2022年高中數(shù)學《復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》教案1新人教A版選修2-2

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1、2022年高中數(shù)學《復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》教案1新人教A版選修2-2 教學目標： 知識與技能：理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算 過程與方法：理解并掌握復數(shù)的除法運算實質是分母實數(shù)化類問題 情感、態(tài)度與價值觀：復數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數(shù)集的擴充的，讓學生體會到這是生產實踐的需要從而讓學生積極主動地建構知識體系。 教學重點：復數(shù)代數(shù)形式的除法運算。 教學難點：對復數(shù)除法法則的運用。 教具準備：多媒體、實物投影儀。 教學設想：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們

2、就說這兩個復數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小 教學過程： 學生探究過程： 1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即　; (2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立 2. 與－1的關系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－ 3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*　 3. 復數(shù)的代數(shù)形式

3、: 復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式 4. 復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0. 5.復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：NZQRC. 6. 兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小　只

4、有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小　 7. 復平面、實軸、虛軸： 點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù) 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數(shù)對為(0，0)， 它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù).故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù) 8．復數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 復數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a

5、-c)+(b-d)i. 10. 復數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1. 11. 復數(shù)的加法運算滿足結合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 講解新課： １．乘法運算規(guī)則： 規(guī)定復數(shù)的乘法按照以下的法則進行： 設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其實就是把兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù). 2.乘法運算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設

6、z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3

7、=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i， 同理可證： z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i， ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+

8、z3)=z1z2+z1z3. 證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a

9、1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1計算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2計算： （1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;

10、 (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù) 通常記復數(shù)的共軛復數(shù)為。 4. 復數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者 5.除法運算規(guī)則： ①設復數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+

11、cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由復數(shù)相等定義可知 解這個方程組，得 于是有:(a+bi)÷(c+di)= i. ②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將的分母有理化得： 原式= . ∴(a+bi)÷(c+di)=. 點評：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復數(shù)c+di與復數(shù)c－di，相當于我們初中學習的的對偶式，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實數(shù).所以可以分母實數(shù)化. 把這種方法叫做分母實數(shù)化法 例3計算 解： 例4計算 解： 例5已

12、知z是虛數(shù)，且z+是實數(shù)，求證：是純虛數(shù). 證明：設z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 z+=a+bi+=a+bi+. ∵z+∈R，∴b－=0. ∵b≠0，∴a2+b2=1. ∴ ∵b≠0，a、b∈R，∴是純虛數(shù) 鞏固練習： 1.設z=3+i,則等于 A.3+i B.3－i　　　C. D. 2.的值是 A.0 B.i　　　　　C.－i D.1 3.已知z1=2－i,z2=1+3i,則復數(shù)的虛部為 A.1 B.－1　　　　　C.i D.－i 4.設 (x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.

13、 答案：1.D 2.A 3.A　　4. , － 課后作業(yè)：課本第112頁 習題3. 2 A組4，5，6 B組1，2 教學反思： 復數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.　復數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項式類似的辦法進行，不必去記公式. 復數(shù)的除法法則是：i(c+di≠0). 兩個復數(shù)相除較簡捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)，再把結果化簡 高考題選 1．（xx年北京卷） ． 2. （xx年湖北卷）復數(shù)z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若是實數(shù)，則有序實數(shù)對（a,b）可以是

14、 .(寫出一個有序實數(shù)對即可) 【答案】：. 【分析】：是實數(shù)，所以，取. 【高考考點】：本題主要考查復數(shù)的基本概念和運算. 【易錯點】：復數(shù)的運算公式不能記錯。 【備考提示】：復數(shù)的基本概念和運算，是高考每年必考的內容，應熟練掌握。 3．（xx年福建卷）復數(shù)等于（ D ） A． B． C． D． 4．（xx年廣東卷）若復數(shù)（1+bi）(2+i)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位，b為實數(shù)），則b= (A) -2 (B) - (C) (D) 2 答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故選B； 5．（xx年湖南

15、卷）復數(shù)等于（ C ） A． B． C． D． 6．（xx年江西卷）化簡的結果是（　Ｃ?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．（xx年全國卷I）設是實數(shù)，且是實數(shù)，則（ B ） A． B． C． D． 8．（xx年全國卷Ⅱ）設復數(shù)滿足，則（ C ） A． B． C． D． 9.（xx年陜西卷）在復平面內，復數(shù)z=對應的點位于（Ｄ） （A）第一象限　?。˙）第二象限　?。–）第在象限?。―）第四象限 10．（xx年四川卷）復數(shù)的值是（　?。? （A）0 （B）1 （C） （D） 解析：選A．． 本題考查復數(shù)的代數(shù)運算． 11．（xx年天津卷）是虛數(shù)單位，（?。谩。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12．（xx年浙江卷）已知復數(shù)，，則復數(shù) ． 13．（xx年上海卷）已知是實系數(shù)一元二次方程的兩根，則的值為 （A） A、 B、 C、 D、 14．（xx年重慶卷）復數(shù)的虛部為______. 15．（xx年安徽卷）若a為實數(shù)，＝-I，則a等于(B) （A） （B）- （C）2 （D）-2 16．（xx年山東卷）若（虛數(shù)單位），則使的值可能是（D） (A) (B) (C) (D) 17．（xx年寧夏卷）是虛數(shù)單位，　　?。ㄓ玫男问奖硎?，）