2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)46 隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

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1、考點(diǎn)46 隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 一、選擇題 1. （2012·湖北高考文科·Ｔ2）容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表: 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為　(　　) (A)0.35 (B)0.45 (C)0.55 (D)0.65 【解題指南】解答本題先要讀懂頻數(shù)分布表,再結(jié)合頻率的求法求解. 【解析】選B.數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)

2、內(nèi)的頻數(shù)為9,樣本容量為20,所求頻率P==0.45. 2.（2012·湖南高考文科·Ｔ5）與（2012·湖南高考理科·Ｔ4）相同 設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，） C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg D.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg 【解題指南】根據(jù)線性相關(guān)，回歸直線，樣本點(diǎn)的中心等相關(guān)概念判斷.

3、 【解析】選D. 選項(xiàng) 具體分析 結(jié)論 A x的系數(shù)大于零正相關(guān)； 正確 B 回歸直線一定過樣本點(diǎn)中心；由回歸直線方程的計(jì)算公式可知直線必過點(diǎn) 正確 C 由一次函數(shù)的單調(diào)性知，x每增加1cm，體重均增加0.85kg，是估計(jì)變量； 正確 D 體重應(yīng)約為58.79kg，是估計(jì)變量。 不正確 3. （2012·陜西高考文科·Ｔ3）對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到樣本的莖葉圖(如圖所示),則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（ ） (A)46，45，56 (B) 46，45，53 (C) 47，45，56

4、 (D) 45，47，53 【解題指南】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、極差的概念進(jìn)行計(jì)算，注意觀察莖葉圖中的數(shù)據(jù). 【解析】選A. 莖葉圖中共有30個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是第15個和第16個數(shù)字的平均數(shù)，即，排除C，D；再計(jì)算極差，最小數(shù)據(jù)是12，最大數(shù)據(jù)是68，所以，故選A. 4.（2012·陜西高考理科·Ｔ6）從甲乙兩個城市分別隨機(jī)抽取16臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示）.設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為、，中位數(shù)分別為、，則（ ） (A) ， (B) ， (C) ， (D) ， 【解題指南】平均數(shù)的大小可以根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布的集中位置進(jìn)

5、行判斷,中位數(shù)則需要確定第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均值,然后再比較大小；或直接根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算. 【解析】選B.解法一：觀察莖葉圖可知，甲組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是，乙組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是，∴.解法二：,,所以，又，∴,故選B. 5.（2012·安徽高考理科·Ｔ5）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則( ) 甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) 甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) 甲的成績的方差小于乙的成績的方差 甲的成績的極差小于乙的成績的極差 【解題指南】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)的定義計(jì)算即可. 【解析】選

6、.,甲的成績的方差為，乙的成績的方差為. 6. （2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ3）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ） （A）－1 （B）0 （C） （D）1 【解題指南】理清相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系是解決本題關(guān)鍵. 【解析】選D. 樣本相關(guān)系數(shù)越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)，現(xiàn)在所有的樣本點(diǎn)都在直線上，樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為1. 7.（2012·江西高考文科·Ｔ

7、6）小波一星期的總開支分布圖如圖（1）所示，一星期的食品開支如圖（2）所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為（ ） A.30％ B.10％ C.3％ D.不能確定 【解題指南】讀圖，理清雞蛋開支、食品開支與總開支之間的百分比關(guān)系. 【解析】選C.由圖2知，小波一星期的食品開支為300元，其中雞蛋開支為30元，占食品開支的10%，而食品開支占總開支的30%，所以小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為3%. 8. （2012·江西高考理科·Ｔ9）樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為.若樣本的平均數(shù)，其中，則的大小關(guān)系為（ ） A.

8、 B. C. D.不能確定 【解題指南】用表示出，結(jié)合已知條件，建立所滿足的關(guān)系式，由的范圍獲得所滿足的不等關(guān)系，進(jìn)而判斷出與的大小關(guān)系. 【解析】選A.由已知得，， ＝ 整理得， 即，又，. 9.（2012·山東高考文科·Ｔ4）在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是( ) (A)眾數(shù)　　　(B)平均數(shù)　　　(C)中位數(shù)　　　(D)標(biāo)準(zhǔn)差 【解題指南】本題考查樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體.

