線性電路的計算機分析

《線性電路的計算機分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性電路的計算機分析（92頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、線性電路的計算機分析,步驟： 1、將實際電路元件模型化，即將實際電路表示為若干理想電路元件的組合； 2、輸入電路圖和元件參數(shù)； 3、識別圖形，形成電路方程； 4、求電路方程數(shù)值解； 5、輸出結(jié)果（數(shù)值解或波形）,2.1 實際電路元件的模型化,實際電路器件很多，但這些實際電路的模型中 所包含的理想電路元件不外乎下列10種： 1.電阻 R 2.電感 L 3.電容 C 4.電壓源 Us 5.電流源 Is,,,6. 電壓控電壓源（VCVS） 7. 電壓控電流源（VCCS） 8. 電流控電流源（CCCS） 9. 電流控電壓源（CCVS） 10. 互感M,,,,,晶體三極管的

2、微變等效模型,人體組織阻抗的等效模型,2.2 電路方程的形成,采用計算機分析穩(wěn)態(tài)電路時 ，多使用 節(jié)點法和改進節(jié)點法 。 因為： （1）大多數(shù)電路的節(jié)點數(shù)少于回路 （2）采用節(jié)點法，只要選定參考節(jié)點，則所有節(jié)點的電壓就唯一的確定了，節(jié)點方程也容易用計算機來形成。,電網(wǎng)絡(luò)方程必須滿足兩類基本約束條件：,電路聯(lián)接形式所確定的拓撲約束關(guān)系： 基爾霍夫電壓定律（KVL） 基爾霍夫電流定律（KCL） 電路元件自身特性所確定的拓撲約束關(guān)系： VCR關(guān)系,2.2.1 節(jié)點法,例1 寫出圖示電路的節(jié)點方程,節(jié)點,以節(jié)點為參考節(jié)點,節(jié)點,節(jié)點方程的矩陣形式,其中：Un為節(jié)點電壓向量 Y

3、n為節(jié)點導(dǎo)納矩陣 In為做節(jié)點電流源向量 方程以節(jié)電電壓為求解變量,節(jié)點方程的矩陣形式：,直接列寫節(jié)點方程的規(guī)則：,定義：直接匯集到某一節(jié)點的導(dǎo)納稱為自導(dǎo)，相鄰兩節(jié)點之間的導(dǎo)納稱為互導(dǎo) 自導(dǎo)納總是取正值，而互導(dǎo)納則總是取負值 設(shè)網(wǎng)絡(luò)有n個獨立節(jié)點，Yn為n階方陣：,,4. In為節(jié)點電流源向量（n1），每一個元素表示流入對應(yīng)節(jié)點的電流源（包含等效電流源）的電流代數(shù)和。,若不含耦合電感元件和受控源， Yn是一個對稱陣，其主對角上的每一個元素是相應(yīng)節(jié)點的自導(dǎo)納，非主對角上的每一個元素是相關(guān)節(jié)點的互導(dǎo)納； 若含受控源， Yn是一般不對稱陣； 若含有耦合電感元件，則應(yīng)選方法列寫。,例2 寫出矩陣

4、形式的節(jié)點方程,原電路,對應(yīng)復(fù)頻域模型,,,例3 寫出矩陣形式的節(jié)點方程,節(jié)點法缺點： 不能直接處理理想電壓源，因為零值電阻等支路導(dǎo)納為無窮大； 不能直接處理VCCS以外的受控源。,改進節(jié)點分析法,基本思想：選電路的節(jié)點電壓和理想電壓源電流、受控電壓源支路的電流為網(wǎng)絡(luò)變量 ，列出電路的混合方程。適用于含有理想獨立電壓源、受控源的電路分析。,設(shè)某電路含有n個獨立節(jié)點，m個理想獨立電壓源；用下標E表示理想電壓源支路，用下標n表示一般的組合支路，對應(yīng)的混合方程為：,其中 、 的形式與電路中除去理想電壓源支路所剩的電路相同。 為nn階方陣， 為n1階矩陣,考慮理想電壓源,,,為nm階矩陣，其中的元素表

