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1、2020/9/4,1,第3章 信道容量,2020/9/4,2,本章主要內容,3.1信道的數學模型與分類 3.2單符號離散信道的信道容量 3.3 多符號離散信道的信道容量 3.4連續(xù)信道及其容量 3.6信道編碼定理,2020/9/4,3,3.2 單符號離散信道,單符號離散信道的信道模型 設輸入端信源符號集合為： 輸出端信宿符號集合為： 信道轉移概率為：令 信道模型如圖所示 Def：輸入輸出都取值于離散符號集合，且都用一個符號表示一條消息的信道。,,,,,,,單符號離散信道的數學模型,2020/9/4,4,單符號離散信道的信道統(tǒng)計特性用轉移概率矩陣表示： 信道容量：傳輸信息不失真的條件下的最大平均
2、信息量或最大信息速率Rmax 信道上傳輸的最大平均信息量：C=I(X;Y)maxbit/符號 信道上傳輸的最大信息速率：Rmax,,信道統(tǒng)計特性,2020/9/4,5,,信道容量的計算,,其中：t:傳輸一個符號需要的時間,所以當信道特性p(yj/xi)確定以后，信道的容量只和信源概率分布p(xi)有關。,bit/符號,s/符號,,2020/9/4,6,幾種特殊離散信道的容量,具有一一對應關系的無噪信道： 輸出集合和輸入集合的每個符號一一對應（n=m），見圖3.3(a)。 信道轉移概率矩陣為單位陣。 因為輸入輸出一一對應：所以,此時信道容量：C=I(X;Y)max=H(X)max= H(Y)m
3、ax =log2n bit/符號,2020/9/4,7,幾種特殊離散信道的容量,具有擴展性能的無噪信道： 一對多（nm）見圖3.3(b),給定一個輸出，必能找到對應的唯一輸入，即信道疑義度H(X/Y)=0。 信道轉移概率矩陣：每列有且只有一個非零元素。 C=I(X;Y)max =H(X)-H(X/Y) max由于H(X/Y)=0=H(X)max 所以=H(X)max =log2n bit/符號時間,n:行數,2020/9/4,8,幾種特殊離散信道的容量,具有歸并性能的無噪信道： 多對一（nm），見圖3.3(c)，給定一個輸入，必能找到對應的唯一輸出，即噪聲熵H(Y/X)=0。 信道轉移概率
4、矩陣：每行有且只有一個非零元素。 C=I(X;Y)max=H(Y)-H(Y/X) max由于H(Y/X)=0 所以=H(Y)max =log2m bit/符號時間,m:列數,2020/9/4,9,對稱離散無記憶信道的信道容量,對稱離散無記憶信道DMC（Discrete Memoryless Channel）：矩陣的每一行都是同一集合Q =(q1,q2,,qm)中各元素的不同排列，每一列都是關于同一集合P =(p1,p2,,pn)中各元素的不同排列，則稱為對稱信道。,,,不是對稱信道,每行的元素都取自同一集合Q=1/6, 1/6,1/3 ,1/3,每列的元素也都取自同一集合P=1/6,1/3
5、,,,,,對稱信道,對稱信道,2020/9/4,10,,定理：對于對稱DMC，有H(Y|X)= Hmi 證明：,,信道轉移概率矩陣任意一行的熵,對稱：則 H（Y/X）=Hmi =H(1/2,1/3,1/6),2020/9/4,11,,對稱DMC信道的容量公式： C=I(X;Y)max =H(Y)-H(Y|X)max =H(Y)-Hmimax =H(Y)max-H(q1,q2,,qm) 設信源為單符號消息，符號數為n,等概分布，通過一個對稱的DMC信道，則信宿也等概分布（設符號數為m）, 此時信道容量為：,,,對稱DMC信道 的信道容量,,2020/9/4,12,,證明：若信源等概分布時，
6、若通過對稱信道，則得到的信宿也等概分布：,,,2020/9/4,13,,例：求P1的信道容量。 解：對稱DMC,所以,,2020/9/4,14,強對稱離散信道的信道容量,強對稱離散信道def:,,,易看出，該信道是一個特殊的對稱信道。 求該信道的信道容量。,易知轉移概率矩陣為：,,,,,,,,,,,2020/9/4,15,,解：因為是對稱DMC信道，所以,,2020/9/4,16,準對稱DMC的信道容量,準對稱DMC（關于行對稱或者關于列對稱） 二元對稱刪除信道,或,,,,,,,,,分析信道轉移矩陣p， 兩行三列，說明信道有兩個輸入消息(設為 )，三個輸出消息(設為 ),2020/
7、9/4,17,準對稱DMC的信道容量,例：已知 ，求此二元對稱刪除 矩陣的信道容量C。,,,,,解,需求H(Y),Y的概率分布,2020/9/4,18,,,,,,說明準對稱信道達到容量（極值）時，信源等概分布,2020/9/4,19,,令上題 ，則 ，叫做二元純刪 除信道，信道轉移分布圖為：,,,,說明：輸入符號 都以1的錯誤概率傳至收端， 錯判為符號E,2020/9/4,20,準對稱DMC信道容量的求解步驟,歸納求解準對稱DMC信道容量的步驟： 1、將轉移概率矩陣劃分成若干個互不相交的子集 2、令信源等概分布 3、 其中: n為信源符號個數，即信道轉移矩陣的行數 Hmi：轉移概
8、率矩陣第i行的熵 Nk：第k個子矩陣行元素之和 Mk：第k個子矩陣列元素之和 注：若準對稱信道是關于列對稱，可以先進行轉置，使其變成關于行對稱,,2020/9/4,21,,例：求轉移概率為圖示P的信道容量。 解： 由于P是關于行對稱的準對稱矩陣，將P分解： ，則 =log2-H(1/2,1/4,1/8,1/8) - (1/2+1/4)log(1/2+1/4)+(1/8+1/8)log(1/8+1/8) =0.061bit/符號,,,矩陣的行數,,矩陣任一行的元素熵,,,,,,,,2020/9/4,22,,例：求轉移概率為圖示P的信道容量。 解： 由于P是關于行對稱的準對稱矩陣，將P分解： ，則 =log2-H(1/3,1/3,1/6,1/6) - (1/3+1/6)log(1/3+1/6)+1/3log(1/3+1/3)+1/6log(1/6+1/6) =0.041bit/符號,,,,,,,,,,,,,2020/9/4,23,Thank You!,
單符號離散信道的信道容量
