校園垃圾拾撿機(jī)器人抓取及驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)
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附件1
基于路徑幾何約束的高效機(jī)械手控制算法
Kang G. Shin and Neil D. McKay
Department of Electrical and Computer Engineering
The University of Michigan
Ann Arbor， Michigan 48109
摘要：傳統(tǒng)上，機(jī)械手控制運(yùn)算法則被區(qū)分為兩級(jí)，即路徑規(guī)劃和路徑跟蹤（或路徑控制）。這種劃分方法已經(jīng)被主要地應(yīng)用于減輕復(fù)雜連結(jié)的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)。不幸的是，這種簡(jiǎn)單的劃分方法是以犧牲機(jī)械手的工作效率為代價(jià)的。
為了改善這種低效率的情況，本文認(rèn)為要使機(jī)械手在最短時(shí)間內(nèi)沿著一條指定的幾何路徑移動(dòng)受到輸入扭矩/扭力的限制。我們首先采用幾何學(xué)路徑約束引入避免碰撞和操作需求的變量函數(shù)來(lái)描述機(jī)械手動(dòng)力要求，然后將輸入扭矩/扭力的限制參數(shù)轉(zhuǎn)變成這些變量。最后最短時(shí)間的求解就可用相平面技術(shù)進(jìn)行推導(dǎo)運(yùn)算求解。
1、前言
在過(guò)去的幾年人們主要關(guān)注于工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)，尤其是使用通用機(jī)器人技術(shù)。由于工業(yè)機(jī)器人的目的是為了提高生產(chǎn)力，如何使每1美元的機(jī)器人控制投入獲得盡可能多的效益成為越來(lái)越突出的問(wèn)題。通常固定成本在生產(chǎn)項(xiàng)目成本中占主導(dǎo)地位，所以人們總希望在給定的時(shí)間中生產(chǎn)盡可能多的產(chǎn)品。
有多種算法可用于最短時(shí)間或接近最短時(shí)間機(jī)械手控制運(yùn)算。這些算法通常劃分為兩個(gè)層次。第一個(gè)層次是所謂的路徑規(guī)劃，第二個(gè)層次是所謂的路徑跟蹤或路徑控制。通常路徑控制的定義是企圖實(shí)現(xiàn)讓機(jī)器人的實(shí)際位置和速度匹配理想的位置和速度。這種控制用控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)。控制器接收上一次計(jì)算的理想位置值與速度值進(jìn)行路徑位置描述，然后通過(guò)路徑跟蹤系統(tǒng)跟蹤機(jī)械手實(shí)際位置和速度得到運(yùn)動(dòng)偏差。
這樣分開控制方案是基于機(jī)械手控制程序，如果把控制作為一個(gè)整體考慮將會(huì)非常復(fù)雜，由于幾乎最簡(jiǎn)單的機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)之后是高度地非線性甚至更復(fù)雜。把控制分為兩部分來(lái)分別處理使得整個(gè)控制過(guò)程變得簡(jiǎn)單。路徑追蹤通常是一個(gè)線性的控制算法，機(jī)械手動(dòng)力學(xué)的非線性在這一個(gè)水平時(shí)常不被考慮，如此的追蹤控制通常能得到需要的軌道并使機(jī)械手運(yùn)動(dòng)與實(shí)際要求保持非常接近。使得精密加工得以實(shí)現(xiàn)，例如解析運(yùn)動(dòng)速度控制（參考文獻(xiàn)[1] ） ，突然的加速度控制（參考文獻(xiàn)[2] ）， 及斷續(xù)速度變化控制（參考文獻(xiàn)[3]-[5] ）。
