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1、第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 1 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 2 本章內(nèi)容 1.1 矢量代數(shù) 1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.8 亥姆霍茲定理 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 3 1. 標(biāo)量和矢量 矢量的大小或模 ： A
2、A 矢量的單位矢量 ： 標(biāo)量 ： 一個(gè)只用大小描述的物理量。 A Ae A 矢量的代數(shù)表示 ： AeAeA AA 1.1 矢量代數(shù) 矢量 ： 一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示 ： 一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 注意 ： 單位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的幾何表示 常矢量 ： 大小和方向均不變的矢量。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 4 zzyyxx AeAeAeA A A A A A A x y z c o s c o s c o s )c o sc o s
3、c o s( zyx eeeAA 矢量用坐標(biāo)分量表示 c o sc o sc o s zyxA eeee z Ax A Ay Az x y O 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 5 （ 1）矢量的加減法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為 鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線 ,如圖所示。 矢量的加減符合交換律和結(jié)合律 2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法 BA A B 矢量的減法 BA AB B 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法： 結(jié)合律 ( ) ( )A B C A B C
4、 A B B A 交換律 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 6 （ 2）標(biāo)量乘矢量 （ 3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBA c o s A B B A 矢量的標(biāo)積符合交換律 1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee A B 矢量 與 的夾角 A B A B A B 0 BA / A B AB 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 7 （ 4）矢量的矢積（叉積） s
5、inABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eee BA ABBA sin AB BA B A 矢量 與 的叉積 A B 用坐標(biāo)分量表示為 寫成行列式形式為 BA ABBA 若 ，則 BA / 0 BA 若 ，則 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 8 （ 5）矢量的混合運(yùn)算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()( BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分配律 分配律 標(biāo)量三重積 矢量三重積
6、 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 9 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái) 確定。 1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中， 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為： 直角 坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為 正交曲線坐標(biāo)系 ；三條正交曲線稱為 坐標(biāo)軸 ；描述坐標(biāo)軸的量稱 為 坐標(biāo)變量 。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 10 1. 直角坐標(biāo)系 zeyexer zyx 位
7、置矢量 面元矢量 線元矢量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd 體積元 zyxV dddd zxelleS yzxyy ddddd 坐標(biāo)變量 zyx , 坐標(biāo)單位矢量 zyx eee , 點(diǎn) P(x0,y0,z0) 0 y y （平面） o x y z 0 x x （平面） 0 z z （平面 ） P 直角坐標(biāo)系 xe ze ye x y z 直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 o d z d y d x zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子
8、科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 11 2. 圓柱坐標(biāo)系 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS zelleS z,坐標(biāo)變量 zeee , 坐標(biāo)單位矢量 zeer z 位置矢量 zeeel z dddd 線元矢量 zV dddd 體積元 面元矢量 圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元 圓柱坐標(biāo)系 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 12 dds i nddd 2relleS rrr dds inddd rrelleS zr ddddd rrelleS
9、r 3. 球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元 ,r 坐標(biāo)變量 eee r ,坐標(biāo)單位矢量 rer r 位置矢量 ds inddd rererel r 線元矢量 ddds ind 2 rrV 體積元 面元矢量 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 13 4. 坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系 xe ye ze e e ze cos sin 0 cossin 0 0 0 1 直角坐標(biāo) 與 圓柱坐標(biāo)系 e e ze re e e sin 0 cos sincos 0 0 01 圓柱坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo) 與 球坐
10、標(biāo)系 ze re e e cossin cos sincos cos 0 xe ye sinsin sincos cossin o x y 單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xe ye e e o z 單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 ze e re e 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 14 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為 標(biāo)量場(chǎng) 。 例如 ：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為 矢量場(chǎng) 。 例如 ：流速場(chǎng) 、 重力場(chǎng) 、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。 如果場(chǎng)
