2023屆大一輪復習 第43講 用綜合法求角與距離（含答案）

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1、2023屆大一輪復習 第43講 用綜合法求角與距離 一、選擇題（共14小題） 1. 一條直線與平面 α 所成的角為 30°，則它和平面 α 內所有直線所成的角中最小的角是 ?? A. 30° B. 60° C. 90° D. 150° 2. 已知三棱錐 S?ABC 中，底面 ABC 為邊長等于 2 的等邊三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA=3，那么直線 AB 與平面 SBC 所成角的正弦值為 ?? A. 34 B. 54 C. 74 D. 34 3. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線

2、AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ?? A. 32 B. 155 C. 105 D. 33 4. 四棱錐 P?ABCD 的所有側棱長都為 5，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，則 CD 與 PA 所成角的余弦值為 ?? A. 255 B. 55 C. 45 D. 35 5. 如圖，平面 α⊥ 平面 β，A∈α，B∈β，AB 與兩平面 α 、 β 所成的角分別為 π4 和 π6，過 A 、 B 分別作兩平面交線的垂線，垂足為 A1，B1，則 AB:A1B1= ?? A. 2:1 B. 3:1 C. 3:2 D. 4:3 6. 如圖，長

3、方體 ABCD?A1B1C1D1 中，AA1=AB=2，AD=1，點 E，F(xiàn)，G 分別是 DD1，AB，CC1 的中點，則異面直線 A1E 與 GF 所成的角是 ?? A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7. 如圖，正三棱錐 A?BCD 的底面與正四面體 E?BCD 的底面 BCD 重合，連接 AE，則異面直線 AE 與 CD 所成角的大小為 ?? A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 正四棱錐的側棱長與底面邊長都是 1，則側棱與底面所成的角為 ?? A. 75° B. 60° C. 45° D. 30

4、° 9. 正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，BB1 與平面 ACD1 所成角的余弦值為 ?? A. 22 B. 33 C. 23 D. 63 10. 如圖所示，正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，截面 A1BD 與底面 ABCD 所成二面角 A1?BD?A 的正切值為 ?? A. 32 B. 22 C. 2 D. 3 11. 如圖，棱長都相等的平行六面體 ABCD?A?B?C?D? 中，∠DAB=∠A?AD=∠A?AB=60°，則二面角 A??BD?A 的余弦值為 ?? A. 13 B. ?13 C. 33 D. ?33

5、 12. 如圖，在長方體 ABCD?A1B1C1D1 中，AA1=AB=2，BC=1，點 P 在側面 A1ABB1 上．滿足到直線 AA1 和 CD 的距離相等的點 P ?? A. 不存在 B. 恰有 1 個 C. 恰有 2 個 D. 有無數(shù)個 13. 將一塊邊長為 2 的正三角形鐵皮沿各邊的中位線折疊成一個正四面體，則這正四面體某頂點到其相對面的距離是 ?? A. 63 B. 53 C. 33 D. 23 14. 如圖，將邊長為 4 的正方形折成一個正四棱柱的側面，則異面直線 AK 和 LM 所成角的大小為 ?? A. 30° B. 4

6、5° C. 60° D. 90° 二、填空題（共1小題） 15. 如圖，在正方體 ABCD?A?B?C?D? 中： ① 二面角 D??AB?D 的大小為 ?； ② 二面角 A??AB?D 的大小為 ?． 三、解答題（共9小題） 16. 如圖，已知正方體 ABCD?A1B1C1D1 的邊長為 1，點 P 在底面 ABCD（含邊界）內運動． （1）證明：BD⊥平面AA1C1C． （2）若 A1P 和 A1B 與平面 ABCD 所成的角相等，求點 P 的軌跡長度 17. 如圖