不幸的是，單純地劃分為路徑規(guī)劃和路徑追蹤是以犧牲效率為代價(jià)的。效率低下的根源是路徑規(guī)劃，為了提高機(jī)械手的效率，路徑規(guī)劃時(shí)必須了解該機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性，以及準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)模型。然而，規(guī)劃運(yùn)算法則的大部份的路徑計(jì)算只與數(shù)據(jù)計(jì)算有關(guān)，有關(guān)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)計(jì)算非常少。通常假定機(jī)械手的速度和加速度為恒定或按一定規(guī)律變化的（參考文獻(xiàn)[6，7]），并具有一定的區(qū)域邊界約束。事實(shí)上，這些約束因位置，負(fù)載大小，甚至隨有效載荷面積而改變。因此為了使邊界約束為有效的恒定值，速度面積法的邊界取值必須是速度和加速度的整體最低值；換句話說(shuō)，對(duì)于最壞情況的限制必須有效。由于機(jī)械手關(guān)節(jié)處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加速度有限制，可能被三個(gè)或更多的條件所約束，這些多出的約束造成機(jī)械手的效率低下。
為了提高效率，本文提出了一種依據(jù)幾何路徑和輸入扭矩/扭力上的最短時(shí)間機(jī)械手路徑控制解決方案，方案以路徑運(yùn)算法則的方式加入機(jī)械手動(dòng)力學(xué)運(yùn)算。
路徑規(guī)劃輸出真實(shí)的最短時(shí)間，作為其它可被測(cè)量的路徑規(guī)劃的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。
注意，本文提到的問(wèn)題和解決辦法與參考文獻(xiàn) [8，9] 中的接近最短時(shí)間控制理論不同。
本文分為五個(gè)部分分別論述，第二部分描述了使機(jī)械手輸入扭矩的動(dòng)態(tài)約束方程更易于處理和控制的方法；第三部分考慮公式化－時(shí)間控制的細(xì)節(jié)問(wèn)題；第四部分用狀態(tài)－平面的技術(shù)求解最優(yōu)解；第五部分是本文亮點(diǎn)，推導(dǎo)產(chǎn)生最佳的運(yùn)動(dòng)軌跡的運(yùn)算法則；最后部分是該方法則使用意義討論。
2、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與約束
在進(jìn)行最短時(shí)間控制問(wèn)題研究前，先考慮對(duì)系統(tǒng)的行為進(jìn)行控制，即機(jī)器人的手臂動(dòng)力學(xué)模型。有多種方法獲得的機(jī)器人臂的動(dòng)力學(xué)方程，即方程中有關(guān)位置處的綜合力和扭矩，速度扭矩和加速度。最常使用的兩種方法是拉格朗日和牛頓、歐拉公式。牛頓、歐拉公式雖然計(jì)算效率高，但卻很難用于控制問(wèn)題的遞推計(jì)算。拉格朗日雖然計(jì)算效率不高，但確實(shí)產(chǎn)生一組非常適用于機(jī)械手控制問(wèn)題的微分方程式。在這里動(dòng)力方程僅用于獲得分析結(jié)果，我們使用拉格朗日的方法得出以下機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程(參考文獻(xiàn)[12，13])。
qi=vi (1a)
ui=Jijqvj+Rijvj+Cijkqvjvk+Giq (1b)
式中
qi=ith 廣義坐標(biāo)
vi=ith 廣義速度
ui=ith 廣義力
Jij= 慣性矩陣
Gi = 在 ith 加上重力的力
Cijk= 科氏陣列
Rij= 粘性摩擦矩陣
愛因斯坦求和約束的使用使所有指數(shù)從1到n包含在n自由度機(jī)器人中。
慣性矩陣Jij的比例常數(shù)是施加于ith的總的扭矩/扭力與Jij上的總加速度?？评飱W利數(shù)列描述了結(jié)合 j 和 k 的速度進(jìn)入Cijk的力。粘性摩擦矩陣R給出由于速度 j 產(chǎn)生的 i 而受到的摩擦力。注意這個(gè)矩陣為對(duì)角矩陣，所有輸入數(shù)值無(wú)負(fù)值。
機(jī)器人的手臂運(yùn)動(dòng)當(dāng)然不會(huì)完全不受約束。事實(shí)上，在關(guān)節(jié)處機(jī)器人手臂必須限制在一個(gè)固定的空間運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡為給定的參數(shù)化曲線。曲線被由參數(shù) λ 的n個(gè)函數(shù)集決定，所以我們有
qi=fiλ ， 0≤λ≤λmax (2)
其中λ為理想軌跡的一個(gè)參數(shù)，當(dāng)λ從 0 到λmax變化時(shí)坐標(biāo) qi 也連續(xù)地變化且路徑不重復(fù)，即λ0=0 ，λtf=λmax .