11、與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為 靜態(tài)場(chǎng) ，反之為 時(shí)變場(chǎng) 。 時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、),( tzyxu ),( tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在 該區(qū)域上定義了一個(gè) 場(chǎng) 。 從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 、),( zyxu ),( zyxF靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 15 1.標(biāo)量場(chǎng)的等值面 標(biāo)量場(chǎng)的等值線 (面 ) 等值面 : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。 Czyxu ),(等值面方程 ： 常數(shù) C 取一系
12、列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn) ： 意義 : 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 16 2. 方向?qū)?shù) 意義 ：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率 。 0 0 c o s c o s c o s| l imM l u u u u u l l x y z 概念 ： l0u l u(M)沿 方向增加； l0u l u(M)沿 方向減?。?l0u l u(M)沿 方向無(wú)變化。 M0
13、lM l 方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn) ：方向?qū)?shù)既與點(diǎn) M0有關(guān)，也與 方向有關(guān) 。 問題 ：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 l式中 ： c o sc o sc o s 、 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 17 梯度的表達(dá)式 ： z ueueueu z 1圓柱坐標(biāo)系 u re u rer ueu r s i n 11 球坐標(biāo)系 z ue y ue x ueu zyx 直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 （ 或 ） gradu u 意義 ： 描述標(biāo)量 場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向 概念
14、： ， 其中 取得最大值的方向 m a x|l uue l l ue l 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 18 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某 點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大） 的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上 場(chǎng)的空間變化率。 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是 梯度在該方向上的投影。 梯度的性質(zhì) ： 梯度運(yùn)算的基本公式 ： uufuf uvvuuv vuvu uCCu C )()( )( )( )( 0 標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面） 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等
15、教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 19 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得 P點(diǎn)的梯度為 PzyxP zyxzeyexe )( 22 zyxzyx eeeeyexe 22)22( )1,1,1( 例 1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2 y2 z 描述了空間標(biāo)量 場(chǎng) 。 試求： (1) 該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,1)處的梯度 ， 以及表示該梯度方向的 單位矢量 。 (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù) ， 并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度 值作以比較 ， 得出相應(yīng)結(jié)論 。 ooo 60c o s45c o s60c o s zyxl eee
16、e 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 20 表征其方向的單位矢量 2 2 2 ( 1 , 1 , 1 ) 22 22 1 3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) x y z l x y zP P e x e y e e e e e xy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知 ， 沿 el方向的方向 導(dǎo)數(shù)為 對(duì)于給定的 P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為 ( 1 , 1 , 1 ) 1 2 212 2 2P xyl )212 221()22( zyxzyxl eeeeyexeel 2 12 yx 第 1章 矢量分析
17、 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 21 而該點(diǎn)的梯度值為 2 2 2 ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy 顯然 ， 梯度 描述了 P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率 ， 即最大的方向?qū)?shù) ， 故 恒成立 。 P P Pl 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 22 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度 1. 矢量線 意義 ： 形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。 ),( d ),( d ),( d zyxF z zyxF y zyxF x
18、 zyx 矢量線方程 ： 概念 ： 矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。 矢量線 O M F drrr dr 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 23 2. 矢量場(chǎng)的通量 問題 ： 如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。?引入通量的概念。 d d dnSS F S F e S 通量的概念 ddnS e S其中： 面積元矢量； ne 面積元的法向單位矢量； dSddn F e S 穿過面積元 的通量。 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面 內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是 ),( z
19、yxF Sd ne 面積元矢量 S nS SeFSF dd 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 24 0 通過閉合曲面有 凈的矢量線穿出 0 有凈的矢 量線進(jìn)入 0 進(jìn)入與穿出閉合曲 面的矢量線相等 矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從 宏觀上 建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通 量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。 通量的物理意義 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 25 3. 矢量場(chǎng)的散度 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意