7、所示，在長方體 ABCD?A1B1C1D1 中 E，F(xiàn) 分別是棱 BC，CC1 上的點，CF=AB=2CE，AB:AD:AA1=1:2:4． （1）求異面直線 EF 與 A1D 所成角的余弦值； （2）證明 AF⊥平面A1ED； （3）求二面角 A1?ED?F 的正弦值． 18. 已知 Rt△ABC，斜邊 BC?α，點 A?α，AO⊥α，O 為垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角 A?BC?O 的大小． 19. 如圖，菱形 ABCD 的邊長為 2，∠A=60°，將 △ABD 沿 BD 翻折，使點 A 移至點 P． （1）求證：BD⊥PC；

8、 （2）若二面角 P?BD?C 的平面角為 60°，求 PC 與平面 BCD 所成角的大?。? 20. 如圖，在四棱錐 P?ABCD 中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=22，AB∥DC，∠BCD=90° （1）求證：PC⊥BC； （2）求點 A 到平面 PBC 的距離． 21. 如圖，在四棱錐 P?ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA⊥平面ABCD，E 為 PD 的中點． （1）求證：PB∥平面AEC； （2）設 AP=1，AD=3，三棱錐 P?ABD 的體積 V=34，求點 A 到平面 PBC 的距離． 22. 如圖，

9、在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中，∠B1AB=60°． （1）求直線 A1C 與平面 ABCD 所成的角的大??； （2）求異面直線 B1C 與 A1C1 所成角的大?。? 23. 如圖 1，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，且 AB=AD=12CD=1，現(xiàn)以 AD 為一邊向梯形外作正方形 ADEF，然后沿邊 AD 將正方形 ADEF 翻折，使平面 ADEF 與平面 ABCD 垂直，如圖 2． （1）求證：BC⊥平面DBE； （2）求點 D 到平面 BEC 的距離． 24. 在四棱錐 P?ABCD 中，四邊形 ABCD 為菱形，且

10、∠ABC=2π3，M，N 分別為棱 AP，CD 的中點． （1）求證：MN∥平面PBC； （2）若 PD⊥平面ABCD，PB=2AB=2，求點 M 到平面 PBC 的距離． 答案 1. A 2. D 3. C 【解析】如圖所示， 設 M，N，P 分別為 AB，BB1 和 B1C1 的中點，則異面直線 AB1 與 BC1 所成角為 ∠MNP 或其補角，（因異面直線所成角為 0,π2），可知 MN=12AB1=52，NP=12BC1=22； 取 BC 中點為 Q，連接 PQ，MQ，則 △PQM 為直角三角形； 因為 PQ=1，MQ=12AC， △AB

11、C 中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cos∠ABC=4+1?2×2×1×?12=7, 所以 AC=7， 所以 MQ=72； 在 △MQP 中，MP=MQ2+PQ2=112； 在 △PMN 中，由余弦定理得 cos∠MNP=MN2+NP2?PM22?MN?NP=522+222?11222×52×22=?105; 又異面直線所成角的范圍是 0,π2， 所以 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 105． 4. B 【解析】因為四邊形 ABCD 為正方形，故 CD∥AB， 則 CD 與 PA 所成的角即為 AB 與 PA 所成的角或其補角，即為

12、 ∠PAB． 在 △PAB 內，PB=PA=5，AB=2，利用余弦定理可知 cos∠PAB=PA2+AB2?PB22×PA×AB=5+4?52×5×2=55． 5. A 6. A 【解析】由題意：ABCD?A1B1C1D1 是長方體，E，F(xiàn)，G 分別是 DD1，AB，CC1 的中點，連接 B1G， 因為 A1E∥B1G， 所以 ∠FGB1 為異面直線 A1E 與 GF 所成的角． 連接 FB1， 在三角形 FB1G 中，AA1=AB=2，AD=1， B1F=12AB2+AA12=5， B1G=12AA12+AD2=2， FG=CF2+12AA12=3，