應(yīng)當(dāng)指出，在實(shí)際空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是建立在笛卡爾坐標(biāo)上。一般很難把曲線從笛卡爾坐標(biāo)完全轉(zhuǎn)換到機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)中，相對(duì)地執(zhí)行單個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換卻很容易。在笛卡爾的路徑上拾足夠多的點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換，利用插值法技術(shù) （例如 三次樣條函數(shù)）獲得機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的一個(gè)相似的軌跡。（見［10］為一個(gè)例子）
回到之前的問(wèn)題，我們用時(shí)間來(lái)區(qū)分參數(shù)化的qi 得到
其中μ =λ 運(yùn)動(dòng)方程沿著曲線（Le．幾何學(xué)的路徑）變成
注意，如果λ表示沿著路徑的弧長(zhǎng)，那么μ和μ分別表示沿著路徑的速度和加速度。
基于這種參數(shù)化有兩個(gè)狀態(tài)變量，即λ和μ，但有（n + 1）個(gè)方程。選擇方程λ=μ和剩余方程序之一為狀態(tài)方程，其他方程作為輸入 μ 的約束。將ith乘以dfi(λ)dλ 就可以從給出的n個(gè)方程中得到一個(gè)狀態(tài)方程
這個(gè)公式有個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，在約束函數(shù)導(dǎo)出的向量中參數(shù)μ是二次的，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)曲線可以進(jìn)行參數(shù)化，且慣性矩正定，整個(gè)的方程能被正的、非零的參數(shù)μ分開，由λ和μ得到μ的一個(gè)解。現(xiàn)在得到二個(gè)狀態(tài)方程，而最初的n個(gè)方程則由輸入和 μ 約束（關(guān)于這方面將在后面討論）。
通過(guò)變換，狀態(tài)方程變?yōu)?
現(xiàn)在考慮由|ui|≤umaxi和公式（4a）限制的約束，動(dòng)態(tài)方程（4a）可以寫成這樣的形式：ui=gi(λ)u+hi(λ，μ). 對(duì)于一個(gè)給定的狀態(tài)，也就是給定的 h 和，u，這是一個(gè)參數(shù)p的一組線性參數(shù)方程，約束存在于輸入變化區(qū)間及因輸入變化形成的約束矩陣中。因此把矩陣約束在u上，通過(guò)方程參數(shù)使輸入扭矩/扭力變化的所有位置、速度在路徑上彼此限制，給出初始的(λ，μ）及u的大小，如果知道機(jī)械手關(guān)節(jié)處的輸入扭矩、扭力這樣就能用數(shù)的處理來(lái)代替n個(gè)矢量的處理進(jìn)而得到一系列的約束（路徑狀態(tài)方程）。
因?yàn)樾阅芡耆蓇決定，我們用-umaxi≤ui≤+umaxi于是有：
簡(jiǎn)化：
于是得到：
注意：前面的方程都是λ的函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，功能的依賴性在下面的計(jì)算不再指出。
給出的控制不等式：
另一種格式：
LBi≤u≤UBi，這些參數(shù)由n決定，u滿足：maxLBi≤u≤minUBi 或者
GLB(λ，μ)≤u≤LUB(λ，μ) （7e）
路徑計(jì)劃要呈現(xiàn)的運(yùn)算法則與之前依照慣例得到方程的不同，可知參數(shù)λ 是笛卡爾的空間的弧長(zhǎng)，μ是速度，μ是幾何加速度。傳統(tǒng)路徑規(guī)劃把加速度劃分為幾個(gè)常數(shù)間隔，于是：
GLB(λ，μ)≤umin≤u≤umax≤LUB(λ，μ)
式中umin 和 umax是常數(shù)。傳統(tǒng)方法把加速度進(jìn)行了過(guò)多的約束，使速度也有過(guò)多的約束。
3、最佳控制問(wèn)題的公式化
現(xiàn)在我們得到根據(jù)幾何路徑和輸入系統(tǒng)規(guī)定參數(shù)的機(jī)械手動(dòng)力方程，就可以分析實(shí)際控制問(wèn)題了。機(jī)械手控制的目的是以最小的輸入得到最大的動(dòng)力輸出，這可以用最佳控制語(yǔ)言來(lái)描述，常用的方法使龐特里亞金最大值原理[11]。最大值問(wèn)題即點(diǎn)的連接問(wèn)題，除了一些簡(jiǎn)單的點(diǎn)不能使用閉環(huán)控制，而且很難以數(shù)字的方式解決。我們使用最大值原理獲得加工質(zhì)量而不僅僅是獲得方程的解，這個(gè)解將用于之后的最小時(shí)間求解。