20、點(diǎn)（小 體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利 用極限方法得到這一關(guān)系： 稱為矢量場(chǎng)的 散度 。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元 體積之比的極限。 F V SzyxF zyxF S V d),(lim),( 0 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 26 圓柱坐標(biāo)系 )(s i n1)( s i ns i n1)(1 22 FrFrFrrrF r z FFFF z )( 球坐標(biāo)系 z F y F x FF zyx 直角坐標(biāo)系 散度的表達(dá)式 ： 散度的有關(guān)公式 ： GFGF fFFfF
21、f kFkFk fCfC CCC )( )( 為 常量)()( )( )為 常矢量(0 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 27 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( , , ) , ,22 xxx x y z FxxF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( , , ) , ,22 xxx x y z FxxF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 22 x xx FxxF x y z F x y
22、z y z x y z x 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈 通量值為 不失一般性，令包圍 P點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如 圖所示。則 o x y 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算 z z x y P F 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 28 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn) P 穿出該六面體的凈通量為 z F y F x F V SF F zyxS V d lim 0 zyxzFzyxyFzyxxFSF zyx S d 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電
23、子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 29 4. 散度定理 VS VFSF dd 體積的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的 通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積 分與體積分之間的一個(gè)變換 關(guān)系，在電磁理論中有著廣 泛的應(yīng)用。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 30 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 1. 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場(chǎng)。 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通
24、量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任 何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積 分不為零。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 31 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電 流成正比，即 SC SzyxJIlzyxB d),(d),( 00 上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要 么穿過曲面 磁感應(yīng)線要么同時(shí) 穿入和穿出曲面 磁感應(yīng)線 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 32 如果矢量場(chǎng)的任意閉
25、合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為 無(wú) 旋場(chǎng) ，又稱為 保守場(chǎng) 。 C lzyxF d),( 環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線 C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線 C 的線積分，即 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為 有旋矢量場(chǎng) ，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為 旋渦源 。電流是 磁場(chǎng)的旋渦源。 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 33 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源 宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入 矢量場(chǎng)的旋度。 S C M F n 2. 矢量場(chǎng)的旋度 （ ） F （
26、 1）環(huán)流面密度 CSn lFSF d1limr o t 0 稱為 矢量場(chǎng)在 點(diǎn) M 處沿方向 的 環(huán)流面密度 。 n 特點(diǎn) ：其值 與 點(diǎn) M 處的方向 有關(guān)。 n 過點(diǎn) M 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為 C，曲面的法 線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0時(shí)，極限 n 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 34 CSn lFSF d1limr o t 0 en 與電流方向 (如 F 方向 )重合，則 磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 的環(huán)流密度有最大值； en 與電流方向 (如 F 方向 )有一夾 角，則磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 的環(huán)流密
27、度總是 小于最大值； en 與電流方向垂直時(shí)，則磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 的環(huán)流密度等于 0 ； S C M F n 由此環(huán)流面密度定義可以看出，環(huán)流面密度與面元 S 的法線 方向 en 有關(guān)，如在某點(diǎn) M 附近 ： 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 35 概念 ： 矢量場(chǎng)在 M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為 M點(diǎn)的環(huán)流 面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元 的正法線方向 n ，即 物理意義 ： 矢量場(chǎng) F 在點(diǎn) M 處的旋度就是在該點(diǎn)的旋渦源密 度矢量。 性質(zhì) ： 矢量場(chǎng) F 在點(diǎn) M 處沿方向 en 的環(huán)流面密度 r
28、otnF 等 于 rotF在該方向上的投影，即 （ 2）矢量場(chǎng)的旋度 m a xr o t FeF nn FeF nn r o t 0 m a x 1r o t r o t l im d n CSF F F lS n 亦即 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 36 而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示 。 rot xF o y z y C M z x 1 2 3 4 計(jì)算 的示意圖 rot xF 直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式 rotxF rotyF rotzF 41321 ddddd llllC lFlFlFlFlF )()(
