謹?shù)淖C明應在學習數(shù)學歸納法后） [ 活動 5] 學生自己畫圖、思考 . 敘述理由：六邊形 知 道 了 凸 多 邊 的六個外角與六個內角構成 6 個平角，結合內 形的內角和， 它可以 角和公式，因此得到

12、 解決哪些問題呢？ 6 180- （ 6-2 ） 180=360 學生思考，回答 . 問題 6：六邊形的外 角和等于多少？ n 邊形中，每個頂點處的內角與一個外角組 成一個平角，它們的和，即 n 邊形內角和與外 角和的和為 n 180，而內角和為（ n-2 ） n 邊形外角和是多 180，因此外角和為 360 . 少？ 練習 一個多邊形各內角 練習 . 解：（ n-2 ） 180=150n， n=12； 都 相

13、 等 ， 都 等 于 150 ， 它 的 邊 數(shù) 或 360（ 180-150 ） =12（利用外角和） 是 ，內 角和是 . 150 12=1800 . [ 活動 5] 學生自己小結，老師再總結 . 小結 1. 多 邊形內 角和公 式（ n-2 ） 下面請同學們總結 180，外角和是 360； 一下這節(jié)課你有哪 些收獲 . 2. 由特殊到一般的數(shù)學方法、 轉  利 用 內 角和求外角和，鞏固 了

14、內 角 和 公 式 . 如時間允許，此時還可補充利用“轉角”求多邊形外角和的方法，這樣就變成了可以利用外角 和 來 推 導 內 角和，這又是一種逆向思維 鞏固內角和公式，外角和定理 . 學會總結，培養(yǎng)歸納概括能力 . 化思想 . 作業(yè)： 一同學在進行多邊形的內角和計算時，求 得內角和為 1125，可能嗎？ 多邊形內角和與不 課后思考題 . 等 式 的 綜 合 應 用 當他發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算

15、 題，一題多解，提 了一個內角，你能求出這個內角是多少度？他 高學生的綜合應用 求的是幾邊形的內角和嗎？ 能力 . 作業(yè)： 解法 1. 設這是 n 邊形， 這個內角為 x , 依 題意：（ n-2 ） 180=1125+x x=（ n-2 ） 180-1125 ∵ 0＜ x＜180 ∴ 0＜（ n-2 ） 180-1125 ＜ 180 解得： ＜ n＜ ∵ n 是整數(shù)， ∴ n=9. x=（ 9-2 ） 180-1125=135 注：方程（ n-2 ）180

16、=1125+x 中有兩個未知 數(shù)，解法 1 用 n 表示 x，根據(jù) x 的取值范圍解不 等式組求出了 n；如果用 x 表示 n，你能解出來 嗎？ 解法 2. 設這是 n 邊形， 這個內角為 x , 依 題意：（ n-2 ） 180=1125+x ∵ n 是整數(shù)， ∴ 45+x 是 180 的倍數(shù) . 又∵ 0＜x＜ 180 ∴ 45+x=180， x=135， n=9 還可以根據(jù)內角和的特點 , 先求出內角和 . 解法 3. 設此多邊形

17、的內角和為  x ,  依題 意： 1125＜ x＜ 1125+180 即： 180 6+45＜x＜ 1807+45 ∵ x 是多邊形內角和的度數(shù) ∴ x 是 180 的倍數(shù) ∴ x=180 7=1260 邊數(shù) =7+2=9， 這個內角 =1260-1125 =135 解法 4（極值法） . 設這是 n 邊形，這個內 角為 x , 則 0 ＜ x ＜ 180 ，依題意：（ n-2 ） 180=1125+x 令 x=0，得： n=，令 x=180，得： n= ∴ ＜ n ＜ 其 余 同 解 法 1.