考慮實(shí)際情況，最低成本即最短加工時(shí)間，就是求機(jī)械手運(yùn)動(dòng)最大速度，可以表示為：
C=0tf l ? dt (8)
這里tf由電子激光器決定，價(jià)值函數(shù)C必須服從下面給出的3個(gè)約束：機(jī)械手的動(dòng)力微分方程約束（即式（6a），(6b)）;輸入量要求，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器輸入扭矩允許范圍要求（即|ui|≤umaxi）；第三個(gè)參數(shù)是空間參數(shù)設(shè)置，機(jī)械手運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定工位不能與如何物體相碰。假定理想的幾何方程已經(jīng)把最小時(shí)間控制參數(shù)化，就像之前希望的（即等式（3）），但最初的點(diǎn)為λ=0，結(jié)束點(diǎn)為λ=λmax且dfidλ存在，這樣保證（6a），（6b）存在，同時(shí)當(dāng)λ從0到λmax方程是單調(diào)的。把這些代入動(dòng)力方程，我們得到如下的最短時(shí)間方程（簡(jiǎn)稱MTPP）。
MTPP：求出x0=λ0，μ0和ui0 通過(guò)將式（8）代入（6a），(6b)， |ui|≤umaxi ，及邊界條件
μ0=μ0 , μtf=μf (9a)
λ0=0 , λtf=λmax (9b)
3.1、最大原則的應(yīng)用
為了使0≤λ≤λmax需要增加一個(gè)第三個(gè)狀態(tài)方程，第三狀態(tài)v，并要求：
v=λ2l-λ+λmax-λ2lλ-λmax (10)
其中：lx=1 (x≥0) 0 (x<0)
v≥0要求邊界約束v0=vtf=0這樣v無(wú)限接近0，當(dāng)λ在0≤λ≤λmax中間隔取值使v無(wú)限接近0。
在對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行變化前，先定義函數(shù)：
這樣就可以簡(jiǎn)化公式，得到：
區(qū)間M表示機(jī)械手功能的二次形式，如果把參數(shù)qi加入到動(dòng)能方程，得到K=Mμ2/2 ；Q表示科里奧利的組成和沿著路勁加上參數(shù)化的地心引力；區(qū)間R表示摩擦力，S給出沿著路勁的地心引力，U表示輸入重力區(qū)間。
之前的MTPP可以這樣變化
將（8）代入（11a），(11b)，(11c)，(7d)，(9a)，(9b)求y0=λ0，μ0，v0和U0的極小值，通過(guò)MTPP變換哈米爾頓函數(shù)變?yōu)椋?
或使用前面的替換得到哈米爾頓函數(shù)
對(duì)μ求導(dǎo)，
對(duì)λ求導(dǎo)，
最后對(duì)v求導(dǎo)，
應(yīng)用最大值原理，我們需求出H在（12b）中的最小值，聯(lián)合各式（11a），(11b)，(11c)，(9a)及（7b），且H必須滿足邊界條件。
這里y是矢量（λ，μ，v）的狀態(tài)向量，我們得到一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入?yún)^(qū)間
在式（14）中知道H不明確依賴t，也可以看作 是由約束（9）和vtf=0得到。
注：哈米爾頓函數(shù)（12b）在U上線性，且由于ui和dfidλ在[0，λmax]有界使得U有界，這就要求U的最優(yōu)解必須滿足繼電氣控制邏輯，
在最優(yōu)軌跡上任意點(diǎn)的式（12b）中U的解是U的最大或最小值，通過(guò)對(duì)ui求導(dǎo)得到U的極值，關(guān)于ui的等式約束為ui=gi(λ)μ+ hi (λ，μ)，得到
由于U的繼電器控制和給定的參數(shù)（λ，μ）U的大小線性地跟隨μ，μ也必須滿足繼電氣控制邏輯。因此μ等于GLB(λ，μ)或LUB(λ，μ)。再考慮三維空間，μ作用于不均等加工時(shí)輸入等式約束線上一點(diǎn)，如果 i－th 的聯(lián)合輸入在約束的一邊慢慢趨近于最大值，將推使機(jī)械手向正方向推動(dòng)。
無(wú)論輸入的系數(shù)是否為零以上的推論都成立，即p2在（13a）中不為0。如果p2只在孤立的點(diǎn)處為0，則得到各處的最佳控制。另一方面，如果p2在某些區(qū)間內(nèi)為0，我們有下列的定理。
定理1：如果p2在區(qū)間[t1，t2] (t1S0>Umin(0) 則p2(0)<0，p2(tf)>0 ;
證明：已知0≤λ≤λmax則當(dāng)t=tf有μ≤0，又μtf=0，則當(dāng)tλmax。但在tf處μtf=M-1U-S<0，又M>0于是U-S<0，在時(shí)間tf時(shí)H的值為0，則
如果p2(tf)≤0，那么Htf>0，矛盾，故有p2(tf)>0；
確定p2(0)的符號(hào)及μ（0）的大小，同理可得μ0>0 ，則U-S>0，使用繼電器控制于是有U=Umax否則 U=Umin且Umin-S<0，但如果U=Umax則p2<0，于是p2(0)<0.