5、示理想電壓電流iE與節(jié)點的關(guān)聯(lián)關(guān)系： 0 與節(jié)點無關(guān)聯(lián) 1 背向節(jié)點 1 指向節(jié)點,為m 1階矩陣，其中的元素表示理想電壓源電流，為新增求解變量,為m 1階矩陣，其中的元素表示理想電壓源的電壓值,O為m階零陣,例1. 列寫混合方程,解：1. 除去理想電壓源支路2和7，寫Yn和In,注：若理想電壓源的電流電壓取 一致性參考方向，則有,,混合節(jié)點方程為：,例2. 列寫混合方程,例3. 列寫混合方程,解：（1）先除去理想電壓源支路和受控源支路，寫出,節(jié)點方程：,（2）考慮接入理想獨立電壓源（支路2）,增加一個求解變量,特性方程：,,一般形式的獨立電壓源送值表：,,附加列,（3）考慮接入

6、電壓控制電壓源（支路9）,特性方程：,（新增變量）,,電壓控電壓源（VCVS） 方程中增加一個求解變量， 即VCVS支路的電流 特性方程：,,,,,即,(4) 考慮接入電壓控制電流源（支路11）,特性方程：,,,,電壓控電流源（VCCS）,,特性方程：,,(5) 考慮電流控制電壓源CCVS（支路6）。,特性方程：,改寫為：,（新增變量）,,電流控電壓源（CCVS）,,,方程中增加一個求解變量， 即CCVS支路的電流 特性方程：,即,（6）考慮電流控制電流源CCCS（支路10）。,特性方程：,,,電流控電流源（CCCS）,,,特性方程：,

7、總結(jié)：,(1) 改進節(jié)點方程中，未知量為節(jié)點電壓，理想電壓源支路電流、受控電壓源支路電流。它適合于包含理想電壓源、四種受控源元件的電路。 (2) 改進節(jié)點法中，只有導(dǎo)納、阻抗支路才采用“組合支路”，其它支路均采用單元件支路。 (3) 改進節(jié)點方程的 由導(dǎo)納(阻抗)支路，VCCS支路和CCCS支路決定，其它支路對它無影響。,,練習(xí)：列寫混合方程,1.除去受控源列寫節(jié)點電壓方程,2.考慮電壓控電壓源,特性方程：,3.考慮電壓控電流源,特性方程：,例3. 列寫混合方程,解：（1）先除去理想電壓源支路和電壓控電壓源支路，寫出Yn(j)、,（2）考慮接入理想獨立電壓源（支路2）,增加一個求解變量,特性方

8、程：,,一般形式的獨立電壓源送值表：,,附加列,（3）考慮接入電壓控制電壓源（支路7）,特性方程：,（新增變量）,,電壓控電壓源（VCVS） 方程中增加一個求解變量， 即VCVS支路的電流 特性方程：,,,,,即,電路方程的求解,求解方程組的根時，計算方法的優(yōu)劣直接關(guān) 系到是否能求出所需的解，求解過程的快慢及解 的精度，也關(guān)系到能否用較少的內(nèi)存完成較復(fù)雜 的計算。 常用的方法有： 直接解法高斯消去法 迭代法,線性方程組的求解,一 高斯消去法,基本思想： 對一個線性方程組作行變換（交換方程組 任意兩行的順序；方程組任意一行乘于一個非

9、零 數(shù)；方程組任意一行減去另一行的倍數(shù)），得到 新的方程組與原方程組等價，因此同解。 高斯消去法就是反復(fù)運用上述運算，按主對 角線元素逐次消去未知量，將方程組化為上三角 方程組，這個過程稱為“消元過程”；然后逐一求 解該上三角方程組，得到方程組的解，這個過程 稱為“回代過程”。,線性代數(shù)方程組表示為：,,,,,A的增廣矩陣為：,,,消去過程,第一步：首先用 除 中第一行所有元素，使之歸一化，然后對下面(n1)行中的第i行分別用 乘第一行再與第i行相加，以消去第一列中的其余元素，此時 變?yōu)椋?,,,， , ;,其中,第二步：設(shè) ，則用 除 中第二行所有元素，使之歸一化，然后對下面(n

