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1、2023屆大一輪復(fù)習 第51講 橢圓的方程
一、選擇題（共10小題）
1. 橢圓 x2+my2=1 的焦點在 y 軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則 m 的值為 ??
A. 4 B. 12 C. 13 D. 14
2. 已知方程 x2∣m∣?1+y22?m=1 表示焦點在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍是 ??
A. ?∞,2 B. 1,2
C. ?∞,?1∪1,2 D. ?∞,?1∪1,32
3. 設(shè)定點 F10,?3，F(xiàn)20,3，動點 P 滿足條件 PF1+PF2=a+9aa>0，則點 P 的軌跡是 ??
A. 橢圓 B. 線段 C. 不存在
2、 D. 橢圓或線段
4. 已知橢圓 x24+y22=1 上有一點 P，F(xiàn)1，F(xiàn)2 是橢圓的左，右焦點，若 △F1PF2 為直角三角形，則這樣的點 P 有 ??
A. 3 個 B. 4 個 C. 6 個 D. 8 個
5. 設(shè)橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，上頂點為 B，若 ∣BF2∣=∣F1F2∣=2，則該橢圓的方程為 ??
A. x24+y23=1 B. x23+y2=1 C. x22+y2=1 D. x24+y2=1
6. 如圖，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，P 是側(cè)面 BB1C1C 內(nèi)一動點，若 P
3、 到直線 BC 與直線 C1D1 的距離相等，則動點 P 的軌跡所在曲線是 ??
A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線
7. 若方程 x2k?4+y210?k 表示焦點在 x 軸上的橢圓，則實數(shù) k 的取值范圍是 ??
A. 4,+∞ B. 4,7 C. 4,10 D. 7,10
8. 設(shè)橢圓的標準方程為 x2k?3+y25?k=1，若其焦點在 x 軸上，則 k 的取值范圍是 ??
A. k>3 B. 3b>0 的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2
4、，M 為橢圓上一動點，△F1MF2 面積的最大值為 12ab，則橢圓的離心率為 ??
A. 12 B. 1 C. 35 D. 3?1
10. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 和圓 O:x2+y2=b2，過橢圓 C 上一點 P 引圓 O 的兩條切線，切點分別為 A，B．若橢圓上存在點 P，使得 PA?PB=0，則橢圓 C 的離心率 e 的取值范圍是 ??
A. 12,1 B. 0,22 C. 22,1 D. 12,22
二、填空題（共7小題）
11. 平面內(nèi)動點 P 到點 F0,2 的距離和到直線 l:y=?2 的距離相等，則動點 P 的軌跡方程
5、為是 ?．
12. 直線 x?2y+2=0 過橢圓 x2a2+y2b2=1 的左焦點 F1 和一個頂點 B，則橢圓的方程為 ?．
13. 曲線 3x2+ky2=6 表示焦點在 x 軸上的橢圓，則實數(shù) k 的取值范圍是 ?．
14. 已知橢圓 C:x22+y2=1 的兩焦點為 F1，F(xiàn)2，點 Px0,y0 滿足 0
6、 的距離相等，則點 P 的軌跡方程為 ?．
16. 已知 F1，F(xiàn)2 是橢圓 C:x236+y227=1 的兩個焦點，點 P 為橢圓 C 上的點，PF1=8，若 M 為線段 PF1 的中點，則線段 OM 的長為 ?．
17. 在平面直角坐標系中，動點 M 的坐標 x,y 滿足方程 x2+y+22+x2+y?22=6，則點 Mx,y 的軌跡方程為 ?．
三、解答題（共4小題）
18. 已知橢圓的中心在坐標原點，它在 x 軸上的一個焦點 F 與短軸 B1B2 兩端點的連線互相垂直
7、，且點 F 和長軸上較近的端點 A 的距離是 10?5，求此橢圓的方程．
19. 已知橢圓的中心在原點，兩焦點 F1，F(xiàn)2 在 x 軸上，且過點 A?4,3．若 F1A⊥F2A，求橢圓的標準方程．
20. 已知橢圓 x2+m+3y2=mm>0 的離心率 e=32，求實數(shù) m 的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點坐標和頂點坐標．
21. 設(shè)橢圓 x2a2+y2b2a>b>0，已知橢圓的短軸長為 4，離心率為 55．求橢圓的方程．
答案
1. D
【解析】因為橢圓 x2+my2=1 的焦點在 y 軸上，長軸長是短軸長的兩倍，
所以 1m=2×1，解
8、得 m=14．
2. D
【解析】由題意得 ∣m∣?1>0,2?m>0,2?m>∣m∣?1,
即 m>1或m
9、2=a2?c2=4?1=3，所以該橢圓的方程為 x24+y23=1．
6. D
7. D
【解析】由題意可知 k?4>0,10?k>0,k?4>10?k, 解得 75?k>0，
即 2k>8,5?k>0,
所以 k>4,k<5,
所以 4
10、∣OP∣=2b．
所以 ∣OP∣2=2b2≤a2，
所以 a2≤2c2，
所以 e2≥12，
又因為 0
11、y0 一定在橢圓內(nèi)（不包括原點），因為 a=2，b=1，所以由橢圓的定義可知 PF1+PF2<2a=22，當 Px0,y0 與 F1 或 F2 重合時，PF1+PF2=2，又 PF1+PF2≥F1F2=2，故 PF1+PF2 的取值范圍是 2,22．
15. y2=8x
16. 2
17. x29+y25=1
【解析】因為 x2+y+22+x2+y?22=6 的幾何意義為動點 Mx,y 到兩定點 0,?2 和 0,2 的距離和為定長 6，
又因為兩定點距離為 4，且 6>4，
則 2c=4，
所以動點 M 的軌跡是以 0,?2 和 0,2 為焦點，長軸長是 6 的橢圓，
12、則 a=3，c=2，
所以 b2=9?4=5，
所以 M 的軌跡方程為 x29+y25=1．
18. x210+y25=1．
19. 設(shè)所求橢圓的標準方程為 x2a2+y2b2=1a>b>0．
設(shè)焦點 F1?c,0，F(xiàn)2c,0c>0．
因為 F1A⊥F2A，
所以 F2A?F2A=0，
而 F1A=?4+c,3，F(xiàn)2A=?4?c,3，
所以 ?4+c??4?c+32=0，
所以 c2=25，即 c=5．
所以 F1?5,0，F(xiàn)25,0，
所以 2a=∣AF1∣+∣AF2∣=?4+52+32+?4?52+32=10+90=410．
所以 a=210，
所以
13、 b2=a2?c2=2102?52=15．
所以所求橢圓的標準方程為 x240+y215=1．
20. 橢圓方程可化為 x2m+y2mm+3=1，由 m?mm+3=mm+2m+3>0，可知 m>mm+3，
所以 a2=m，b2=mm+3，c=a2?b2=mm+2m+3，
由 e=32，得 m+2m+3=32，
解得 m=1．
故橢圓的標準方程為 x2+y214=1，
則 a=1，b=12，c=32．
所以橢圓的長軸長為 2，短軸長為 1；兩焦點坐標分別為 ?32,0，32,0；四個頂點坐標分別為 ?1,0，1,0，0,?12，0,12．
21. 設(shè)橢圓的半焦距為 c，依題意，2b=4，ca=55，
又 a2=b2+c2，可得 a=5，b=2，c=1．
所以，橢圓的方程為 x25+y24=1．
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2023屆大一輪復(fù)習 第51講 橢圓的方程（含解析）
