2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第52講 橢圓的幾何性質(zhì)（含解析）

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1、第 1頁（共 12 頁）2023 屆大一輪復(fù)習(xí)屆大一輪復(fù)習(xí) 第第 52 講講 橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)一、選擇題（共一、選擇題（共 8 8 小題）小題）1.橢圓?與?的關(guān)系是?A.有相等的長軸和短軸B.有相等的焦距C.有相同的焦點(diǎn)D.有相同的頂點(diǎn)2.直線?與橢圓?的位置關(guān)系為?A.相交B.相切C.相離D.不確定3.已知橢圓的方程為?，則橢圓的長軸長為?A.?B.?C.?D.?4.已知?為橢圓?上一點(diǎn)，?，?為橢圓的焦點(diǎn)，且?，?，則橢圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程為?A.?B.?或?C.?D.?或?5.橢圓?的焦點(diǎn)?，?，?為橢圓上一點(diǎn)，已知?，則?的面積為?A.?B.?C.?D.?6.已知?為坐標(biāo)原點(diǎn)，

2、?是橢圓?t?t?的左焦點(diǎn)，?，?分別為?的左、右頂點(diǎn)，?為?上一點(diǎn)，且?軸過點(diǎn)?的直線?與線段?交于點(diǎn)?，與?軸交于點(diǎn)?若直線?經(jīng)過?的中點(diǎn)，則?的離心率為?A.?B.?C.?D.?7.已知圓?的半徑為?，圓心在?軸的正半軸上，直線?與圓?相切，則圓?的方程為?A.?B.?C.?D.?8.如圖，已知?，?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以?為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)?，?若過點(diǎn)?的直線?是圓?的切線，則橢圓的離心率為?第 2頁（共 12 頁）A.?B.?C.?D.?二、填空題（共二、填空題（共 9 9 小題）小題）9.設(shè)?是橢圓?的長軸，點(diǎn)?在?上，且?，若?，?，則?的兩個(gè)焦

3、點(diǎn)之間的距離為10.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為?，且長軸長是短軸長的?倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為11.已知橢圓?的焦點(diǎn)在?軸上，焦距為?，直線?：?與橢圓?交于?，?兩點(diǎn)，?是左焦點(diǎn)，且?，那么橢圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程是12.橢圓?t?t?的右焦點(diǎn)與拋物線?的焦點(diǎn)?重合，點(diǎn)?是橢圓?和拋物線?的一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)?滿足?，則?的離心率為13.已知橢圓?t?t?，?，?，斜率為?的直線與?相交于?，?兩點(diǎn)，若直線?平分線段?，則?的離心率等于14.設(shè)橢圓?t?t?的兩個(gè)頂點(diǎn)?，?，?點(diǎn)是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，則四邊形?的面積最大值為15.在平面上給定相異兩點(diǎn)?，?，設(shè)?點(diǎn)在同一平面上且滿足?，當(dāng)?t?

4、且?時(shí)，?點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅斯圓現(xiàn)有橢圓?t?t?，?，?為橢圓的長軸端點(diǎn)，?，?為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)?滿足?，?面積最大值為?，?面積最小值為?，則橢圓離心率為16.已知橢圓?的左、右焦點(diǎn)分別是?，?，?是?上的點(diǎn)，若?，則?的值為17.已知橢圓?：?t?t?的右頂點(diǎn)為?，經(jīng)過原點(diǎn)的直線?交橢圓?于?，?兩點(diǎn)，若?，?，則橢圓?的離心率為第 3頁（共 12 頁）三、解答題（共三、解答題（共 9 9 小題）小題）18.橢圓?的長軸上的一個(gè)頂點(diǎn)為?，以?為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于此橢圓的等腰直角三角形，求這個(gè)三角形的面積19.已知橢圓

5、?：?t?t?的左、右焦點(diǎn)分別為?，?，點(diǎn)?為橢圓?上一點(diǎn)，?，?，?（1）求橢圓?的方程（2）求點(diǎn)?的坐標(biāo)20.已知橢圓?：?t?t?的離心率為?，點(diǎn)?為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)?為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)?為橢圓的左焦點(diǎn)，且?的面積是?（1）求橢圓?的方程；（2）設(shè)直線?彋?與橢圓?交于?，?兩點(diǎn)，點(diǎn)?關(guān)于?軸的對稱點(diǎn)為?（?與?不重合），則直線?與?軸交于點(diǎn)?，求?面積的取值范圍21.已知橢圓?，?為左焦點(diǎn)，?為直線?上一動(dòng)點(diǎn)，?為線段?與?的交點(diǎn)，定義：?（1）若點(diǎn)?的縱坐標(biāo)為?，求?；（2）證明：存在常數(shù) 彋，?，使得 彋?22.已知?的頂點(diǎn)?，?在橢圓?上，?在直線?上，且?（1）當(dāng)?邊通過坐標(biāo)原