這些理論的一個(gè)重要原則是開關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，如果開關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，p2(tf)的符號(hào)將和p2(0)的符號(hào)相同，則sinp2tf=（-1）msin( p20)其中m為符號(hào)變化次數(shù)。
4、相平面解釋
在相位平面中審查系統(tǒng)行為，相位平面軌跡的方程由方程（11 b ）及（11 a）獲得
有趣的是整個(gè)時(shí)間T從開始到結(jié)束可以寫為
然后將得到給定的整體最小參數(shù)，這就希望μ越大越好。
參數(shù)μ有兩個(gè)影響因數(shù)：運(yùn)動(dòng)軌跡的斜率和μ值的大小。用μ除以μ得到dμdλ=μμ ；為了得到μ就必須考慮μ的范圍，通過(guò)λ和μ的特征值，我們有LUB(λ，μ)< GLB(λ，μ)， μ不存在允許值。對(duì)于λ的每個(gè)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)由不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。對(duì)于所有的i，j不等式UBi(λ，μ)- LBi (λ，μ)≥0都成立。不等式?jīng)Q定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域?qū)?huì)作為i和j不等式最大、最小相位檢測(cè)區(qū)，即
對(duì)不等式進(jìn)行變化
或
除以Mi?Mj
左邊是關(guān)于μ的二次方程，如果對(duì)于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時(shí)上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。
引入簡(jiǎn)化方程：
不要把Cij和C或Cijk弄混了，于是不等式簡(jiǎn)化為：
Aijμ2+Bijμ+Cij+Dij≥0 (17b)
注：由定義Aij=-Aji，Bij=-Bji，Cij=-Cji，Dij=-Dji，對(duì)于所有的i和j能被互相交換、對(duì)稱或者系數(shù)的反對(duì)稱，得到不等式
-Aijμ2-Bijμ+Cij-Dij≥0 (17c)
當(dāng)i≠j時(shí)，有n(n-1)/2對(duì)方程，n為機(jī)械手自由度數(shù)。
5、最佳軌跡確定
為了說(shuō)明我們先找出一個(gè)無(wú)摩擦機(jī)械手最優(yōu)軌跡的運(yùn)算法則，運(yùn)算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n -1)/2 個(gè)關(guān)于μ的解，每一個(gè)解都是關(guān)于μ=0對(duì)稱的。在相平面內(nèi)沒(méi)有需要避開的孤島，唯一的限制是 μ由一對(duì)連續(xù)的曲線軌跡分段連續(xù)導(dǎo)出。最佳的軌跡能構(gòu)建在叫做構(gòu)建無(wú)摩擦最優(yōu)軌跡運(yùn)算法則（簡(jiǎn)稱ACOTNF）。
第一步：從λ=0，μ=μ0構(gòu)建具有最大加速度值的軌跡，延長(zhǎng)這一曲線直到它在相平面內(nèi)穿越過(guò)可行域或越過(guò)λ=λmax，注意“離開可行域 " 暗示如果軌道的一部份碰巧與可行域接口的一個(gè)斷面重合，那么軌跡應(yīng)該沿著接口被延長(zhǎng)，直到碰觸到可行域的邊緣，否則軌跡將不連續(xù)。
第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉(zhuǎn)折點(diǎn)建立第二個(gè)曲線軌跡，它是一個(gè)減速曲線。這一個(gè)曲線應(yīng)該被延長(zhǎng)，直到它離開可行域或越過(guò)λ=0。
第三步：這兩個(gè)曲線交點(diǎn)即轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從λ=0到轉(zhuǎn)折點(diǎn)的第一條曲線和從轉(zhuǎn)折點(diǎn)到λ=λmax的第二條曲線組成運(yùn)動(dòng)的最佳軌跡。運(yùn)算法則到此次結(jié)束。
第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內(nèi)不相交，那么它們一定離開可行域，稱加速度離開可行域的點(diǎn)為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個(gè)點(diǎn)。如果邊界曲線由μ=g(λ)給出，從λ1處沿著曲線搜索，直到找到點(diǎn)使 dμdλ=dgdλ 。這個(gè)點(diǎn)作為下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，記為λd。