13、B1F2=B1G2+FG2． 所以 ∠FGB1=90°，即異面直線 A1E 與 GF 所成的角為 90°． 7. D 8. C 9. D 【解析】設上下底面的中心分別為 O1，O，則 O1O 與平面 ACD1 所成角就是 BB1 與平面 ACD1 所成角 cos∠O1OD1=O1OOD1=63． 10. C 【解析】如圖，連接 AC 交 BD 于點 O，連接 A1O，O 為 BD 中點， 因為 A1D=A1B，所以在 △A1BD 中，A1O⊥BD． 又因為在正方形 ABCD 中，AC⊥BD． 所以 ∠A1OA 為二面角 A1?BD?A 的平面角．設 AA1=1，

14、則 AO=22． 所以 tan∠A1OA=122=2． 11. A 【解析】棱長都相等的平行六面體 ABCD?A?B?C?D? 中，∠DAB=∠A?AD=∠A?AB=60°， 則四面體 A?BDA 為正四面體． 取 BD 的中點 E，連接 AE，A?E，設四面體的棱長為 2，則 AE=A?E=3 且 AE⊥BD，A?E⊥BD，則 ∠AEA? 即為側面與底面所成二面角的平面角， 在 △AA?E 中，cos∠AEA?=AE2+A?E2?A?A22AE?A?E=13 故正四面體側面與底面所成二面角的余弦值是：13． 12. D 13. A 【解析】如圖： 由

15、正四面體的性質可知，點 A 在底面上的射影為底面的中心， 且 AO，EO，AE 構成直角三角形，AB=2， 所以 AE=1，OE=23?32=33， 所以 AO=63． 14. D 【解析】如圖所示為四棱柱 ABCD?A1B1C1D1， 則題意知 BK=1，CL=2，DM=3， 所以如圖所示建立空間直角坐標系， 則 A1,0,0，K1,1,1，L0,1,2，M0,0,3， 所以 AK=0,1,1，LM=0,?1,1， 所以 AK?LM=?1+1=0， 所以 AK⊥LM，則異面直線 AK 和 LM 所成角的大小為 90°． 15. 45°，90° 【解析

16、】① 在正方體 ABCD?A?B?C?D? 中，AB⊥平面AD?， 所以 AB⊥AD?，AB⊥AD， 因此 ∠D?AD 為二面角 D??AB?D 的平面角， 在 Rt△D?DA 中，∠D?AD=45°， 所以二面角 D??AB?D 的大小為 45°． ② 因為 AB⊥平面AD?， 所以 AB⊥AD，AB⊥AA?， 因此 ∠A?AD 為二面角 A??AB?D 的平面角， 又 ∠A?AD=90°， 所以二面角 A??AB?D 的大小為 90°． 16. （1） 連接 AC， 由正方體的幾何特征，得 AC⊥BD， AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

17、所以 AA1⊥BD， 又 AA1∩AC=A， 所以 BD⊥平面AA1C1C． ??????（2） A1B 與平面 ABCD 所成的角為 ∠A1BA， A1P 與平面 ABCD 所成的角為 ∠A1PA， 所以 tan∠A1BA=tan∠A1PA， 即 A1AAB=A1AAP， 所以 AB=AP， 所以點 P 的軌跡為，以 A 為圓心 AB 為半徑的圓的 14， 所以點 P 的軌跡長度為 14×2π×1=π2． 17. （1） 如圖所示， 設 AB=1，可得 AD=2，AA1=4，CF=1，CE=12， 連接 B1C，BC1，設 B1C 與 BC1 交于點 M，易知

18、A1D∥B1C． 由 CECB=CFCC1=14，可知 EF∥BC1． 故 ∠BMC 是異面直線 EF 與 A1D 所成的角， 易知 BM=CM=12B1C=5， 所以 cos∠BMC=BM2+CM2?BC22?BM?CM=35． 所以異面直線 EF 與 A1D 所成角的余弦值為 35． ??????（2） 連接 AC，設 AC 與 DE 交于點 N． 因為 CDBC=ECAB=12， 所以 Rt△DCE∽Rt△CBA． 從而 ∠CDE=∠BCA， 又由于 ∠CDE+∠CED=90°， 所以 ∠BCA+∠CED=90°，故 AC⊥DE， 又因為 CC1⊥DE 且 CC1