9、【解析】選D. B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)比原來的都多2，而標(biāo)準(zhǔn)差不變. 10.（2012·山東高考理科·Ｔ4）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為( ) （A）7 （B）9 （C）10 （D）15 【解題指南】本題考查系統(tǒng)抽樣方法和數(shù)列項(xiàng)數(shù)的計(jì)算方式，由系統(tǒng)抽樣抽出的數(shù)的編號是等差數(shù)列. 【解析】

10、選C. 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個，故答案應(yīng)選C. 二、填空題 11.（2012·天津高考理科·Ｔ9）某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取__________所學(xué)校，中學(xué)中抽取__________所學(xué)校. 【解題指南】根據(jù)抽取樣本的比例計(jì)算. 【解析】∵分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學(xué)?？倲?shù)為250所，所以應(yīng)從小學(xué)中抽?。ㄈ耍?，同理可得從中學(xué)中抽取（人）. 【答案】18 9. 12.

11、（2012·山東高考文科·Ｔ14）右圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26.5］，樣本數(shù)據(jù)的分組為，，，，，.已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為＿＿＿＿. 【解題指南】本題考查頻率分布直方圖，關(guān)鍵是抓住縱軸表示的是頻率/組距. 【解析】最左邊兩個矩形面積之和為0.10×1+0.12×1＝0.22，總城市數(shù)為11÷0.22＝50，最右面矩形面積為0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. 【答案】9. 13.（2012·湖北高考文科·Ｔ11）一支田徑運(yùn)

12、動隊(duì)有男運(yùn)動員56人，女運(yùn)動員42人.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運(yùn)動員有8人，則抽取的女運(yùn)動員有______人. 【解題指南】本題考查分層抽樣,解答本題的關(guān)鍵是求出入樣率. 【解析】選X. 由,可知結(jié)果. 【答案】6. 14.（2012·浙江高考文科·Ｔ11）某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________. 【解題指南】考查隨機(jī)抽樣的方法,利用抽樣比乘以組內(nèi)人數(shù)即可求出. 【解析】此樣本中男生人數(shù)為. 【答案】160. 15.（2012·廣東高考文科·Ｔ13）由正整數(shù)

13、組成的一組數(shù)據(jù)其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為 .（從小到大排列） 【解題指南】本題是考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，要知道平均數(shù)及中位數(shù)（按從小到大或從大到小的順序排列，若奇數(shù)個數(shù)據(jù)取中間的數(shù)，若偶數(shù)個數(shù)據(jù)取中間兩個數(shù)的平均數(shù)）的求法，以及標(biāo)準(zhǔn)差公式。利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差公式分類討論求解. 【解析】假設(shè)這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為 則 又 同理可求得 由均為正整數(shù)，且均為圓上的點(diǎn)，分析知應(yīng)為1,1,3,3. 【答案】1,1,3,3. 16.（2012·福建高考文科·Ｔ14）一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動員98人，其中男運(yùn)動員有56人。按男女比例用分

14、層抽樣的方法，從全體運(yùn)動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動員人數(shù)是_______. 【解題指南】女運(yùn)動員本來占多大的比例，抽取后也應(yīng)該占多大的比例，這就是分層抽樣的精髓. 【解析】由題意知，女運(yùn)動員數(shù)為42，因此抽取的女運(yùn)動員為. 【答案】. 17.（2012·江蘇高考·Ｔ2）某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比是3：3：4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取_______名學(xué)生. 【解題指南】關(guān)鍵算出高二學(xué)生人數(shù)在總數(shù)中的比例,通過頻率公式求解. 【解析】高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的，所以樣本容量為50，則50×=1

15、5. 【答案】15. 18.（2012·遼寧高考文科·T19）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖； 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 合計(jì) (Ⅱ)將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育

