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1、矢量代數(shù) 常用正交曲線坐標系 標量場的梯度 矢量場的散度 矢量場的旋度 無旋場與無散場 拉普拉斯運算與格林定理 亥姆霍茲定理,本章內容,矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示,矢量可表示為： 其中 為模值，表征矢量的大小； 為單位矢量，表征矢量的方向；,1.1 矢量代數(shù),1.1.1 標量和矢量,標量與矢量 標量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）,矢量的代數(shù)表示,說明：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如 。教材上的矢量符號即采用印刷體。,矢量用坐標分量表示,1.1.2 矢量代數(shù)運算,,矢量的加法和減法,矢量相
2、加和相減可用平行四邊形法則求解：,說明： 矢量的加法符合交換律和結合律：,矢量的乘法,矢量與標量相乘,標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。,矢量的標積（點積）,說明： 1、矢量的點積符合交換律和分配律：,2、兩個矢量的點積為標量,,,3、,矢量的矢積（叉積）,說明： 1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：,2、兩個矢量的叉積為矢量,4、矢量運算恒等式,,,3、,三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。,三種常用的正交坐標系為：直角坐標系、圓柱面坐標系和球面坐標系。,正交坐標系：三條正交曲線組成、確定三維空間任意點位置的體系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為
3、坐標變量。,1.2 三種常用的正交坐標系,1.2.1 直角坐標系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標變量,坐標單位矢量,坐標變量：,坐標單位矢量：,變化范圍：,坐標變換關系：,,,1.2.2 圓柱坐標系,圓柱坐標系與直角坐標之間單位矢量的變換關系,線元矢量,體積元,面元矢量,位置矢量,說明：圓柱坐標系下矢量運算方法,加減：,標積：,矢積：,1.2.3 球坐標系,坐標變量：,坐標單位矢量,變化范圍：,變換關系：,,,坐標單位矢量之間的關系,球坐標系與圓柱坐標,球坐標系與直角坐標,線元矢量,體積元,面元矢量,球坐標系中的線元、面元和體積元,位置矢量,說明：球面坐標系下矢量運算,加減：,標積
4、：,矢積：,課外學習實訓 1,試分析產(chǎn)生此悖論的原因。在此基礎上，撰寫一篇關于對三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告。,2、位于球坐標系下的P點（1, 30, 90）處的矢量 ， 利用直角坐標系可表示為：,1、已知圓柱坐標系下的點 和 ，試在圓 柱坐標系下寫出從 到P 的矢量 與從P 到 的矢量,1.3 標量場的梯度,1. 標量場和矢量場,標量場：物理量是為標量,矢量場：物理量是矢量,場的概念：物理量在空間區(qū)域上的一個確定分布,例如：流速場、重力場、電場、磁場等,例如：溫度場、電位場、高度場等。,場的表示方式,如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。,標
5、量場：,矢量場：,2. 標量場的等值面,等值面: 標量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。,等值面方程：,常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 標量場的等值面充滿場所在的整個空間； 標量場的等值面互不相交。,等值面的特點：,意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。,3. 方向導數(shù),意義：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。,概念：, u(M)沿 方向增加；, u(M)沿 方向減小；, u(M)沿 方向無變化。,特點：方向導數(shù)既與點 M0 有關，也與 方向有關。,問題： 在什么方向上變化率最大? 最大的變化率為多少？,梯度,,梯度的計算公式
6、：,圓柱坐標系,球坐標系,直角坐標系,4. 標量場的梯度（ 或 ）,意義：描述標量場在某點的最大變化率及 其變化最大的方向,概念：,其中 取得最大值的方向,梯度的性質,標量場的梯度為矢量，且是坐標位置的函數(shù),標量場梯度的幅度表示標量場的最大變化率,標量場梯度的方向垂直于等值面，且為標量場增加最快的方向,標量場在給定點沿任意方向的方向導數(shù)等于梯度在該方向投影,梯度運算的基本公式：,式中： 為常數(shù)；,為坐標變量函數(shù)；,解 (1),例1.3.1 設一標量函數(shù)u ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標量場。試求： (1) 該函數(shù)u 在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及
7、表示該梯度方向的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)u 沿單位矢量 方向的方向導數(shù)，并以點 P(1,1,1) 處的方向導數(shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。,(2),而該點的梯度值為,顯然，梯度 描述了P點處標量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向導數(shù)，故 恒成立。,,1.4 矢量場的通量與散度,1. 矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場的空間 分布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。,2. 矢量場的通量,問題：如何定量描述矢量場的大??？ 引入通量的概念。,通量的概念,面積元的法向單位矢量；,穿過面積元 的通量。,如果