29、4321 zFyFzFyF zyzy 2 )( 2 y y FMFF M z zz 2 )( 3 z z FMFF M y yy 2 )( 1 z FMFF M y yy 2 )( 4 y y FMFF M z zz 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 37 于是 同理可得 故得 zyzFyFlF yz C )(d z F y F S lF F yzC Sx d limr o t 0 x F z FF zx y r o t y F x FF xy z r o t 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高
30、等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 38 zyx zyx xy z zx y yz x FFF zyx eee y F x F e x F z F e z F y F eF (3) 旋度的計(jì)算公式 : z z FFF z eee F 1 FrrFF r erere r F r r s i n s i n s i n 1 2 直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 39 旋度的有關(guān)公式 ： 矢量場(chǎng)的旋度 的散度恒為零 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 的旋度恒為零 FfFfFf )( CfCf )
31、( 0 C GFGF )( GFFGGF )( 0)( F 0)( u 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 40 SC SFlF dd 3. 斯托克斯定理 斯托克斯 定理是閉合曲線 積分與曲面積分之間的一個(gè)變 換關(guān)系式，也在電磁理論中有 廣泛的應(yīng)用。 圖 1. 5. 5 曲面的 劃 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小 相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán) 流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等
32、教育 電子音像 出版社 出版 41 4. 散度和旋度的區(qū)別 0 , 0FF 0 . 0FF 0 , 0FF 0 , 0FF 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 42 1. 矢量場(chǎng)的源 散度源 ： 是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源 ： 是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)
33、的旋度。 1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 43 2. 矢量場(chǎng)按源的分類 （ 1）無(wú)旋場(chǎng) 0d C lF 性質(zhì) ： ，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。 僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)， 0 F 無(wú)旋場(chǎng) 可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為 例如：靜電場(chǎng) 0E E uF ( ) 0Fu 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 44 （ 2）無(wú)散場(chǎng) 僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng) ，即 性質(zhì) ： 0d S SF 0 F 無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的
34、旋度 例如，恒定磁場(chǎng) AB 0B AF 0)( AF 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 45 （ 3） 無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng) （源在所討論的區(qū)域之外） 0F （ 4）有散、有旋場(chǎng) 這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r 無(wú)旋場(chǎng)部分 無(wú)散場(chǎng)部分 ( ) 0u Fu 02 u 0F 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 46 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1. 拉普拉斯
35、運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算 2u 概念 ： 2 拉普拉斯算符 222 2 2 2 2 uuuu x y z 直角坐標(biāo)系 計(jì)算公式 ： 22 2 2 2 2 11() u u uu z 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( s i n ) s i n s i n u u uur r r r r r 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 uu 2)( 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 47 矢量拉普拉斯運(yùn)算 2F 概念 ： 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F 即 22() iiFF 注意 ： 對(duì)于非直
36、角分量， 22() iiFF 直角坐標(biāo)系中： 如： 22()FF ( , , )i x y z )()(2 FFF 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 48 2. 格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏 導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式： SV SnV 2 dd)( 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成 以上兩式稱為 標(biāo)量第一格林定理 。 S V , ne SV SV 2 d)(d)( 式中 S 為包圍 V 的閉合曲面， 為標(biāo) 量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 方向上 的偏導(dǎo)數(shù)。
37、 n ne 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 49 基于上式還可獲得下列兩式： 上兩式稱為 標(biāo)量第二格林定理 。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系 。 因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟?場(chǎng)的求解問題 。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此， 如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng) 的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。 SV SV 22 d)(d)( SV SnnV 22 d)(d)( 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué)
38、編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 50 亥姆霍茲定理 : 若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分 布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可 表示為 )()()( rArurF 式中： Vrr rFru V d)(4 1)( V Vrr rFrA d)(4 1)( 亥姆霍茲定理表明：在無(wú)界空間區(qū) 域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。 1.8 亥姆霍茲定理 第 1章 矢量分析 電磁場(chǎng)與電磁波 電子科技大學(xué) 編寫 高等教育出版社 & 高等教育 電子音像 出版社 出版 51 有界區(qū)域 SV rr SrFVrr rFru d)( 4 1 d)( 4 1)( SV rr SrFVrr rFrA d)( 4 1d)( 4 1)( 在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)， 還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。
《矢量分析》PPT課件.ppt
