高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第50講 圓與圓的位置關(guān)系（含答案）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第50講 圓與圓的位置關(guān)系 一、選擇題（共6小題） 1. 兩個圓 C1：x2+y2+2x+2y?2=0 與 C2：x2+y2?4x?2y+1=0 的公切線有且僅有 ?? A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 2. 圓 x2+y2?6x+16y=0 與圓 x2+y2+4x?8y?44=0 的公切線條數(shù)是 ?? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 兩圓 x2+y2?1=0 和 x2+y2?4x+2y?4=0 的位置關(guān)系是 ?? A. 內(nèi)切 B. 相交 C. 外切 D. 外離 4. 圓 x+22+

2、y2=4 與圓 x?22+y?12=9 的位置關(guān)系為 ?? A. 內(nèi)切 B. 相交 C. 外切 D. 相離 5. 圓 x2+y2+2x+8y?8=0 與圓 x2+y2?4x?4y?2=0 的公切線的條數(shù)是 ?? A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 6. 圓 C1:x2+y2+2x+2y?2=0 與圓 C2:x2+y2?4x?2y+1=0 的公切線有且僅有 ?? A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 二、填空題（共11小題） 7. 若圓 x2+y2?2mx+m2?4=0 與圓 x2+y2+2x?4my+4m2?

3、8=0 相切，則實數(shù) m 的取值集合是 ?． 8. 已知圓 C1：x2+y2?6x?7=0 與圓 C2: x2+y2?6y?27=0 相交于 A，B 兩點，則線段 AB 的中垂線方程為 ?． 9. 如果單位圓 x2+y2=1 與圓 C:x?a2+y?a2=4 相交，則實數(shù) a 的取值范圍為 ?． 10. 兩圓 :x2+y2+6x+4y=0 及 x2+y2+4x+2y?4=0 的公共弦所在直線方程為 ?． 11. 兩圓 x2+y2=1 和 x+

4、42+y?a2=25 相切，則實數(shù) a 的值為 ?． 12. 如圖所示，A，B 是直線 l 上的兩點，且 AB=2．兩個半徑相等的動圓分別與 l 相切于 A，B 點，C 是兩個圓的公共點，則圓弧 AC，CB 與線段 AB 圍成圖形面積 S 的取值范圍是 ?． 13. 圓 O1:x2+y2=1 與圓 O2:x2+y2?22x?22y+3=0 的位置關(guān)系是 ?． 14. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C 的方程為 x?12+y?12=9，直線 l:y=kx+3 與圓 C 相交

5、于 A，B 兩點，M 為弦 AB 上一動點，若以 M 為圓心，2 為半徑的圓與圓 C 總有公共點，則實數(shù) k 的取值范圍為 ?． 15. 已知圓 C1:x?42+y?42=4，圓 C2:x?32+y+52=2，若圓心在 x 軸上的圓 C 同時平分圓 C1 和 C2 的圓周，則圓 C 的方程為 ?． 16. 若點 A1,0 和點 B5,0 到直線 l 的距離依次為 1 和 2，則這樣的直線有 ? 條． 17. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=1，圓C：(x?4)2+y2

6、=4．若存在過點P(m，0)的直線l，l被兩圓截得的弦長相等，則實數(shù)m的取值范圍 ?． 三、解答題（共4小題） 18. 已知兩圓 x2+y2?2x?6y?1=0 和 x2+y2?10x?12y+m=0． （1）m 取何值時兩圓外切； （2）m 取何值時兩圓內(nèi)切； （3）求 m=45 時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長． 19. 求半徑為 4，與圓 x2+y2?4x?2y?4=0 相切，且和直線 y=0 相切的圓的方程． 20. 已知圓 C：x+42+y2=4 和點 A?23,0，圓 D 的圓心在 y 軸上移動，且恒與圓

7、 C 外切，設(shè)圓 D 與 y 軸交于點 M 、 N．∠MAN 是否為定值?若為定值，求出 ∠MAN 的弧度數(shù)；若不為定值，說明理由． 21. 已知圓 O：x2+y2=r2r>0，點 P 為圓 O 上任意一點（不在坐標(biāo)軸上），過點 P 作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交圓 O 于另一點 A，B． （1）當(dāng)直線 PA 的斜率為 2 時， ①若點 A 的坐標(biāo)為 ?15,?75，求點 P 的坐標(biāo)； ②若點 P 的橫坐標(biāo)為 2，且 PA=2PB，求 r 的值； （2）當(dāng)點 P 在圓 O 上移動時，求證：直線 OP 與 AB 的斜率之積為定值． 答案 1. B 【解析】兩圓

8、圓心半徑分別為 C1?1,?1，r1=2，C22,1，r2=2，可得 ∣C1C2∣=13

9、+y?3=0 【解析】線段 AB 的中垂線經(jīng)過兩圓的圓心，圓 C1 的圓心 3,0，圓 C2 的圓心 0,3，則線段 AB 的中垂線方程為 x+y?3=0． 9. ?322