第五步：從λd向后建立一個(gè)減速曲線，直到它與加速曲線相交，這樣得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。
第六步：從λd建立一個(gè)加速曲線，延長(zhǎng)曲線直到它與減速曲線相交或者離開可行域。如果它與減速曲線相交，那么得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。如果曲線離開可行域，那么重新計(jì)算第四步。
這個(gè)運(yùn)算法則依次交替加速減速計(jì)算給出最佳的運(yùn)動(dòng)軌跡，在討論軌道的最優(yōu)性之前，必須保證ACOTNF 的所有階段是可行的而且 ACOTNF 會(huì)結(jié)束。
回到最初的問(wèn)題，步驟1、2、3、5、6明確可行，但是第4步要求找到函數(shù)的0點(diǎn)。在給定的狀態(tài)之下，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)嗎？回答是的，可由下證明：
注意，在λ=λ1處 ，曲線軌跡從可行域溢出。
同樣地，在點(diǎn)λ=λ2 處減速曲線在可行域外經(jīng)過(guò)，軌跡一定穿過(guò)內(nèi)部。如果在這些點(diǎn)處可行域的邊界曲線的斜率連續(xù)，那么我們有
g(λ)是可行域邊界方程，dμdλ=dg（λ）dλ的值必須在λ1和λ2之間變化。如果 g（λ ）在這一范圍內(nèi)連續(xù)，那么至少存在一個(gè)零點(diǎn)。然而， g（ λ ）只是大體上分段地可見，所以可能導(dǎo)出不連續(xù)的點(diǎn)，這種情況有可能「零點(diǎn)不存在」，事實(shí)上零點(diǎn)總是存在的，我們通過(guò)下列的定理證明。
定理3a：左導(dǎo)數(shù)使?λ=dμdλ-dg（λ）dλ，如果?λ1>0且?λ2<0，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個(gè)零點(diǎn)。
證明：如果g（ λ ）的微分在區(qū)間[λ1，λ2]連續(xù)，那么一定存在一個(gè)零點(diǎn)。如果g（ λ ）不連續(xù)，假設(shè)不存在零點(diǎn)，則在g（ λ ）溢出區(qū)間存在一個(gè)或更多的點(diǎn)，符號(hào)變化發(fā)生于這一個(gè)或更多的這些點(diǎn)。
如果不是這樣，那么在g（ λ ）存在一個(gè)符號(hào)變化的點(diǎn)使g（ λ ）微分連續(xù)，而且因此會(huì)有一個(gè)零點(diǎn)。兩個(gè)限制參數(shù)記為g1，g2;g1作用于λ<λd，g2作用于λ>λd，由limλ>0>limφλ有
對(duì)于ε>0我們有代入約束，由g（ λ ）=min gi（ λ ）得g1 λd+ε λdi的約束解，和假設(shè)矛盾。這樣至少存在一個(gè)點(diǎn)使?λ為零。這一個(gè)定理的圖解意義在圖 7 說(shuō)明。從圖中看出， g（ λ ）一定超出區(qū)域，且?λ是分段連續(xù)的，曲線向上跳躍。證明完畢。
為了要證明ACOTNF 結(jié)束，我們對(duì)函數(shù)fi(λ) 進(jìn)行一些假設(shè) ，假設(shè)fi可分段求解且由有限個(gè)不含實(shí)際價(jià)值的數(shù)組成。非正式地，因?yàn)閼T性矩陣，科里奧利數(shù)列，重力加速度等是全局解析函數(shù)，而且自從路徑被限制之后是分段求解的，我們已經(jīng)處理的所有函數(shù)也是分段求解的，函數(shù)?λ也是分段求解的，于是將會(huì)因此在每個(gè)區(qū)域中產(chǎn)生一個(gè)零點(diǎn)或有限個(gè)零點(diǎn)。如果?λ間隔地為0，軌跡將沿著邊界停止在間隔結(jié)束的地方，相同的零間隔不會(huì)引起問(wèn)題。只有間隔的最右面點(diǎn)可能是一個(gè)交換點(diǎn)，因此只有如此有限的間隔會(huì)引起ACOTNF 有限的反復(fù)。如此收斂被保證，因此有限數(shù)目的解域我們有下列的定理：
定理3b：如果函數(shù)fi有有限個(gè)實(shí)際價(jià)值解，那么函數(shù)?λ存在一定數(shù)量的間隔結(jié)束于區(qū)域外的零。
證明：慣性矩陣，科里奧利陣列，重力加速度在 qi 中分段解，fiλ在λ處的解等等作為λ函數(shù)（就像公式（4a）和(4b)）的分段解或有限的單解。公式（7b）中的M，Q，R，S也是單個(gè)的解。一個(gè)在有限區(qū)間內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)的實(shí)際價(jià)值的解析函數(shù)，一定存在有限個(gè)零點(diǎn)或同一零點(diǎn)，工程量M必須在區(qū)間內(nèi)為零。如果假設(shè)
