高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第54講 拋 物 線（含答案）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第54講 拋 物 線 一、選擇題（共15小題） 1. 拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ?? A. 1,0 B. 2,0 C. 18,0 D. 116,0 2. 焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 3 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ?? A. y2=12x B. y2=3x C. x2=6y D. y2=6x 3. 過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 Ax1,y1，Bx2,y2 兩點(diǎn)，如果 x1+x2=6，那么 AB= ?? A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 拋物線 x2=12ay a≠

2、0 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ?? A. a2,0 B. a2,0 或 ?a2,0 C. 0,18a D. 0,18a 或 0,?18a 5. 已知 F 為拋物線 C：x2=4y 的焦點(diǎn)，直線 y=2x+1 與拋物線 C 交于點(diǎn) A，B，則 ∣AB∣= ?? A. 162 B. 16 C. 12 D. 82 6. 拋物線 y=?18x2 的準(zhǔn)線方程是 ?? A. x=132 B. y=2 C. y=132 D. y=?2 7. 設(shè)直線 l1:y=2x，直線 l2 經(jīng)過點(diǎn) P2,1，拋物線 C:y2=4x，已知直線 l1，l2 與拋物線 C 共有三個(gè)交點(diǎn)，則滿

3、足條件的直線 l2 的條數(shù)為 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 拋物線 x2=my 上的點(diǎn)到定點(diǎn) 0,4 和定直線 y=?4 的距離相等，則 m 的值等于 ?? A. 116 B. ?116 C. 16 D. ?16 9. 以拋物線 C 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，交 C 的準(zhǔn)線于 D，E 兩點(diǎn)．已知 ∣AB∣=42，∣DE∣=25，則 C 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ?? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知拋物線 C 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l 過拋物線 C 的焦點(diǎn)，且與 C 的對(duì)稱軸垂直，l 與 C 交于

4、 A，B 兩點(diǎn)，AB=12，P 為 C 的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則 △ABP 的面積為 ?? A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 11. 已知 F 是拋物線 y2=x 的焦點(diǎn)，A，B 是該拋物線上的兩點(diǎn)，∣AF∣+∣BF∣=3，則線段 AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為 ?? A. 34 B. 54 C. 1 D. 74 12. 過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為 π3 的弦 AB，則 AB 的值為 ?? A. 873 B. 163 C. 83 D. 1673 13. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 C: y2=2pxp>0 的焦點(diǎn)為

5、F，M 是拋物線 C 上一點(diǎn)，若 △OFM 的外接圓與拋物線 C 的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為 9π，則 p= ?? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 14. 過點(diǎn) 0,1 作直線，使它與拋物線 y2=4x 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有 ?? 條 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知曲線 C：y=2x2，點(diǎn) A0,?2 及點(diǎn) B3,a，從點(diǎn) A 觀察點(diǎn) B，要使視線不被曲線 C 擋住，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?? A. 4,+∞ B. ?∞,4 C. 10,+∞ D. ?∞,10 二、填空題（共10小題） 16. 若拋物線

6、C:y2=2px 的焦點(diǎn)在直線 x+y?3=0 上，則實(shí)數(shù) p= ?；拋物線 C 的準(zhǔn)線方程為 ?． 17. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩條漸近線與拋物線 y2=2pxp>0 的準(zhǔn)線分別交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為 2，△AOB 的面積為 43，則 p= ?． 18. 已知 F 為拋物線 C:y2=4x 的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 作兩條互相垂直的直線 l1，l2，直線 l1 與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l2 與 C 交于 D，E 兩點(diǎn)

7、，則 ∣AB∣+∣DE∣ 的最小值為 ?． 19. 已知拋物線 M:y2=16x 的焦點(diǎn)為 F，P 為拋物線 M 上一點(diǎn)．若 ∣PF∣=5，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?． 20. 已知點(diǎn) P 是拋物線 x2=4y 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 在 x 軸上的射影是 Q，若點(diǎn) A8,7，∣PA∣+∣PQ∣ 的最小值為 ?． 21. 已知直線 l:4x?3y+8=0，拋物線 C:y2=4x 圖象上的一動(dòng)點(diǎn)到直線 l 與它到拋物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為 ?． 22.

