2023屆大一輪復習 第46講 直線的方程（含答案）

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1、2023屆大一輪復習 第46講 直線的方程 一、選擇題（共6小題） 1. 若直線 ax+by+c=0 通過第一、二、三象限，則 ?? A. ab>0，bc>0 B. ab>0，bc<0 C. ab<0，bc>0 D. ab<0，bc<0 2. 下列四條直線，傾斜角最大的是 ?? A. y=?x+1 B. y=x+1 C. y=2x+1 D. x=1 3. 已知直線 l 上兩點 A?4,1 與 Bx,?3，且直線 l 的傾斜角為 135°，則 x 的值是 ?? A. ?8 B. ?4 C. 0 D. 8 4. 下列敘述不正確的是 ?? A

2、. 平面直角坐標系內的任意一條直線都有傾斜角和斜率 B. 直線傾斜角的范圍是 0°≤α<180° C. 若一條直線的傾斜角為 αα≠90°，則此直線的斜率為 tanα D. 與坐標軸垂直的直線的傾斜角是 0° 或 90° 5. 如果直線 l 過點 P1,3，且不經過第四象限，那么直線 l 的斜率的取值范圍是 ?? A. 0,3 B. 0,1 C. 0,13 D. ?13,0 6. 設直線 l 過坐標原點，它的傾斜角為 α，如果將 l 繞坐標原點按逆時針方向旋轉 45°，得到直線 l1，那么 l1 的傾斜角為 ?? A. α+45° B. α?135°

3、 C. 135°?α D. 當 0°≤α<135° 時，傾斜角為 α+45°；當 135°≤α<180° 時，傾斜角為 α?135° 二、多選題（共2小題） 7. 若直線過點 A1,2，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線 l 方程可能為 ?? A. x?y+1=0 B. x+y?3=0 C. 2x?y=0 D. x?y?1=0 8. 經過點 B3,4，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程為 ?? A. x?y+1=0 B. x+y?7=0 C. 2x?y?2=0 D. 2x+y?10=0 三、填空題（共7小題） 9. 過點

4、0,3，且在兩坐標軸上截距之和等于 5 的直線方程是 ?． 10. 直線 l 過點 A0,1 和 B?2,3，直線 l 繞點 A 順時針旋轉 90° 得直線 l1，那么 l1 的斜率是 ?；直線 l 繞點 B 逆時針旋轉 15° 得直線 l2，則 l2 的斜率是 ?． 11. 已知點 A1,2，若在坐標軸上有一點 P，使直線 PA 的傾斜角為 135°，則點 P 的坐標為 ?． 12. 在直線方程 y=kx+b 中，當 x∈?3,4 時，y∈?8,13，

5、則此直線的方程為 ?． 13. 過點 M?3,5 且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為 ?． 14. 設 P 為 x 軸上的一點，A?3,8，B2,14，若 PA 的斜率是 PB 的斜率的兩倍，則點 P 的坐標為 ?． 15. 已知點 M 是直線 l：y=3x+3 與 x 軸的交點，將直線 l 繞點 M 旋轉 30°，所得到的直線 l? 的方程為 ?． 四、解答題（共6小題） 16. 根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程

6、： （1）斜率為 3，且經過點 A5,3； （2）過點 B?3,0，且垂直于 x 軸； （3）斜率為 4，在 y 軸上的截距為 ?2； （4）在 y 軸上的截距為 3，且平行于 x 軸； （5）經過 C?1,5，D2,?1 兩點； （6）在 x 軸、 y 軸上的截距分別是 ?3,?1． 17. 已知直線 l 過點 M1,1，且與 x 軸，y 軸的正半軸分別相交于 A，B 兩點，O 為坐標原點． （1）當 OA+OB 取得最小值時，求直線 l 的方程； （2）當 MA2+MB2 取得最小值時，求直線 l 的方程． 18. 已知直線 l:5ax?5y?a+3=0

7、． （1）求證：不論 a 為何值時，直線 l 總經過第一象限 （2）為使直線 l 不經過第二象限，求 a 的取值范圍． 19. 過點 3,2 的直線 l 與 x 軸的正半軸，y 軸的正半軸分別交于 A，B 兩點，當 △AOB 的面積最小時，求直線 l 的方程及 △AOB 面積． 20. 已知直線 l：kx?y+1+2k=0k∈R． （1）證明：直線 l 過定點； （2）若直線 l 不經過第四象限，求 k 的取值范圍； （3）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，O 為坐標原點，設 △AOB 的面積為 S，求 S 的最小值及此時直線 l 的

