2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 一、選擇題 1. （2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ12）數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為（ ） （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【解題指南】依次寫出數(shù)列的項(xiàng)，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項(xiàng)公式，找到規(guī)律后，可直接求和. 【解析】選D. ， ， …，，，，， ＝. 二、填空題 2.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T16）數(shù)列滿足=2n-1，則前60項(xiàng)和為

2、 【解題指南】依次寫出數(shù)列的項(xiàng)，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項(xiàng)公式，找到規(guī)律后，可直接求和. 【解析】， ， …，，，，， ＝. 【答案】1830. 3. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1,3， 6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)： （Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項(xiàng)； （Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示） 【解題指南】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公

3、式的方法，解答本題可先根據(jù)數(shù)列{an}前項(xiàng)與后項(xiàng)的關(guān)系，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)列{bn}與{an}的關(guān)系求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)解答本題. 【解析】由圖可知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an-an-1=n(n≥2). 所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,則an=. 當(dāng)n=4,5,9,10,14,15,19,20,…時(shí),構(gòu)成數(shù)列{bn}的第1,2,3,4,…項(xiàng), 則可以看出n=5,10,15,20,…時(shí),分別對(duì)應(yīng)著{bn}的第2,4,6,8…項(xiàng). (1)b2012是數(shù)列{an}中的

4、第5030項(xiàng); (2)b2k-1=. 【答案】(1)5030　(2). 4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）對(duì)于，將n表示為,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，…，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1；否則bn=0. （1）b2+b4+b6+b8= （2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是 【解題指南】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問(wèn)題.本題實(shí)際是描述的將一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，然

5、后找出規(guī)律. 【解析】（1）觀察知；； 一次類推；； ；，，， b2+b4+b6+b8=３； （2）由（1）知cm的最大值為２. 【答案】（1）3 （2）2. 三、解答題 5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8. （1） 求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【解題指南】本題考查兩類數(shù)列的基本運(yùn)算與性質(zhì),解答本題可先設(shè)出首項(xiàng)和公差,再代入求解. 【解析】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則，由題意知解得，故等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：.

6、 （2）當(dāng)時(shí)，a2,a3,a1分別為-1，-4，2不是等比數(shù)列，所以 當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列的和為：S1=4；當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列的和為：S2=4+1=5；當(dāng)n3時(shí)， Sn= = 當(dāng)n=2時(shí),符合上式，所以 6.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50％.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出

7、與an的關(guān)系式； （Ⅱ）若公司希望經(jīng)過(guò)m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）. 【解題指南】本題考查遞推數(shù)列問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.第一問(wèn)建立數(shù)學(xué)模型，得出與an的關(guān)系式，第二問(wèn)，只要把第一問(wèn)中的迭代，即可以解決. 【解析】（Ⅰ）由題意得， =4500-d， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 整理得　 . 由題意， 解得. 故該企業(yè)每年上繳資金的值為時(shí)，經(jīng)過(guò)年企業(yè)的剩余資金為４０００萬(wàn)元. 7.（2012·江蘇高考·Ｔ20）（本小題滿分16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)

8、列和滿足：． （1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值． 【解題指南】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比.從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出. 【解析】（1）∵，∴。 ∴ . ∴ . ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列. （2）∵，∴。 .（﹡） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾. 若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾. ∴綜上所述，?！啵? 又∵，∴是公比是的等比數(shù)列. 若，則，于是. 又由即，得. ∴

9、中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾.∴. ∴. ∴ . 8.（2012·廣東高考理科·Ｔ19）（本小題滿分14分） 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。 （1） 求a1的值； （2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （3） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有. 【解題指南】(1)根據(jù)利用,可得到,令n=1，從而得到,再根據(jù)成等差數(shù)列得,三個(gè)方程聯(lián)立可解出. (2)在（1）的基礎(chǔ)上對(duì)的兩邊同除以得, 再驗(yàn)證：也滿足上式，因而對(duì)都成立， 然后再利用疊加求和的方法確定,進(jìn)而確定的通項(xiàng)公式. (3)解本題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)， ，然后放縮再利用裂項(xiàng)求和的方法證明即可. 【解析】（1） 兩式相減得 ,

