2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

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1、考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積 一、選擇題 1.（2012·江西高考文科·Ｔ7）若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（ ） A． B.5 C.4 D. 【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積。 【解析】選D.由三視圖可判斷該幾何體為直六棱柱，其底面積為4,高為1,所以體積為4. 2.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ7）與（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ7）相同 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視

2、圖，則此幾何體的體積為（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積。 【解析】選B.由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)=3，相應(yīng)底面面積為. 3.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（ ） B. C. D. 【解題指南】思路一：取AB的中點(diǎn)為將

3、棱錐分割為兩部分，利用求體積；思路二：設(shè)點(diǎn)到面的距離為d,利用求體積； 思路三：利用排除法求解. 【解析】選A 方法一：是球O的直徑， ，，，取AB的中點(diǎn)為，顯然，，平面CDS 在中，，，，利用余弦定理可得 故， + 方法二：的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離 為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為. 方法三：排除. 4.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ8）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（ ） （A）π （B）4π （C）4π （D）6π 【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓

4、的半徑、球的半徑之間滿(mǎn)足勾股關(guān)系求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積。 【解析】選B 設(shè)球O的半徑為R，則，故. 5.（2012·陜西高考文科·Ｔ8）將正方形（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為 （ ） 【解題指南】結(jié)合原正方體，確定兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),和兩條重要線(xiàn)段和的投影. 【解析】選B. 圖2所示的幾何體的左視圖由點(diǎn)A，D，,確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對(duì)角線(xiàn)和是一實(shí)一虛，其中要把和區(qū)別開(kāi)來(lái)，故選B. 6.（2012·浙江高考文科·Ｔ3）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是（ ） A.1c

5、m3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3 【解題指南】由三視圖可知,幾何體底面是兩直角邊分別是1和2的直角三角形,高為3的棱錐. 【解析】選A.三棱錐的體積為: （cm3）. 7.（2012·北京高考文科·Ｔ7）與（2012·北京高考理科·Ｔ7）相同 某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ） 4 2 3 4 側(cè)（左）視圖 俯視圖 正（主）視圖 （A）28+（B）30+（C）56+（D）60+ 【解題指南】由三視圖還原直觀圖，再求表面積. 【解析】選B直觀圖如圖所示， P B

6、 A C H 底面是邊長(zhǎng)AC=5，BC=4的直角三角形，且過(guò)頂點(diǎn)P向底面作垂線(xiàn)PH，垂足在AC上，AH=2，HB=3，PH=4.，.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?所以.所以.在中，，取PA中點(diǎn)E，連結(jié)BE，則，所以.因此三棱錐的表面積為. 8.（2012·湖南高考理科·Ｔ3）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( ) 【解題指南】從俯視圖觀察可知，正視圖和測(cè)試圖不同的是D，正視圖應(yīng)有虛線(xiàn). 【解析】選D. 由“正視圖俯視圖等長(zhǎng)，側(cè)視圖俯視圖等寬”，知本命題正視圖與側(cè)視圖相同，可知選D. 9.（2012·湖南高考文科·Ｔ4）某幾何體的正視圖和側(cè)

7、視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( ) 【解題指南】找出正視圖和側(cè)視圖不相同的俯視圖。 【解析】選C. “正視圖俯視圖等長(zhǎng)，側(cè)視圖俯視圖等寬”，本題正視圖與側(cè)視圖相同，可知選C. 10.（2012·福建高考文科·Ｔ４）與（2012·福建高考理科·Ｔ4）相同 一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是（ ） A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱 【解題指南】通過(guò)了解基本空間幾何體的各個(gè)視圖分別是什么就能直接解題. 【解析】選D. 圓柱的三視圖，分別矩形，矩形，圓，不可能三個(gè)視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視

8、圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形. 11.（2012·廣東高考理科·Ｔ6）某幾何體的三視圖如圖所示， 它的體積為 A．12π B.45π C.57π D.81π 【解題指南】根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵。本題顯然是一個(gè)由同底的圓柱和圓錐組成的組合體。 【解析】選C. 此幾何體是一個(gè)組合體，上方為一個(gè)圓錐，下方為一個(gè)同底的圓柱，所以其體積為. 12.（2012·廣東高考文科·Ｔ7）某幾何的三視圖如圖所示，它的體積為 A.72π B.48π C.30π

9、 D.24π 【解題指南】根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵。顯然本題是一個(gè)由一個(gè)半球和倒立的圓錐組成的組合體。 【解析】選C. 由三視圖可知一個(gè)由一個(gè)半球和倒立的圓錐組成的組合體。 . 13.（2012·湖北高考理科·Ｔ4）已知某幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的體積為( ) A. B.3π C. D.6π 【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確的想象出直觀圖,再補(bǔ)體代入體積公式求解. 【解析】選B. 解答本題可采取補(bǔ)上一個(gè)與它完全相同的幾何體, 二、填空題 14.（2012·湖北高考