10、2)行中的第i行分別用 乘第二行再與第i行相加，以消去第二列中的其余元素，此時 變?yōu)椋?如此，一直進行到第n步。第n步的結(jié)果為:,,第k步，是對矩陣 進行下列運算：,,,,反向回代過程,,,,例1 用高斯消去法求解方程組,由 可得：,于是有,,上述高斯消去法，在實際使用中存在兩個問題：,一是在上面的討論中，事實上是假設(shè) ，并以之為主元完成消去過程的。但是，如果出現(xiàn) 的情況，即使原方程存在唯一解，消去過程也會歸于失敗。顯然，只要將方程的次序或變量的排列次序?qū)φ{(diào)一下問題就能得到解決。 二是計算精度問題。即使主元不為0，但 ，用它作除數(shù)，會導(dǎo)致其他元素數(shù)量級嚴重增加，從而引起較大的舍

11、入誤差，由于這些誤差的傳播和積累，而使計算精度降低，甚至導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。,,,解決方法：對調(diào)方程的次序或變量的排列,方法： 列主元消去法 行主元消去法 全主元消去法,例2 用高斯消去法求解方程組,解1. 直接消去,解得：,解2. 選主元消去,,解得：,例3 用高斯消去法求A的逆陣A-1,解:,,,,二. 迭代法,基本思想： 對線性方程組 ，當(dāng)A非奇異， ，則可構(gòu)造等 價的方程組 。任取 作為X的近似解，使用 迭代公式 。若有 ，則 為方 程組的解。,根據(jù)B，f 的不同構(gòu)造方法，可分為簡單迭代（雅可比迭代）、塞德爾迭代、逐次超松弛法等。,注：并非所有線性方

12、程組都可采用迭代法求解，只有迭代序列x(k)收斂才行。,1. 簡單迭代法,例：,解：由以上三式可分別替換出,則可得迭代公式：,取初始向量X(0)=(0,0,0)T,可得迭代序列：,則可得解X=(0.9995, 1.9995, 2.9992)T,,2. 塞德爾迭代法,例：,解：采用迭代公式,,程序流程圖：,2.3.2 方程求根,求方程f(x)=0的根，當(dāng)f(x)較為復(fù)雜時，無解析解，只能求出方程的近似根。常用的方法有：對分法、迭代法、牛頓法等。,一. 區(qū)間二分法,基本原理 : 若 f(x) 在a,b上連續(xù)且單調(diào)，f(a)f(b)<0 ，則根據(jù)連續(xù) 函數(shù)的中值定理，f(x)=0在(a,b)有惟一根

13、。,編程過程 : 1. 令x0=(a+b)/2，計算f(x0); 2. 若f(x0)=0，則x0為所求的根，輸出=x0； 若f(a) f(x0)0，則令a=x0, b=b; 3. 若b-a(為預(yù)先給定的精度要求)，輸出=（a+b）/2。,,,,,,,a,b,,,x0,,x1,,x2,x,f(x),二 牛頓-拉夫森法（簡稱N-R法),,,,思想： 1）選取方程根的初始值 ，一般來說，,,,,,,,當(dāng) 時有,,3）綜合1）2）有：,4）若經(jīng)k+1次修正得到了方程的解,,,,注：1.若初始值充分接近于根，則NR法的收斂速度很快； 2.由于方程的精確解的具體值事先不知道，在編程實施時，可以預(yù)先