6、點(diǎn)?時(shí)，求?的長及?的面積；（2）當(dāng)?，且斜邊?的長最大時(shí)，求?所在直線的方程23.設(shè)橢圓?t?t?，已知橢圓的短軸長為?，離心率為?求橢圓的方程24.已知直線?過坐標(biāo)原點(diǎn)?且與圓?相交于?，?兩點(diǎn)，圓?過點(diǎn)?，?且與直線?相切（1）求圓心?的軌跡?的方程；（2）若圓心在?軸正半軸上面積等于?的圓?與曲線?有且僅有?個(gè)公共點(diǎn)求出圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知斜率等于?的直線?，交曲線?于?，?兩點(diǎn)，交圓?于?，?兩點(diǎn)，求?的最小值及此時(shí)直線?的方程25.已知橢圓?，?為左焦點(diǎn)，?為直線?上一動(dòng)點(diǎn)，?為線段?與?的交點(diǎn)，定義?（1）若點(diǎn)?的縱坐標(biāo)為?，求?（2）證明：存在常數(shù) 彋，?，使得 彋?26.如圖

7、，已知橢圓?t?t?的左、右焦點(diǎn)為?，?，?是橢圓上一點(diǎn)，?在?上，且滿足?t?，?，?為坐標(biāo)原點(diǎn)第 4頁（共 12 頁）（1）若橢圓方程為?，且?，求點(diǎn)?的橫坐標(biāo)（2）若?，求橢圓離心率?的取值范圍第 5頁（共 12 頁）答案答案1.B2.A【解析】由于直線?過定點(diǎn)?，又?在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交3.B【解析】因?yàn)闄E圓方程為?，所以?，所以?，長軸為?，所以?4.B【解析】因?yàn)?，所以?t?，所以 t?，又因?yàn)?，所以?，所以?，?t?，所以橢圓方程為?或?5.A6.A【解析】?，?t?t，?，?t?t?，?中點(diǎn)?，?t?t?，t?7.D【解析】設(shè)圓心為?t?，由題意知圓心到直線?的距離

8、?，解得?，所以圓心坐標(biāo)為?，則圓?的方程為：?，化簡得?8.A【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)?的直線?是圓?的切線，?t，?t，所以?t由橢圓定義可得?t?t?，可得橢圓離心率?t?第 6頁（共 12 頁）9.?【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：?，由題意知?，?因?yàn)?，?，所以點(diǎn)?因?yàn)辄c(diǎn)?在橢圓上，所以?，所以?所以 t?所以 t?則橢圓?的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為?10.?11.?【解析】由題意，設(shè)橢圓方程為?，?，?因?yàn)?，所以?，即?，化簡得?將?代入橢圓方程并化簡，得?，所以?，由此可得?，解得?或?因?yàn)?t t?，所以?，故橢圓?的方程為?12.?【解析】設(shè)?，由已知得?，?，所以?，?，因?yàn)?，所以?，

9、所以?，由?解得?又點(diǎn)?在橢圓?上，所以?，因?yàn)?，所以?所以?t?，又?，所以?13.?【解析】設(shè)?，?，則?，?，第 7頁（共 12 頁）故?，即?，因?yàn)?為?的中點(diǎn)，故?，即?，所以?t?，即t?，故?14.?【解析】設(shè)?h，則?h?，?h 根據(jù)典型不等式彋?，得?h?h?，即?h?15.?【解析】依題意?，?，設(shè)?，依題意得?，?，兩邊平方化簡得?，故圓心為?，半徑?所以?的最大面積為?，解得?的最小面積為?，解得?故橢圓離心率為?16.?17.?【解析】不妨設(shè)點(diǎn)?在第一象限，?為坐標(biāo)原點(diǎn)，由對稱性可得?，因?yàn)?，所以在 Rt?中，cos?，故?，易得?，代入橢圓方程得?，故?t?，所