10、 又成等差數(shù)列， 即 . (2)由（1）得 時(shí)， 兩邊同除以得 又時(shí)，,也滿足上式， 時(shí)，， . 。 (3)當(dāng)n=1時(shí)，;當(dāng)n=2時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， 9.（2012·廣東高考文科·Ｔ19） 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，. (1)求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解題指南】 (1)根據(jù)，利用,可建立關(guān)于的方程，即可求出.(2)解本題的關(guān)鍵是 ,因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以，然后轉(zhuǎn)化為常規(guī)題型來(lái)做即可。 【解析】（1）令n=1時(shí)，. (2) 因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以 當(dāng) 兩式相減得 所以 所以

11、 因?yàn)?所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， 所以 所以. 10.（2012·安徽高考理科·Ｔ21）(本小題滿分13分）數(shù)列滿足： （I）證明： 是遞減數(shù)列的充分必要條件是 （II）求的取值范圍，使是遞增數(shù)列. 【解題指南】（1）要證明必要性和充分性；（2）由（I），然后分類討論，根據(jù)作差法去討論的值. 【解析】（I）必要條件 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 充分條件 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是. （II）由（I）得： ①當(dāng)時(shí)

12、，，不合題意 ②當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，與同號(hào)， 由 當(dāng)時(shí)，存在，使與異號(hào) 與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾 得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 11.（2012·安徽高考文科·Ｔ21）(本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)的前項(xiàng)和為，求。 【解題指南】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0，的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0，求出極小值點(diǎn)；（2）由（I）求出的前項(xiàng)和為，再代入. 【解析】（I）

13、 得：當(dāng)時(shí)，取極小值 得： （II）由（I）得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以 12.（2012·浙江高考文科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡. （1）求an，bn； （2）求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解題指南】由前n項(xiàng)和Sn可求出通項(xiàng)公式，而數(shù)列{an·bn}的通項(xiàng)符合等差與等比數(shù)列乘積的形式,故

14、可用錯(cuò)位相減法求出. 【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，符合上式，所以 由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得. （2） ∴ ① ② ①-②可得 ∴. 13.（2012·山東高考理科·Ｔ20）在等差數(shù)列中，. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，再利用求出公差d，利用求出通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)列的中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).可求得數(shù)列為兩個(gè)等比數(shù)列. 【解析】(1) 由得， 所以 . (2) 對(duì)

15、任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則，即，所以， 于是 ， 即. 14. （2012·山東高考文科·Ｔ20）已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)對(duì)任意，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和. 【解題指南】（1）可利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組求出首項(xiàng)和公差；進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.（2）利用數(shù)列的中不大于內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).可求得數(shù)列為等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求得. 【解析】(I)由已知得： 解得, 所以通項(xiàng)公式為. (II)對(duì)，若，則， 因此. ∵， ∴是公比為49的等比數(shù)列， ∴. 15. （

16、2012·江西高考理科·Ｔ16）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和（其中）,且Sn的最大值為8. （1）確定常數(shù)k，求an； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【解題指南】（1）先求得的值，再利用求，注意驗(yàn)證首項(xiàng)； （2）用錯(cuò)位相減法求和. 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，取最大值，即， 故，因此， 從而.又，所以. （2）因?yàn)椋? ， 所以 16.（2012·江西高考文科·Ｔ17）已知數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和（其中c，k為常數(shù)），且a2=4，a6=8a3. （1）求an； （2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn。 【解題指南】（1）利用求，注意驗(yàn)證首項(xiàng)； （2）用錯(cuò)位相減法求和. 【解析】(1)當(dāng)時(shí)， 則 ， ，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1） 當(dāng)n=1時(shí)， 綜上所述. (2) ，則 （1）-（2）得 .