10、2?π2． 13. 外切 【解析】圓 O1:x2+y2=1，其圓心 O10,0，半徑 r1=1， 圓 O2:x2+y2?22x?22y+3=0，其圓心 O22,2，半徑 r2=1， 所以 ∣O1O2∣=2+2=2，r1+r2=1+1=2，即 ∣O1O2∣=r1+r2， 故兩圓的位置關(guān)系為外切． 故答案為：外切． 14. ?34,+∞ 【解析】由題意得 MC≥1 對于任意的點 M 恒成立，由圖形的對稱性可知，只需點 M 位于 AB 的中點時存在則可． 由點 C1,1 到直線 l 的距離 d=∣k+2∣k2+1≥1，解得 k≥?34，所以實數(shù) k 的取值范圍為 ?34,+∞

11、． 15. x2+y2=36 16. 4 條 17. ?40有解，即13k2?8k2m?3=0k2(1?m2)+1>0，可解得． 【解析】解：顯然直線l有斜率，設(shè)直線l：y=k(x?m)，即kx?y?km=0， 依題意得1?(∣km∣k2+1)2=4?(4k?km∣k2+1)2>0有解，即13k2?8k2m?3=0k2(1?m2)+1>0，∴k2=313?8mk2(1?m2)+1>0 ∴13?8m>0，所以消去k2可得3m2+8m?16<0 解得?4

12、案為：?4

13、4x+3y?23=0， 所以公共弦長為 2112?4×1+3×3?2342+322=27． 19. 設(shè)所求圓的方程為圓 C:x?a2+y?b2=42． 圓 C 與直線 y=0 相切，且半徑為 4，則圓心 C 的坐標(biāo)為 C1a,4或C2a,?4, 又已知圓 x2+y2?4x?2y?4=0 的圓心 A 的坐標(biāo)為 2,1，半徑為 3． 故若兩圓相切，則 CA=4+3=7或CA=4?3=1. ① 當(dāng) C1a,4 時，有 a?22+4?12=72,?或?a?22+4?12=12. 可解得 a=2±210. ∴ 所求圓的方程為 x?2?2102+y?42=16,x?2+21

14、02+y?42=16. ② 當(dāng) C2a,?4 時， a?22+?4?12=72,?或?a?22+?4?12=12. 故 a=2±26. ∴ 所求圓的方程為 x?2?262+y+42=16,x?2+262+y+42=16. 綜上所求方程為 x?2?2102+y?42=16,x?2+2102+y?42=16,x?2?262+y+42=16,x?2+262+y+42=16. 20. 設(shè)圓 D 的方程為 x2+y?b2=r2r>0， 那么 M0,b+r，N0,b?r． 因為圓 D 與圓 C 外切， 所以 2+r=16+b2, 化簡得 b2?r2=4r?12． 又直線

15、 MA，NA 的斜率分別為 kMA=b+r23，kNA=b?r23． ∴tan∠MAN=b+r23?b?r231+b+r23?b?r23=43r12+b2?r2=43r4r=3. 又因為 ∠MAN 為銳角，故 ∠MAN=π3，為定值． 21. （1） ①點 A 的坐標(biāo)為 ?15,?75，代入可得 r2=2， 直線 PA 的方程為 y+75=2x+15，即 y=2x?1， 代入 x2+y2=2，可得 5x2?4x?1=0， 所以點 P 的坐標(biāo)為 1,1； ②因為直線 PA 與直線 PB 的傾斜角互補(bǔ)且直線 PA 的斜率為 2，所以直線 PB 的斜率為 ?2． 設(shè)點 P 的

16、坐標(biāo)為 2,t，則直線 PA 的方程為：2x?y?4+t=0，直線 PB 的方程為：2x+y?t?4=0． 圓心 0,0 到直線 PA，PB 的距離分別為 d1=∣?4+t∣5，d2=∣?t?4∣5， 因為 PA=2PB，所以由垂徑定理得：4r2?d12=16r2?d22， 所以 4∣?t?4∣52?∣?4+t∣52=3r2,???① 又因為點 P2,t 在圓 O 上，所以 22+t2=r2,???② 聯(lián)立 ①② 解得 r=13或373． ??????（2） 由題意知：直線 PA，PB 的斜率均存在． 設(shè)點 P 的坐標(biāo)為 x0,y0，直線 OP 的斜率為 kOP=y0x0， 直

17、線 PA 的斜率為 k，則直線 PA 的方程為：y?y0=kx?x0， 聯(lián)立直線 PA 與圓 O 方程 x2+y2=r2，消去 y 得：1+k2x2+2ky0?kx0x+y0?kx02?r2=0， 因為點 P 在圓 O 上，即 x02+y02=r2， 所以 y0?kx02?r2=k2?1x02?2kx0y0， 由韋達(dá)定理得：xA=k2?1x0?2ky01+k2，故點 A 坐標(biāo)為 k2?1x0?2ky01+k2,?2kx0?k2y0+y01+k2， 用“?k”代替“k”得：點 B 的坐標(biāo)為 k2?1x0+2ky01+k2,2kx0?k2y0+y01+k2， 所以 kAB=yB?yAxB?xA=x0y0， 所以 kABkOP=1． 綜上，當(dāng)點 P 在圓 O 上移動時，直線 OP 與 AB 的斜率之積為定值 1． 第6頁（共6 頁）