19、∩AC=C， 所以 DE⊥平面ACF，從而 AF⊥DE． 連接 BF，同理可證 B1C⊥平面ABF，從而 AF⊥B1C，所以 AF⊥A1D． 因為 DE∩A1D=D，所以 AF⊥平面A1ED． ??????（3） 連接 A1N，F(xiàn)N，由（2）可知 DE⊥平面ACF， 又 NF?平面ACF，A1N?平面ACF， 所以 DE⊥NF，DE⊥A1N， 故 ∠A1NF 為二面角 A1?ED?F 的平面角． 易知 Rt△CNE∽Rt△CBA，所以 CNCB=ECAC． 又 AC=5，所以 CN=55． 在 Rt△CNF 中，NF=CF2+CN2=305， 在 Rt△A1AN 中，A1

20、N=AN2+A1A2=4305． 連接 A1C1，A1F，在 Rt△A1C1F 中，A1F=A1C12+C1F2=14 在 △A1NF 中，cos∠A1NF=A1N2+FN2?A1F22?A1N?FN=23． 所以 sin∠A1NF=53． 18. 如圖，在平面 α 內，過 O 作 OD⊥BC，垂足為 D，連接 AD． 因為 AO⊥α，BC?α， 所以 AO⊥BC． 又因為 OD⊥BC，AO?OD=O， 所以 BC⊥平面AOD． 而 AD?平面AOD， 所以 AD⊥BC． 所以 ∠ADO 是二面角 A?BC?O 的平面角． 由 AO⊥α，OB?α，OC?α，知

21、AO⊥OB，AO⊥OC． 又 ∠ABO=30°，∠ACO=45°， 所以設 AO=a，則 AC=2a，AB=2a． 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， 所以 BC=AC2+AB2=6a， 所以 AD=AB?ACBC=2a?2a6a=233a． 在 Rt△AOD 中，sin∠ADO=AOAD=a233a=32． 所以 ∠ADO=60°． 即二面角 A?BC?O 的大小是 60°． 19. （1） 取 BD 的中點 E，連接 PE，CE， 因為 ABCD 為菱形， 所以 BD⊥PE，BD⊥CE， 因為 PE，CE?面PEC，且 PE∩CE=E， 所以 BD⊥面P

22、EC， 又 PC? 面 PEC， 所以 BD⊥PC． ??????（2） 過點 P 作 PO⊥EC 于 O， 由（1）可知，PO⊥BD， 所以 PO⊥面BCD，即點 P 在面 BCD 上的投影為點 O， 所以 ∠PCE 為直線 PC 與面 BCD 所成角， 因為 BD⊥PE，BD⊥CE， 所以 ∠PEC 為二面角 P?BD?C 的平面角，即 ∠PEC=60°， 又因為 PE=CE， 所以 △PEC 為等邊三角形，∠PCE=60°， 故直線 PC 與平面 BCD 所成角為 60°． 20. （1） 因為 PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以 PD⊥BC， 因

23、為 ∠BCD=90°， 所以 BC⊥CD， 因為 PD∩CD=D， 所以 BC⊥平面PDC， 因為 PC?平面PCD， 所以 BC⊥PC． ??????（2） 設點 A 到平面 PBC 的距離為 h， 因為 PD⊥平面ABCD，PD 為三棱錐 P?ABC 的高， PD=DC=BC=2，PC=PD2+CD2=2， 由 VA?PBC=VP?ABC，得 13S△PBC?h=13S△ABC?PD， 即 13×12×2×2×h=13×12×22×2×2，解得 h=2， 所以點 A 到平面 PBC 的距離為 2． 21. （1） 如圖，設 BD 與 AC 的交點為 O，連接 EO