我們可以得到所有的Mi零點(diǎn)。如果其中一個(gè)Mi不為零，就不存在邊界曲線，就沒(méi)有零點(diǎn)。只要有兩個(gè)或更多不為零的點(diǎn)，就可得到邊界曲線。坐標(biāo)i，j代入式(17b)(用=代替≥)得到曲線，式（17b）中系數(shù)A，B，C，D排除在Mi中的零之外，由于Mi存在零點(diǎn)，考慮用Mi中的零點(diǎn)進(jìn)行區(qū)間分割。在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)（17b）方程有效。在區(qū)間內(nèi)μ是λ的一個(gè)解，邊界曲線g（ λ ）是特解，?λ也是特解且在每個(gè)區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)。由于?λ在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)，因此區(qū)間個(gè)數(shù)是有限的，且結(jié)束于區(qū)域外的零。證明完畢。
定理4：由ACOTNF產(chǎn)生的任何軌跡在最短時(shí)間控制上是最優(yōu)的。
證明：該定理的證明是直接證明。假設(shè)一個(gè)軌跡比由ACOTNF算法產(chǎn)生的軌跡有更小的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。由等式（8）可知，必然存在λ使新軌跡上的點(diǎn)（λ，μ’）高于ACOTNF軌跡上的點(diǎn)（λ，μ），即μ’>μ。否則，就不存在一個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間更短的軌跡。我們根據(jù)最大原則分析可知解不唯一，即存在數(shù)條最大加減速曲線，所以我們只能應(yīng)用那些不確定的軌跡?，F(xiàn)在有四種可能，（λ，μ’）可能位于ACOTNF軌跡初始的加速段，也可能位于最后的減速段，也有可能位于其他的加速或減速軌跡上。在第一種情況下，新軌跡的初始值必須大于ACOTNF的初始值。否則，新的軌跡必須在某些點(diǎn)上具有比ACOTNF更大的加速度，而這是不可能的，因?yàn)锳COTNF軌跡擁有可允許的最大加速度。新軌跡因此就可能達(dá)到合適的臨界條件。第二種情況與之類似。因?yàn)椋é?，μ’）點(diǎn)在ACOTNF軌跡上，新軌跡必須比擁有最大的減速度的ACOTNF軌跡減速更快才能達(dá)到相同的臨界條件。這也是不可能的，因?yàn)锳COTNF使用最大的減速度。在第三種情況下，（λ，μ’）在其他的加速軌跡上，在這種情況下，通向（λ，μ’）點(diǎn)的軌跡必須移出可行域的邊界。否則，這些軌跡必須通過(guò)ACOTNF軌跡的加速階段，因?yàn)樗鼈兺ㄟ^(guò)邊界上的一個(gè)點(diǎn)。新軌跡在該相交點(diǎn)的加速度將大于ACOTNF的軌跡，同樣，這也是不可能的。最后一種情況與前者類似。從（λ，μ’）出發(fā)的加速或者減速軌跡必須要么與可行域的邊界相交，要么比ACOTNF減速軌跡減速快，因此，無(wú)解。證明完畢。
這種產(chǎn)生最優(yōu)軌跡的方法可以在相位平面內(nèi)任何有可行域的情況下工作，而不只是無(wú)摩擦的情況?；舅枷胧菬o(wú)限接近可行域的邊緣而不超出它。因此軌跡僅僅是沒(méi)有接觸到非可行域。在實(shí)際中這當(dāng)然會(huì)很危險(xiǎn)，因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入和測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)的小錯(cuò)誤都將很可能使機(jī)器人偏離預(yù)定的軌跡。然而從理論上說(shuō)，這個(gè)軌跡是最節(jié)約時(shí)間的。
我們現(xiàn)在考慮一般的情況，即摩擦力足以使相位平面產(chǎn)生孤島。在這種情況下，該算法必須用一種超微不同的形式來(lái)展現(xiàn)。因?yàn)榇嬖跀?shù)條邊界曲線而不是一個(gè)，不可能像ACOTNF中做的那樣只研究零點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)。因此我們不再在算法過(guò)程中尋找零點(diǎn)，而是一次性的全找出來(lái)。然后建立沒(méi)有邊界的軌跡，不管這些邊界是可行域的邊緣還是孤島的邊緣。合適的軌跡可以通過(guò)搜索結(jié)果曲線圖找到——一直選擇盡可能高的軌跡，有必要的話回溯。更正式的，最優(yōu)軌跡建立算法是：
第一步：建立初始的加速軌跡。（與ACOTNF相同）
第二步：建立最終的減速軌跡。（與ACOTNF相同）
第三步：計(jì)算可行域邊線和所有的孤島邊線的函數(shù)?（λ）。在每一個(gè)零點(diǎn)，建立一個(gè)以零點(diǎn)為轉(zhuǎn)換點(diǎn)的軌跡，就像ACOTNF的第五步和第六步。轉(zhuǎn)換方向（加速到減速或者反過(guò)來(lái)）應(yīng)該以不使軌跡離開可行域?yàn)闇?zhǔn)來(lái)選擇。延長(zhǎng)每條軌跡，使它或者離開可行域或者通過(guò)λmax.