8、方程． 21. 已知直線 l：kx?y+1+2k=0k∈R． （1）證明：直線 l 過定點． （2）若直線 l 不經過第四象限，求 k 的取值范圍． （3）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，O 為坐標原點，設 △AOB 的面積為 S，求 S 的最小值及此時直線 l 的方程． 答案 1. D 【解析】因為直線通過第一、二、三象限，所以 a，b 均不為 0，由 ax+by+c=0，得 y=?abx?cb，且 ?ab>0，?cb>0．所以 a 與 b 異號，b 與 c 異號，即 ab<0，bc<0． 2. A 【解析】設傾斜角為 α

9、 .則直線的斜率 k=tanα,α∈0,π,α≠π2． 所以當 k>0 時，0<α<π2．當 k<0 時，α>π2 . 所以直線 y=?x+1 的傾斜角最大. 3. C 4. A 5. A 【解析】如圖，P1,3，O0,0，由題意知直線 l 的斜率介于 kOP=3 和 k=0 之間． 6. D 【解析】根據題意，畫出圖形，如圖所示： 因為 0°≤α<180°，顯然A，B，C 未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖（如圖所示）可知： 當 0°≤α<135°,l1 的傾斜角為 α+45°； 當 135°≤α<180° 時，l1 的傾斜角為 45°+α?180

10、°=α?135°．故選D． 7. A， B， C 【解析】當直線經過原點時，斜率為 k=2?01?0=2，所求的直線方程為 y=2x，即 2x?y=0；當直線不過原點時，設所求的直線方程為 x±y=k，把點 A1,2 代入可得 1?2=k 或 1+2=k，求得 k=?1 或 k=3，故所求的直線方程為 x?y+1=0 或 x+y?3=0；綜上知，所求的直線方程為 2x?y=0，x?y+1=0 或 x+y?3=0．故選A、B、C． 8. A， B 【解析】由題意可知，所求直線的斜率為 ±1．又過點 3,4，由點斜式得 y?4=±x?3．所求直線的方程為 x?y+1=0 或 x

11、+y?7=0． 9. 3x+2y?6=0 【解析】設直線方程為 xa+yb=1，則 b=3,a+b=5, 解得 a=2,b=3，則直線方程為 x2+y3=1，即 3x+2y?6=0． 10. 1，?33 【解析】因為 kAB=?1，所以直線 l 的傾斜角 α=135°．（1）因為 l1 與 l 垂直，所以 kl1=1． （2）因為 ∠ABC=15°,∠CDB=135°，所以 ∠β=135°+15°=150°，所以 kl2=tan150°=tan180°?30°=?tan30°=?33． 11. 3,0 或 0,3 【解析】由題意易知 kPA=?1， 設 P 點

12、在 x 軸上時的坐標為 m,0，在 y 軸上時的坐標為點 0,n， 由 0?2m?1=n?20?1=?1，得 m=n=3． 12. y=3x+1 或 y=?3x+4 【解析】由一次函數(shù)單調性可知： 當 k>0 時，函數(shù)為增函數(shù)， 所以 ?3k+b=?8,4k+b=13, 解得 k=3,b=1. 當 k<0 時，函數(shù)為減函數(shù)， 所以 4k+b=?8,?3k+b=13, 解得 k=?3,b=4. 所以直線方程為 y=3x+1 或 y=?3x+4． 13. y=?53x 或 x?y+8=0 【解析】① 當過原點時，直線方程為 y=?53x；② 當不過原點時，設直線方程為

13、xa+y?a=1，即 x?y=a．代入點 ?3,5，得 a=?8．即直線方程為 x?y+8=0． 14. ?5,0 【解析】設 Px,0 為滿足題意的點，則 kPA=8?3?x,kPB=142?x，于是 8?3?x=2×142?x，解得 x=?5． 15. x+3=0 或 y=33x+3 【解析】在 y=3x+3 中，令 y=0，得 x=?3，即 M?3,0．因為直線 l 的斜率為 3，所以其傾斜角為 60°．若直線 l 繞點 M 逆時針旋轉 30°，則得到的直線 l? 的傾斜角為 90°，此時直線 l? 的斜率不存在，故其方程為 x+3=0；若直線 l 繞點 M 順時針旋轉 30