24、． 因為四邊形 ABCD 為矩形， 所以 O 為 BD 的中點． 又 E 為 PD 的中點， 所以 EO∥PB． 又因為 EO?平面AEC，PB?平面AEC， 所以 PB∥平面AEC． ??????（2） 因為 VP?ABD=13×12×PA×AB×AD=36AB=34， 所以 AB=32． 過點 A 作 AH⊥PB，交 PB 于點 H． 由題設知 BC⊥平面PAB， 所以 BC⊥AH． 因為 PB∩BC=B， 所以 AH⊥平面PBC． 又 AH=PA×ABPB=31313， 所以點 A 到平面 PBC 的距離為 31313． 22. （1） 因為在正四

25、棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中，A1A⊥平面ABCD，A 是垂足， 所以 ∠A1CA 是 A1C 與平面 ABCD 所成的角， 設 AB=1，又正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中，∠B1AB=60°， 所以 AB1=2，BB1=3=AA1，AC=1+1=2， 所以 tan∠A1CA=AA1AC=32=62， 所以 ∠A1CA=arctan62， 所以 A1C 與平面 ABCD 所成的角的大小為 arctan62． ??????（2） 解一：如圖所示：連接 AC， 因為 A1C1∥AC， 所以 ∠B1CA 是異面直線 B1C 與 A1C1 所成角， 因為 AB

26、1=B1C=2，AC=2， 所以 cos∠B1CA=B1C2+AC2?AB122B1C?AC=4+2?42×2×2=24， 所以 ∠B1CA=arccos24， 所以異面直線 B1C 與 A1C1 所成角的大小的大小為 arccos24． 23. （1） 在正方形 ADEF 中，ED⊥AD， 又因為 平面ADEF⊥平面ABCD，且 平面ADEF∩平面ABCD=AD， 所以 ED⊥平面ABCD，可得 ED⊥BC， 在直角梯形 ABCD 中，AB=AD=1，CD=2，可得 BC=2， 在 △BCD 中，BD=BC=2，CD=2， 所以 BD2+BC2=CD2， 所以 BC⊥BD

27、，ED∩BD=D， 所以 BC⊥平面DBE． ??????（2） 因為 BC?平面BCE， 所以 平面BDE⊥平面BEC， 過點 D 作 EB 的垂線交 EB 于點 G，則 DG⊥平面BEC， 所以點 D 到平面 BEC 的距離等于線段 DG 的長度． 在直角三角形 BDE 中，S△BDE=12BD?DE=12BE?DG． 所以 DG=BD?DEBE=23=63， 所以點 D 到平面 BEC 的距離等于 63． 24. （1） 設 PB 的中點為 G，連接 MG，GC， 因為 M，G 分別是 AP，PB 的中點， 所以 MG∥AB，且 MG=12AB， 由已知得 C

28、N=12AB，且 CN∥AB， 所以 MG∥CN，且 MG=CN， 所以四邊形 MGCN 是平行四邊形， 所以 MN∥GC， 因為 MN?平面PBC，CG?平面PBC， 所以 MN∥平面PBC． ??????（2） 設點 M 到平面 PBC 的距離為 h， 由 MN∥平面PBC，得點 N 到平面 PBC 的距離為 h， 連接 BD，BN，PN， 因為 PD⊥平面ABCD， 所以 PD⊥BD， 由題設得 PD=3， S△BCN=38，VP?BCN=13×S△BCN×PD=18， 在 △PBC 中，由已知得 PC=2，PB=2，BC=1，S△PBC=154， 所以 VN?PBC=13×S△PBC×h=15h12， 由 VP?BCN=VN?PBC，得 h=1510， 所以點 M 到平面 PBC 的距離為 1510． 第16頁（共16 頁）