8、 S 是閉合曲面，則,外法向單位矢量,若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發(fā)出矢量線的正源；,若 ，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負源；,若 ，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無源，或正源負源代數(shù)和為0。,通過閉合面S的通量的物理意義：,3. 矢量場的散度,散度的定義,在場空間中任意點M 處作一個包圍體積元 的閉合曲面S，定義場矢量 在M 點處的散度為：,矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；,說明,矢量場的散度是標量；,矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；,若 ，則該矢量場稱為有散場，為源密度,若 處處成立，則該矢量場稱為無散場,圓
9、柱坐標系,球坐標系,直角坐標系,散度的計算公式, 直角坐標系下散度表達式的推導,則穿過前、后兩側面的凈通量值為,取包圍P點的微體積元V 為一直平行六面體，如圖所示。則,同理，求出穿過另兩組側面的凈通量，并合成之，即得,根據(jù)定義，得,散度的有關公式：,4. 散度定理（矢量場的高斯定理）,意義：矢量場穿過空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包圍體積中矢量場的散度的體積分。,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系。,說明：,如何證明？,應用散度定理要注意條件： 必須是封閉曲面 的各分量具有一階連續(xù) 偏導數(shù),1.5 矢量場的環(huán)流與旋度,矢量場的環(huán)流,流速場,電流的磁場,環(huán)流的概念,矢量場
10、沿有向閉合曲線L的線積分稱為該矢量對閉合曲線L的環(huán)流，即,環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。,稱為矢量場在點M 處沿方向 的環(huán)流面密度。,定義：,2. 環(huán)流面密度,說明：,環(huán)流面密度 是 在M點處沿 方向的漩渦源密度,在空間任一點M處以 為法向矢量做一面積元 ，則,環(huán)流面密度 與面元方向 有關。,而,推導 的示意圖如圖所示。,直角坐標系中 、 、 的表達式,于是,同理可得,故得,概念：矢量場在 M 點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點的環(huán) 流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積 元的法線方向，即,3. 矢量場的旋度,
11、說明：,矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù),矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度,若 處處成立，則稱其為無旋場,若 ，則稱其為有旋場， 為漩渦源密度矢量,,旋度的計算公式:,旋度的有關公式：,,4. 斯托克斯定理,意義：矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量。,說明：斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式。,如何證明？,散度和旋度的比較,1.6 拉普拉斯運算與格林定理,1. 拉普拉斯運算,標量拉普拉斯運算,概念：, 拉普拉斯算符,直角坐標系,計算公式：,圓柱坐標系,球坐標系,矢量拉普拉斯運算,概念：,即,注意：對于非直角
12、分量，,直角坐標系中：,如：,2. 格林定理,標量第一格林定理,式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為表面S 的外法向矢量,標量第二格林定理：,1.7 亥姆霍茲定理,在以 S 為邊界的有限區(qū)域 V 內，任意矢量場由其在區(qū)域V內的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上 S 的分布）唯一確定，且可表示為：,式中：,1. 亥姆霍茲定理,無界空間（不存在邊界面）,亥姆霍茲定理表明：,在無界區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。,在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關，還與區(qū)域邊界上矢量場有關。,亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。,2. 矢量場按源的分類,（1）無旋場,性質
13、： ，線積分與路徑無關，是保守場。,無旋場可以用標量場的梯度表示，即,例如：靜電場,（2）無散場,性質：,無散場可以表示為另一個矢量場的旋度,例如，恒定磁場,（3）無旋、無散場,（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場,這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分,,,,內容總結 場的基本概念 三個坐標系 三個度 兩個轉換(公式) 兩個恒等式 一個運算 兩個定理 場基本方程的微分和積分形式 場點和源點的梯度關系,哈密頓算符： 梯度： 散度： 旋度：,斯托克斯定理,散度定理（高斯定理）,面-體積分轉化：,面-線積分轉化：,梯度的旋度恒等于零： 旋度的散度恒等于零: 拉普拉斯運算： 格林定理 第一恒等式： 第二恒等式：,場基本方程的微分形式： 場基本方程的積分形式：,亥姆霍茲定理： 只要一個矢量場的散度和旋度處處是已知的，那么就可以惟一地求出這個矢量場,,,場點和源點的梯度關系：,練 習 題,1.5, 1.9,1.11, 1.12, 1.16, 1.18,1.20, 1.23, 1.27,
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