14、°，則得到的直線 l? 的傾斜角為 30°，此時直線 l? 的斜率為 tan30°=33，故其方程為 y=33x+3．綜上所述，所求直線 l? 的方程為 x+3=0 或 y=33x+3． 16. （1） 由點斜式方程得 y?3=3x?5，即 3x?y+3?53=0． ??????（2） x=?3，即 x+3=0． ??????（3） y=4x?2，即 4x?y?2=0． ??????（4） y=3，即 y?3=0． ??????（5） 由兩點式方程得 ?y?5?1?5=x??12??1，即 2x+y?3=0． ??????（6） 由截距式方程得 x?3+y?1=1，即 x+

15、3y+3=0． 17. （1） 設 Aa,0，B0,b（a>0，b>0）． 設直線 l 的方程為 xa+yb=1， 則 1a+1b=1， 所以 OA+OB=a+b=a+b1a+1b=2+ab+ba≥2+2ab?ba=4， 當且僅當 a=b=2 時取等號， 此時直線 l 的方程為 x+y?2=0． ??????（2） 設直線 l 的斜率為 k，則 k<0， 直線 l 的方程為 y?1=kx?1， 則 A1?1k,0，B0,1?k， 所以 MA2+MB2=1?1+1k2+12+12+1?1+k2=2+k2+1k2≥2+2k2?1k2=4, 當且僅當 k2=1k2， 即

16、 k=?1 時，MA2+MB2 取得最小值 4， 此時直線 l 的方程為 x+y?2=0． 18. （1） 由于 l 可化為：5y?3=5ax?a，即 5y?35=5ax?15， 所以 y?35=ax?15． 故直線 l 恒過定點 15,35，又點 15,35 在第一象限，故直線 l 總經過第一象限． ??????（2） 原式可化為 y=ax+3?a5，由于直線不經過第二象限所以 a≥0,3?a5≤0, 解得 a≥3． 19. 設 Aa,0，B0,b，則直線 l 的方程為：xa+yb=1． 把點 P3,2 代入可得：3a+2b=1a,b>0． 所以 1≥23a?2b，化為 a

17、b≥24，當且僅當 a=6，b=4 時取等號． 所以 S△AOB=12ab≥12，l 的方程為：x6+y4=1， 即 x=4?32y． 20. （1） 直線 l 的方程可化為 y=kx+2+1，故無論 k 取何值，直線 l 總過定點 ?2,1． ??????（2） 直線 l 的方程可化為 y=kx+2k+1， 則直線 l 在 y 軸上的截距為 2k+1， 要使直線 l 不經過第四象限，則 k≥0,1+2k≥0, 故 k 的取值范圍是 k≥0． ??????（3） 依題意，直線 l 在 x 軸上的截距為 ?1+2kk， 在 y 軸上的截距為 1+2k，且 k>0， 所以 A

18、?1+2kk,0，B0,1+2k， 故 S=12∣OA∣∣OB∣=12×1+2kk×1+2k=124k+1k+4≥12×4+4=4， 當且僅當 4k=1k，即 k=12 時取等號， 故 S 的最小值為 4，此時直線 l 的方程為 x?2y+4=0． 21. （1） 直線 l 的方程可化為 y=kx+2+1， 故無論 k 取何值，直線 l 總過定點 ?2,1． ??????（2） 直線 l 的方程為 y=kx+2k+1，則直線 l 在 y 軸上的截距為 2k+1， 要使直線 l 不經過第四象限，則 k≥0,1+2k≥0, 解得 k≥0， 故 k 的取值范圍是 0,+∞． ??????（3） 依題意，直線 l 在 x 軸上的截距為 ?1+2kk，在 y 軸上的截距為 1+2k， 所以 A?1+2kk,0，B0,1+2k． 又 ?1+2kk<0 且 1+2k>0， 所以 k>0． 故 S=12∣OA∣∣OB∣=12×1+2kk×1+2k=124k+1k+4≥124+4=4, 當且僅當 4k=1k，即 k=12 時，取等號． 故 S 的最小值為 4，此時直線 l 的方程為 x?2y+4=0． 第6頁（共6 頁）