16、迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率. 附 【解題指南】(1)據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算“體育迷”， “非體育迷”人數(shù)，按照提供的公式，計(jì)算相關(guān)數(shù)值，與所給數(shù)據(jù)比較，獲得結(jié)論；（2）將所有的基本事件羅列，很容易解決問題. 【解析】由所給的頻率分布直方圖知， “體育迷”人數(shù)為 “非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成列聯(lián)表： 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算： 因?yàn)?，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). （2）由所給的頻

17、率分布直方圖知 “超級體育迷”人數(shù)為， 記表示男性，表示女性，所有可能結(jié)果構(gòu)成的基本事件空間為，共有10個基本事件組成，且每個基本事件出現(xiàn)是等可能的；用A表示事件“任選2人，至少1名女性”， 則，共有7個基本事件組成，故“任選2人，至少1名女性”的概率為. 19. （2012·安徽高考文科·Ｔ18）若某產(chǎn)品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對值不超過1mm 時(shí)，則視為合格品，否則視為不合格品.在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取5000件進(jìn)行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品.計(jì)算這50件不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差（單位：mm）, 將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表： 分組

18、 頻數(shù) 頻率 [-3, -2) 　 0.10 [-2, -1) 8 　 （1,2] 　 0.50 （2,3] 10 　 （3,4] 　 　 合計(jì) 50 1.00 （Ⅰ）將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在答題卡的相應(yīng)位置； （Ⅱ）估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間（1,3]內(nèi)的概率； （Ⅲ）現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進(jìn)行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品.據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù). 【解題指南】（1）利用頻率=頻數(shù)/樣本總數(shù)；（2）利用頻率估計(jì)概率； 【解析】 （I） 分組 頻數(shù) 頻率 [-3, -2)

19、 0.1 [-2, -1) 8 （1,2] 0.5 （2,3] 10 （3,4] 合計(jì) 50 1 （Ⅱ）不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間（1,3]內(nèi)的概率為. （Ⅲ）合格品的件數(shù)為（件） 答：（Ⅱ）不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間（1,3]內(nèi)的概率為 （Ⅲ）合格品的件數(shù)為（件）. 20.（2012·湖南高考文科·Ｔ17）（本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上

20、 顧客數(shù)（人） 30 25 10 結(jié)算時(shí)間（分鐘/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％. （Ⅰ）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值； （Ⅱ）求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率） 【解題指南】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％，知從而解得，再用樣本估計(jì)總體，得出顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值的估計(jì)值；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間

21、不超過2分鐘的概率. 【解析】（Ⅰ）由已知得，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為: (分鐘). （Ⅱ）記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率，得. 是互斥事件， . 故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為. 21.（2012·福建高考文科·Ｔ18）某工廠為了對新研發(fā)的一

22、種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y (件) 90 84 83 80 75 68 （Ⅰ）求回歸直線方程，其中，； （Ⅱ）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（I）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入－成本） 【解題指南】本題主要考查回歸分析、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想． 【解析】（Ⅰ）由于， ． 所以，

23、從而回歸直線方程為． （Ⅱ）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值， 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤． 22.（2012·廣東高考文科·Ｔ17）某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是： . （1）求圖中的值； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分. （3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù). 【解題指南】(1)本小題根據(jù)每個區(qū)間上的矩形的面積和為1，可建立關(guān)于a的方程，解出a的值. (2)由頻率分布直方圖求平均分：每個區(qū)間的中點(diǎn)值乘以區(qū)間上矩形面積之和. (3)本題關(guān)鍵是先把語文成績在的人數(shù)求出來.根據(jù)每段的頻率求出每段的頻數(shù). 【解析】(1)由頻率分布直方圖知. (2). 所以平均分為73分. (3) 分別求出語文成績分?jǐn)?shù)段在的人數(shù)依次為 . 所以數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)段在的人數(shù)依次為: 5,20,40,25.所以在之外的人數(shù)有(人).