第四步:找到軌跡的所有交點(diǎn)。這是潛在的轉(zhuǎn)換點(diǎn)。
第五步：從λ=0，μ=μC穿過(guò)網(wǎng)格，這些網(wǎng)格是由從起始點(diǎn)到終點(diǎn)的最高的軌跡形成的。這在下面的網(wǎng)格穿越算法中有介紹。
穿越有上面的第三步和第四步產(chǎn)生的軌跡形成的網(wǎng)格是對(duì)曲線圖的一個(gè)搜索，目的是要找到最終的減速軌跡。如果設(shè)想一個(gè)人沿著這些軌跡搜索這些網(wǎng)格，那么如果這可能的話他就會(huì)一直左轉(zhuǎn)。如果一個(gè)轉(zhuǎn)向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右轉(zhuǎn)了。整個(gè)過(guò)程是遞歸的，就像瀏覽樹狀圖的過(guò)程一樣。
算法包含兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是搜索加速曲線，另一個(gè)搜索減速曲線。算法是：
加速搜索：在當(dāng)前的（加速）軌跡上，找到最后一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。在這一點(diǎn)，當(dāng)前的軌跡到達(dá)一個(gè)減速軌跡。如果那條曲線是最終的減速軌跡，那么現(xiàn)在考慮的轉(zhuǎn)換點(diǎn)就是最終的最優(yōu)軌跡的一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。否則，從當(dāng)前的轉(zhuǎn)換點(diǎn)開始進(jìn)行減速搜索。如果減速搜索成功，那么當(dāng)前的點(diǎn)就是最優(yōu)軌跡的一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。否則，沿當(dāng)前的加速曲線回到前一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，重復(fù)這個(gè)過(guò)程。
減速搜索：在當(dāng)前的（減速）軌跡，找到第一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。從該點(diǎn)開始應(yīng)用加速搜索。如果成功，那么當(dāng)前的點(diǎn)就是一個(gè)最優(yōu)軌跡的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，則前移至下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)并重復(fù)這個(gè)過(guò)程。
這兩個(gè)算法一直是首先尋找速度最高的曲線，因?yàn)榧铀偎阉骺偸菑募铀偾€的末端開始，而減速搜索總是從減速曲線的開端開始。因此算法找到（如果有可能）速度最快的軌跡，因此搜索時(shí)間最短。
這個(gè)算法的最優(yōu)性和一致性的證明實(shí)質(zhì)上與ACOTNF是一樣的，這里不再重復(fù)。注意在ACOTNF的一致性證明中，在零摩擦情況下只存在一條邊界曲線的事實(shí)沒(méi)有用到；因此同樣的證明也適用于高摩擦條件下。
6.討論和總結(jié)
在這篇文章里，我們展示了一種獲得在提供理想的幾何軌跡和輸入扭轉(zhuǎn)約束力的條件下機(jī)械手運(yùn)動(dòng)最小時(shí)間控制軌跡的方法。
就像前面提出的，最優(yōu)軌跡可能接觸到可行域的邊界，產(chǎn)生相當(dāng)危險(xiǎn)的情況。但是，如果在計(jì)算中使用略微保守的扭轉(zhuǎn)約束值，那么實(shí)際的可行域就會(huì)略微大于計(jì)算可行域，留出失誤的空間。
在高摩擦和低摩擦情況下的算法都已經(jīng)展示了。在這兩種情況下，算法產(chǎn)生“僅僅丟失”非可行域的軌跡，不管丟失的非可行域部分是一個(gè)孤島還是有較高的速度限制形成的域。
假設(shè)機(jī)器人的輸入轉(zhuǎn)矩被約束，我們得到一個(gè)測(cè)試機(jī)器人沿給定的空間路徑運(yùn)動(dòng)的最小時(shí)間開環(huán)控制的算法。但是，對(duì)不同的輸入?yún)?shù)也應(yīng)該可能獲得解。因?yàn)樵撍惴óa(chǎn)生真正的最小時(shí)間解，而不是一個(gè)近似值，所以該算法的結(jié)果能夠?yàn)槠渌穆窂皆O(shè)計(jì)算法提供一個(gè)絕對(duì)的測(cè)量參考。
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附圖：
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