10、以橢圓?的離心率?18.由橢圓的對稱性，過點(diǎn)?作傾斜角為?的直線?，交橢圓于點(diǎn)?，所以?19.（1）?，所以?，第 8頁（共 12 頁）在?中，由余弦定理可得?cos?，所以?t?，所以 t?，?t?故橢圓的方程為?（2）設(shè)點(diǎn)?彋?，由題意可知 彋 t?，?sin?t?所以?將點(diǎn)?的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得彋?，解得 彋?，故點(diǎn)?或?20.（1）由題意可得?t?，?，?，t?，?t?，?t?，得?，?，橢圓?：?（2）設(shè)?，?，?，由?彋?得 彋?彋?彋?，顯然?t?，由韋達(dá)定理有：?彋彋?，?彋?；直線?的方程為：?，令?，則?，又?彋?，?彋?，則?彋?彋?彋?，所以直線?與?軸交點(diǎn)?；?彋

11、?彋?，令?彋?t?，?，?面積的取值范圍：?21.（1）由題意，左焦點(diǎn)?的坐標(biāo)為?，直線?的方程為?由?的坐標(biāo)?為方程組?的實(shí)數(shù)解，得?的坐標(biāo)為?第 9頁（共 12 頁）因此，?（2）由題意，左焦點(diǎn)?的坐標(biāo)為?當(dāng)點(diǎn)?不在?軸上時(shí)，過?作?軸的垂線，垂足為?，設(shè)直線?與?軸的交點(diǎn)為?，?的坐標(biāo)為?彋?，即?彋?彋?由?為線段?與?的交點(diǎn)，得點(diǎn)?的坐標(biāo)?滿足方程?，即?于是?又?t?，故?于是?彋?彋?彋?故存在常數(shù) 彋?，?，使得 彋?22.（1）因?yàn)?，且?邊通過點(diǎn)?，所以?所在直線的方程為?設(shè)?，?兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為?，?，由?得?，所以?原點(diǎn)到直線?的距離?，所以?（2）設(shè)?所在直線的方程為

12、?彋，由?彋得?彋?彋?因?yàn)?，?在橢圓上，所以?彋?t?設(shè)?，?兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為?，?，則?彋?，?彋?，所以?彋?又因?yàn)?的長等于點(diǎn)?彋 到直線?的距離，第 10頁（共 12 頁）即?彋?所以?彋?彋?彋?所以當(dāng) 彋?時(shí)，?邊最長，此時(shí)?所在直線的方程為?23.設(shè)橢圓的半焦距為 t，依題意，?，t?，又?t?，可得?，?，t?所以，橢圓的方程為?24.（1）設(shè)?，由題意得，?，所以?，因?yàn)閳A?的半徑為?，?，所以?，化簡得圓心?的軌跡?的方程為?（2）由（?）知，曲線?為?，設(shè)?，則?，設(shè)圓?與曲線?的公共點(diǎn)為?t?，則曲線?在?點(diǎn)處的切線?的斜率?，由題意，直線?與圓?相切于?點(diǎn)，設(shè)圓?的

13、標(biāo)準(zhǔn)方程為?t?，則直線?的斜率?，因?yàn)?，所以?，即?，又因?yàn)?，所以?，所以?，令?，則?，所以?，即?，所以?，所以?，?，從而圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程為?設(shè)?，?，直線?彋，由?彋?得?彋?，所以?，?彋，第 11頁（共 12 頁）所以?彋，又因?yàn)?彋?彋?彋?所以?彋?彋?彋?彋?彋?彋?，由于?與曲線?，圓?均有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以?彋 t?彋?解得?彋?，令?彋?t?，則?，當(dāng)且僅當(dāng)?，即?，即 彋?時(shí)取等號所以當(dāng) 彋?時(shí)，?的最小值為?，此時(shí)直線?的方程為?25.（1）因?yàn)闄E圓?，?為左焦點(diǎn)，所以?，又?，所以直線?的斜率為?，所以直線?的方程為?，聯(lián)立方程組可得?得?，解得?或?（舍）

14、，所以?的橫坐標(biāo)為?，則?（2）設(shè)?，其中?t?，則?，又直線?的方程為?，聯(lián)立方程組?可得?，所以?，化簡可得?，第 12頁（共 12 頁）所以?，所以 彋?，可得?彋?，所以?彋?，故當(dāng)給定?的值時(shí)，彋，?之間符合一次函數(shù)的關(guān)系，所以存在常數(shù) 彋，?使得 彋?26.（1）因?yàn)?，所以?，?所以?，?，?所以直線?的方程為?，直線?的方程為?聯(lián)立?，解得?所以點(diǎn)?的橫坐標(biāo)為?（2）設(shè)?，?因?yàn)?，所以?t?t?，所以點(diǎn)?的坐標(biāo)為?t?，?t?因?yàn)?，?，所以?t?，即?t?聯(lián)立?t?，消去?得 t?t?t?，解得?tt或?tt因?yàn)?，所以?ttt?，所以?t?t，解得?t?綜上，橢圓離心率?的取值范圍是?