14、給定一個足夠小的正數(shù) ，以下式作為迭代終止的判定條件：,,N-R法的幾何意義,,2.3.3 一階微分方程的求解問題,,,,,數(shù)值解法的基本思想： 在初值問題存在唯一解的時間區(qū)間內(nèi)，在若干個時間離散點上，用差分方程代替微分方程，然后逐點求解差分方程，得到各時間離散點 、 處的函數(shù) 近似值 、 ,一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給定初始條件下， 求微分方程的初值問題,,當(dāng)兩相鄰離散點之間的間隔較小時，用一階差商 取代一階導(dǎo)數(shù),一.前向歐拉法,令步長 ，則,其近似值為：,,前向歐拉法的幾何意義：,,在任一步長內(nèi)，用一段直線代替 函數(shù) 的曲線，此直線段的斜率 等于該函數(shù)在該步長起點的斜率。,,例.

15、 應(yīng)用前向歐拉法解初值問題,取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較,解：據(jù)前向歐拉法,又,有：,微分方程 是一階線性微分方程，可求出其通解：,則方程的解為：,從而有：,帶入初值 可得,計算結(jié)果列表（ 為前向歐拉法計算近似值， 為精確值）,分析：,當(dāng)步長不是很小時，前向歐拉法的精度不 是很高。步長取定后，步數(shù)越多，誤差越 大。 由于前向歐拉法舍棄一階導(dǎo)數(shù)以后諸項， 造成的截斷誤差是 的數(shù)量級，故稱為 二階精度。,,二、后向歐拉法,用一階差商近似代替 在一個步長終點的一階導(dǎo)數(shù)，則原微分方程化為：,其近似值：,,后向歐拉法的幾何意義：,,在任一步長內(nèi)，用一段直線 代替函數(shù) 的曲線，此

16、直 線段的斜率等于該函數(shù)在該 步長終點的斜率。,,,例. 應(yīng)用后向歐拉法解初值問題,取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較,解：據(jù)后向歐拉法,又,計算結(jié)果列表（ 為后向歐拉法計算近似值， 為精確值）,三. 梯形法,求一階微分方程數(shù)值解的前向、后向歐拉法的共 同之處是二者均系一階近似算法，即在任一步長內(nèi)， 用一段直線代替未知函數(shù)的曲線，此直線段的斜率或 等于該函數(shù)曲線在該步長起點的斜率，或等于該函數(shù) 曲線在該步長終點的斜率。 不難看出，如果在任一步長內(nèi)，取函數(shù)曲線在該 步長起點和終點的斜率平均值代替未知函數(shù)曲線的直 線段的斜率，則待求數(shù)值解的誤差將顯著減小?；?這一指導(dǎo)思想得到的一階

17、微分方程的數(shù)值解法稱為梯 形法。,一階微分方程的求解問題：,用一階差商近似地代替函數(shù)在一個步長起點和終點的 一階導(dǎo)數(shù)的平均值,梯形公式 （歐拉中點公式）,近似值：,顯然，梯形公式是隱式法，一般求 需要解方程，常采用迭代法，初值由顯式的歐拉公式給出：,然后將 替代梯形公式等式右邊出現(xiàn)的,一般迭代公式為：,稱梯形公式的預(yù)估校正法,當(dāng)步長h足夠小，且由前向歐拉法計算的 已是較好的近似，則迭代一、二次即可,例 用歐拉公式和梯形公式的預(yù)估校正法計算:,的數(shù)值解，取h=0.1，梯形公式只迭代一次。,解：歐拉公式為：,梯形公式為：（只校正一次）,梯形遞推公式是取泰勒展開式前三項所構(gòu)成的線性近似 表達式，其截斷誤差為 數(shù)量級。故其精度是三階的。,,四、龍格庫塔法（RK法）,前向歐拉法為顯式的一步法，使用方便，但精度 較低,其精度取決于 。如能改變該函數(shù)，就 可能提高公式的精度。龍格庫塔法就是對它 的改進,為選擇函數(shù),其中 為待定參數(shù),以上方法稱為p階RK法 顯然，前向歐拉法為一階R-K法,