10、文科·Ｔ15）已知某幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為　　　　 【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確地想象出直觀圖,再代入體積公式求解. 【解析】由本題的三視圖可知,該幾何體是由三個(gè)圓柱組合而成,其中左右兩個(gè)圓柱等體積.V=π×22×1×2+π×12×4=12π. 【答案】12π. 15.（2012·江蘇高考·Ｔ7）在長(zhǎng)方體中，，則四棱錐的體積為 . 【解題指南】關(guān)鍵是求出四棱錐的高，即A到面的距離.再接利用公式進(jìn)行求解. 【解析】由題意知，四邊形ABCD為正方形，連接AC,交BD于O，則AC⊥BD.由面面垂直的性質(zhì)

11、定理，可證AO⊥面。四棱錐底面的面積為，從而. 【答案】6. 16.（2012·浙江高考理科·Ｔ11）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于________. 【解題指南】由三視圖可知幾何體是一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐，而底面為直角三角形,易由錐體的體積公式可求得. 【解析】三棱錐的體積為: . 【答案】1. 17.（2012·天津高考理科·Ｔ10）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_(kāi)_________. 【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵. 【解析】組合體的上座是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、、1的長(zhǎng)方體，下面

12、是兩個(gè)個(gè)底面半徑為1的相切的球體，所以所求的體積是： . 【答案】. 18.（2012·天津高考文科·Ｔ10）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_(kāi)_________. 【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵. 【解析】組合體的底座是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、2的長(zhǎng)方體，上面是個(gè)平躺著的高為4的四棱臺(tái)，其兩個(gè)底面的面積相等，所以所求的體積是： =6+24=30. 【答案】30. 19. （2012·山東高考理科·Ｔ14）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線(xiàn)段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi)___________. 【解題指南】本題考查利用換頂

13、點(diǎn)法來(lái)求三棱錐的體積，只需知道上的任意一點(diǎn)到面 的距離相等. 【解析】的面積為正方形面積的一半，三棱錐的高即為正方體的棱長(zhǎng)，所以. 【答案】. 20.（（2012·山東高考文科·Ｔ13）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，則三棱錐的體積為＿＿＿＿＿. 【解題指南】本題考查利用換頂點(diǎn)法來(lái)求三棱錐的體積，只需知道上的任意一點(diǎn)到面 的距離相等. 【解析】以△為底面，則易知三棱錐的高為1，故. 【答案】. 21.（2012·安徽高考理科·Ｔ12）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是 【解題指南】根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體

14、的直觀圖. 【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱 幾何體的表面積是. 【答案】. 22.（2012·安徽高考文科·Ｔ12）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_____ . 【解題指南】根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體的直觀圖. 【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的的體積是. 【答案】. 23.（2012·遼寧高考理科·Ｔ13）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_____________. 【解題指南】讀懂三視圖，它是長(zhǎng)方體（挖去一個(gè)底面直徑為2cm的圓柱） ，分別求表面積，注意減去圓柱的兩個(gè)底

15、面積. 【解析】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,3,1，表面積為； 圓柱的底面圓直徑2，母線(xiàn)長(zhǎng)1，側(cè)面積為；圓柱的兩個(gè)底面積 故該幾何體的表面積為. 【答案】38. 24. （2012·遼寧高考文科·Ｔ13）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)______________. 【解題指南】讀懂三視圖，它是圓柱和長(zhǎng)方體的組合，分別求體積即可. 【解析】該組合體上邊是一個(gè)圓柱，底面圓直徑2，母線(xiàn)長(zhǎng)1；體積下面是一個(gè)長(zhǎng)方體；長(zhǎng)寬高分別為4,3,1，體積.故組合體體積. 【答案】. 25.（2012·遼寧高考文科·Ｔ16）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面

16、ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形.若PA=2,則△OAB的面積為_(kāi)_____________. 【解題指南】注意到條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn)P,A,B,C,D看作長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)來(lái)考慮就容易多了. 【解析】由題意，PA⊥平面ABCD，則點(diǎn)P,A,BC,D,可以視為球O的內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球O位于該長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)處，那么三角形OAB的面積為長(zhǎng)方體對(duì)角面的四分之一. . 【答案】. 26.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ19）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn). (Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC；

17、（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比. C B A D C1 A1 【解題指南】（1）證兩個(gè)平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，要證平面BDC1⊥平面BDC，可證 平面BCD； （2）平面BDC1分棱柱下面部分為四棱錐，可直接求體積，上面部分可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比. 【解析】(I)由題設(shè)可知,所以平面. 又平面,所以. 由題設(shè)知,所以,即.又 所以平面.又平面,故平面平面 (II)設(shè)棱錐的體積為,.由題意得 又三棱柱的體積,所以. 故平面分此棱柱所得兩部分

18、體積的比為1:1. 27.（2012·江西高考文科·Ｔ19）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線(xiàn)段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G，得到多面體CDEFG. （1） 求證：平面DEG⊥平面CFG； （2） 求多面體CDEFG的體積. 【解題指南】（1）證兩個(gè)平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，要證DEG⊥平面CFG，可證； （2）多面體CDEFG為四棱錐，由DEG⊥平面CFG得到四棱錐的高，利用體積公式求體積. 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，則折疊完后EG=3，GF=4，又因?yàn)镋F=5，所以可得 又因?yàn)?可得，即所以平面DEG⊥平面CFG. （2）過(guò)點(diǎn)G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為 S長(zhǎng)方形DEFC·GO=×4×5×=16.