8、設(shè)雙曲線 x24?y25=1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 為雙曲線上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且 △PF1F2 的面積為 6，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ?． 23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A?1,0 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱，點(diǎn) Px0,y0 在拋物線 y2=4x 上，且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 2，則 x0= ?． 24. 已知直線 l1:4x?3y+12=0 和直線 l2:x=?1，則拋物線 y2=4x 上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1 和直線 l2 距離之和的最小值是

9、 ?． 25. 已知拋物線 C 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1,0，過焦點(diǎn) F 的直線 l 與拋物線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)．若直線 l 的傾斜角為 45°，則弦 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ?． 三、解答題（共3小題） 26. 已知拋物線 Γ:y2=2pxp>0．． （1）若 Γ 上一點(diǎn) M1,t 到其焦點(diǎn)的距離為 3，求 Γ 的方程； （2）若 p=2，斜率為 2 的直線 l 交 Γ 于 A，B 兩點(diǎn)，交 x 軸的正半軸于點(diǎn) M，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA?OB=0，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 27. 已知拋物線 y=x2，c>0．

10、 （1）若過點(diǎn) 0,1 作與拋物線相交的弦，要使其弦長(zhǎng)為 2 的弦有幾條?并說明理由． （2）試研究過點(diǎn) 0,c，且使弦長(zhǎng)為 2 的弦有幾條，寫出更一般的結(jié)果，并說明理由． 28. 已知拋物線 C:y2=2px 過點(diǎn) A1,1． （1）求拋物線 C 的方程； （2）過點(diǎn) P3,?1 的直線與拋物線 C 交于 M，N 兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn) A 不重合），設(shè)直線 AM，AN 的斜率分別為 k1，k2．求證：k1?k2 為定值． 答案 1. A 2. D 【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸的正半軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 y2=2pxp>0， 因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線

11、的距離為 3，所以 p=3， ∴ y2=6x， 故選：D． 3. B 4. C 5. C 6. B 【解析】因?yàn)?y=18x2， 所以 x2=?8y， 所以其準(zhǔn)線方程是 y=2． 7. C 【解析】因?yàn)辄c(diǎn) P2,1 在拋物線內(nèi)部，且直線 l1 與拋物線 C 有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)相交于 A，B 兩點(diǎn)，所以當(dāng)過點(diǎn) P 的直線 l2 過點(diǎn) A 或過點(diǎn) B 或與 x 軸平行時(shí)符合題意．所以滿足條件的直線 l2 共有 3 條． 8. C 【解析】根據(jù)拋物線定義可知，定點(diǎn) 0,4 為拋物線焦點(diǎn)，且 m>0， 所以 m4=4，解得：m=16． 9. B 【解析】

12、不妨設(shè) C：y2=2pxp>0，Ax1,22，則 x1=2222p=4p，由題意可知 ∣OA∣=∣OD∣，得 4p2+8=2p2+5，解得 p=4（舍負(fù)）． 10. C 【解析】不妨設(shè)拋物線 C 的方程為 y2=2pxp>0，焦點(diǎn)為 Fp2,0，如圖所示． 因?yàn)?當(dāng) x=p2 時(shí)，y=p， 所以 p=AB2=122=6． 又點(diǎn) P 到直線 AB 的距離始終為 p， 所以 S△ABP=12×12×6=36． 11. B 【解析】設(shè)點(diǎn) A 到準(zhǔn)線的距離為 d1，點(diǎn) B 到準(zhǔn)線的距離為 d2，則 d1+d2=3，則線段 AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為 d1+d22?p2=

13、32?14=54． 12. B 13. B 【解析】因?yàn)?△OFM 的外接圓與拋物線 C 的準(zhǔn)線相切，所以 △OFM 的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，因?yàn)閳A面積為 9π，所以圓的半徑為 3，又因?yàn)閳A心在 OF 的垂直平分線上，∣OF∣=p2，所以 p2+p4=3，所以 p=4． 14. C 15. D 16. 6，x=?3 17. 4 【解析】由已知得 e=ca=2，得 c=2a，b=3a， 所以雙曲線的漸近線方程為 y=±3x． 又拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=?p2，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程得 A?p2,3p2，B?p2,?3p2．

14、 在 △AOB 中，AB=3p，O 到 AB 的距離為 p2． 因?yàn)?S△AOB=43． 所以 12×3p×p2=43，p=4． 18. 16 【解析】設(shè)直線 l1 方程為 y=k1x?1， 取方程 y2=4x,y=k1x?1, 得 k12x2?2k12x?4x+k12=0， 所以 x1+x2=??2k12?4k12=2k12+4k22， 同理直線 l2 與拋物線的交點(diǎn)滿足 x3+x4=2k22+4k22， 由拋物線定義可知 ∣AB∣+∣DE∣=x1+x2+x3+x4+2P=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥216k12k22+

