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1、1,第五節(jié) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,自動控制系統(tǒng)的首要要求：穩(wěn)定性 分析系統(tǒng)動態(tài)和穩(wěn)態(tài)指標(biāo)必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。,研究內(nèi)容： 穩(wěn)定性的概念(局限于線性系統(tǒng)） 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)及其應(yīng)用,2,一、 穩(wěn)定性的基本概念 李亞普諾夫穩(wěn)定性理論 如果一個線性控制系統(tǒng)在初始擾動作用下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，在工程上簡稱穩(wěn)定。 反之，若在初始擾動作用下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,,3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號（外部擾動量）和初始值無關(guān)。,4,二、穩(wěn)定的
2、充要條件 設(shè)初始條件為零時，輸入為一個理想的單位脈沖函數(shù) ，當(dāng)作用時間t0時， =0， 這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng) 即輸出增量收斂于原平衡工作點，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,,,,,,穩(wěn)定性與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，是系統(tǒng)本身固有的特性，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。,5,,二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線圖,6,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 設(shè)系統(tǒng)的極點互不相等。 系統(tǒng)在脈沖輸入信號作用下的輸出： 對上式進(jìn)行拉氏反變換，得到理想脈沖函數(shù)作用下的輸出：,,,7,不穩(wěn)定系統(tǒng)：,有一個或一個以上的正實部根。,臨界穩(wěn)定：,有一個或一個以上的零實
3、部根或一對純虛根，而其余的特種根都有負(fù)實部。,工程上，臨界穩(wěn)定為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 臨時穩(wěn)定現(xiàn)象實際上時觀察不到的。,上式表明，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的 所有根均具有負(fù)實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均分布在 復(fù)平面的左半部。,8,3. 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù),1877年，勞斯（Routh）提出了判斷n次代數(shù)方程所有根都具有負(fù)實部的一般方法。,1895年，數(shù)學(xué)家赫爾維茨（Hurwitz）也獨立提出了同樣的結(jié)果，只是形式不同。,一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否具有全部負(fù)實部的方法,系統(tǒng)特征方程：,系統(tǒng)穩(wěn)定需要滿足的必要條件如下（否則不穩(wěn)定）：,系統(tǒng)特征方程次數(shù)不缺項 系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號一致（全
4、為正）,9,將各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表,勞斯穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,,,列勞斯表：,,10, 如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。, 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。,勞斯穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)特征方程：,首先檢驗：系統(tǒng)特征方程次數(shù)是否缺項 系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號是否全為正,列勞斯表：,11,設(shè)系統(tǒng)特征方程為：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,勞 斯 表,,,(64)/2=1,1,,,,(10-6)/2=2,2,,,,7,,1,,,0,,,(
5、6-14)/1= -8,-8,,,勞斯表介紹,勞斯表特點,4 每兩行個數(shù)相等,1 右移一位降兩階,2 行列式第一列不動,3 次對角線減主對角線,5 分母總是上一行第一個元素,,,,6 一行可同乘以或同除以某正數(shù),,,,,,0,12,已知一系統(tǒng)的特征方程式為,例3.1,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：列勞斯表,該表第一列系數(shù)符號不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號變化了兩次(+到，到)，所以該方程中有二個根在S的右半平面。,13,已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為,例3.2,求使該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,解：列勞斯表,由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定， 則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。因此可得：,,0
6、
7、項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行，完成勞斯表的排列。,解決的辦法：,這些根可以通過響應(yīng)的輔助方程來求得，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。,這時表示方程中有一些大小相等但關(guān)于原點對稱的根,17,某一個控制系統(tǒng)的特征方程為,顯然這個系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。,,例3.10,試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：列勞斯表,-4,-4,-1.5,-4,-3,1,-16.7,18,某一個控制系統(tǒng)的特征方程為,顯然這個系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。,,例,試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：列勞斯表,16,16,6,16,12,2,19,例3-11 系統(tǒng)如右圖所示，系統(tǒng)開環(huán)增益,確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的,取值
8、范圍。,解：系統(tǒng)的特征方程為,勞斯表為,20,綜上知,又因為,所以,的取值范圍為,21,例3-12 已知某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)零、極點分別為z1=1, s1,2=3。試問：閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？若穩(wěn)定，求出使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍。,解：依題，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),,,,22,列勞斯表,,為使系統(tǒng)穩(wěn)定，要求第一列系數(shù)均大于零,又因,,所以,23,3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.勞斯判據(jù)的應(yīng)用,（2）實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。,（1）勞斯判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。,,24,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定程度的解決辦法：,此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的
9、各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。,25,用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程,是否有根在S的右半平面上？ 有幾個根在垂線 的右方？,例3.6,解：列勞斯表,第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。,26,,列勞斯表：,27,例3-14 某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,若要使系統(tǒng)特征根全部位于s=-1的左邊，試確定K的取值。,得到,勞斯表為,28,已知一單位反饋控制系統(tǒng)下圖所示，試回答,例,時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？,時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？,,,列勞斯表：,第一列均為正值， S全部位于左半平面， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,,,20,15,20,750,20,15,50,1,0,1,2,3,S,S,S,S,-,29,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)特征方程為,,30,小結(jié)：利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定控制系統(tǒng) 可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足特征方程式系數(shù)不缺項且為正， 勞斯表第一列元素必須全為正值,
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