15、8=16. 當(dāng)且僅當(dāng) k1=?k2=1（或 ?1）時(shí)，取等號(hào)． 19. 1,±4 【解析】因?yàn)閽佄锞€ y2=16x=2px， 所以 p=8，準(zhǔn)線方程為 x=?4， 由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的， 所以 ∣PF∣=x+4=5， 所以 x=1， 所以 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 1,±4， 故答案為：1,±4． 20. 9 21. 125 【解析】拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) F1,0，準(zhǔn)線方程為 x=?1， 如圖設(shè) ∣PH∣=d，P 到 y 軸的距離為 P 到準(zhǔn)線 x=?1 的距離減 1，即 ∣PM∣?1， 由拋物線的定義可得 ∣P

16、F∣=∣PM∣， 可得點(diǎn) P 到直線 l 和它到 y 軸的距離之和的最小值即為 ∣PM∣+d?1=∣PF∣+d?1 的最小值， 由 F，P，H 三點(diǎn)共線， 即 ∣PF∣+d≥m（m 為 F 到準(zhǔn)線 4x?3y+8=0 的距離）， 可得 m=∣4?0+8∣5=125． 22. 655,2 【解析】由題意得 c=3，則 F1F2=6， 設(shè)點(diǎn) Px0,y0x0>0,y0>0，則 S△PF1F2=12×6y0=6， 故 y0=2，代入雙曲線的方程得 x0=655， 故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 655,2． 23. 1+2 【解析】由題意知 B1,0，且 y02=4x0x0>0，所以

17、kAP=y0x0+1，kBP=y0x0?1，所以 kAP?kBP=y0x0+1?y0x0?1=y02x02?1=2，即 y02=2x02?1=4x0，所以 x02?2x0?1=0，解得 x0=1+2． 24. 165 【解析】拋物線的準(zhǔn)線為 l2:x=?1，焦點(diǎn)為 F1,0， 則點(diǎn) P 到 x=?1 的距離即為 PF， 因?yàn)辄c(diǎn) P 到 l1 和 l2 的距離之和的最小值為點(diǎn) F 到 l1 的距離， 故 d=4+1216+9=165． 25. 3,2 【解析】由題意得，拋物線 C 的方程是 y2=4x，直線 l 的方程是 y=x?1． 由 y2=4x,y=x?1 消去 y

18、 得 x2?6x+1=0， 因此線段 AB 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 62=3，縱坐標(biāo)是 y=3?1=2， 所以線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是 3,2． 26. （1） y2=8x． ??????（2） 4,0． 27. （1） 過點(diǎn) 0,1 作與拋物線相交的弦，要使其弦長(zhǎng)為 2 的弦只有一條，它是垂直于 y 軸的一條弦． ??????（2） 若過點(diǎn) 0,c 且長(zhǎng)度為 2 的弦恰有 2 條，恰有 1 條，或者不存在．試問 c 的范圍各是多少? 設(shè)過點(diǎn) 0,c 的直線為 y?c=kx． 代入 y=x2，得 x2?kx?c=0． 兩根之差為 ∣x2?x1∣=x1+x22?4x1x2=k

19、2+4c， 弦長(zhǎng) l=1+k2x1+x22?4x1x2， 則 4=1+k2k2+4c． 所以 k4+4c+1k2+4c?1=0． 此方程視為關(guān)于 k2 的方程． ① 當(dāng)方程有一解時(shí)，k=0，所以 c=1； ② 當(dāng)方程有兩解時(shí)，方程一根為負(fù)、一根為正， 所以 4c+12?16c?1>0,4c?1<0. 解不等式組，得 00,4c+1>0. 解不等式組，得 c>1． 則當(dāng) 01 不存在長(zhǎng)度為 2 的弦． 28. （1） 由題意得 2p=1，所以拋物線方程 y2=x． ??????（2） 設(shè) Mx1,y1，Nx2,y2，直線 MN 的方程為 x=ty+1+3， 代入拋物線方程得 y2?ty?t?3=0． 所以 Δ=t+22+8>0，y1+y2=t，y1y2=?t?3，所以 k1?k2=y1?1x1?1?y2?1x2?1=y1?1y12?1?y2?1y22?1=1y1+1y2+1=1y1y2+y1+y2+1=1?t?3+t+1=?12. 所以 k1，k2 是定值． 第8頁（共8 頁）