2023屆大一輪復習 第06講 函數(shù)的概念與運算（含解析）

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1、2023屆大一輪復習 第06講 函數(shù)的概念與運算 一、選擇題（共8小題） 1. 若 fx=axa＞0且a≠1 對于任意實數(shù) x，y 都有 ?? A. fxy=fx?fy B. fxy=fx+fy C. fx+y=fxfy D. fx+y=fx+fy 2. 設集合 M=x?2≤x≤2，N=y0≤y≤2，給出下列四個圖形，其中能表示以集合 M 為定義域，N 為值域的函數(shù)關系的是 ?? A. B. C. D. 3. 設 fx=1,x>00,x=0?1,x<0，gx=1,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù)，則 fgπ 的值為 ?? A. 1 B.

2、 0 C. ?1 D. π 4. 下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 ?? A. y=1，y=xx B. y=x，y=3x3 C. y=x?1×x+1，y=x2?1 D. y=∣x∣，y=x2 5. 已知函數(shù) fx 的定義域為 ?∞,+∞，如果 fx+2016=2sinx,x≥0lg?x,x<0，那么 f2016+π4?f?7984= ?? A. 2016 B. 14 C. 4 D. 12016 6. 已知 fx 是一次函數(shù)，且滿足 3fx+1=2x+17，則 fx 等于 ?? A. 23x+5 B. 23x+1 C. 2x?3 D. 2x+1

3、 7. 已知集合 A=0,12，B=12,1，fx=x+12,x∈A21?x,x∈B，若 x0∈A，且 ffx0∈A，則 x0 的取值范圍是 ?? A. 0,14 B. 14,12 C. 14,12 D. 0,38 8. 已知函數(shù) fx=ex?1,x≥0kx,x<0．若存在非零實數(shù) x0，使得 f?x0=fx0 成立，則實數(shù) k 的取值范圍是 ?? A. ?∞,?1 B. ?∞,?1 C. ?1,0 D. ?1,0 二、選擇題（共3小題） 9. 已知 f2x?1=4x2，則下列結論正確的是 ?? A. f3=9 B. f?3=4 C. fx=x2

4、 D. fx=x+12 10. 下列各選項給出的兩個函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有 ?? A. fx=x 與 gx=x2 B. ft=∣t?1∣ 與 gx=∣x?1∣ C. fx=x 與 gx=log22x D. fx=x2?1x+1 與 gx=x?1 11. 德國數(shù)學家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在 1837 年時提出：“如果對于 x 的每一個值，y 總有一個完全確定的值與之對應，那么 y 是 x 的函數(shù)．”這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個 x，有一個確定的 y

5、和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄里克雷函數(shù) Dx，即：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為 1；當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為 0．下列關于狄里克雷函數(shù) Dx 的性質表述正確的是 ?? A. Dπ=0 B. Dx 的值域為 0,1 C. Dx 的圖象關于直線 x=1 對稱 D. Dx 的圖象關于直線 x=2 對稱 三、填空題（共16小題） 12. 設函數(shù) fx=2?x?1,x≤0x12,x>0，若 fx0>1，則 x0 的取值范圍是 ?． 13. 若 fx=log2x?1,x>22x,x≤2，則

6、ff5= ?． 14. 函數(shù) y=kxk≠0 的定義域為 ?，值域為 ?． 15. 已知 fx=x2+px+q，滿足 f?1=f2=0，則 f1=??． 16. 下列對應為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)的是 ?． ① A=R，B=xx>0，f:x→y=x；② A=Z，B=N*，f:x→y=x2；③ A=Z，B=Z，f:x→y=x；④ A=?1,1，B=0，f:x→y=0． 17. 若函數(shù) fx=x+1,x>03+2x,x≤0，則 f0

7、= ?，f3+f?3= ?． 18. 已知函數(shù) fx=log2x,x>03x,x≤0，則 ff12= ?． 19. 已知函數(shù) fx=x,x≤2x?1,x>2，若 fa>1，則 a 的取值范圍是 ?． 20. 已知函數(shù) fx=1?x,x≥02x,x<0，則 f2= ?． 21. 已知函數(shù) fx=21?x,x≤01?log2x,x>0，若 ∣fa∣≥2，則實數(shù) a 的取值范圍是 ?．

8、 22. 函數(shù) fx 對于任意實數(shù) x 都滿足條件 fx+2=1fx，若 f1=5，則 ff5= ?． 23. 設 fx=11?x，則 ffx= ?． 24. 若函數(shù) fx=∣x+1∣+2∣x?a∣ 的最小值為 5，則實數(shù) a= ?． 25. 若函數(shù) y=x+2,x≤?1x2+2,x>?1，則當 x= ?時，fx=3． 26. 已知函數(shù) fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1, 若 ff0=4a，則實數(shù) a=

9、 ?． 27. 已知點 A2,?5，B?1,4，C5,1，連接 AB，AC，若用 fx 表示所得折線段的函數(shù)解析式，則 fx= ?． 四、解答題（共5小題） 28. 構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式 y=x 來描述． 29. 求下列函數(shù)的表達式： （1）已知 y=fx 是一次函數(shù)，且 ffx=4x?1，求函數(shù) y=fx 的表達式； （2）已知 fx+1=x2+2x+2，求函數(shù) y=fx 的表達式； （3）已知 fx?2f1x=3x+2x≠0，求函數(shù) y=fx 的表達式． 30. 根據(jù)下列

10、條件，求函數(shù)的解析式： （1）已知 fx+1=x+2x； （2）若 fx 對于任意實數(shù) x 恒有 2fx?f?x=3x+1； （3）已知 f0=1，對任意的實數(shù) x，y 都有 fx?y=fx?y2x?y+1． 31. 已知 fx 是二次函數(shù)，且 f0=0，fx+1=fx+x+1，求 fx 的解析式． 32. 如圖，在邊長為 4 的正方形 ABCD 上有一點 P，沿著折線 BCDA 由 B 點（起點）向 A 點（終點）移動，設點 P 移動的路程為 x，△ABP 的面積為 y=fx． （1）求 △ABP 的面積與點 P 移動的路程間的函數(shù)關系式． （2）作出函數(shù)

11、的圖象，并根據(jù)圖象求 y 的最大值． 答案 1. D 【解析】因為 fx+y=ax+y=ax+ay，fx=ax，fy=ay，所以 fx+y=fx+fy． 2. B 【解析】選項A中，函數(shù)的定義域不是集合 M；選項C不是函數(shù)關系；選項D中，函數(shù)的值域不是集合 N，故選B． 3. B 【解析】因為 gπ=0，所以 fgπ=f0=0． 4. B 5. C 【解析】由題意得，f2016+π4=2sinπ4=1，f?7984=f2016?10000=lg10000=4， 所以 f2016+π4?f?7984=4． 6. A 【解析】因為 fx 是一次函數(shù)，

12、 所以設 fx=ax+ba≠0， 由 3fx+1=2x+17，得 3ax+1+b=2x+17， 整理得 3ax+3a+b=2x+17， 所以 3a=2,3a+b=17. 所以 a=23,b=5. 所以 fx=23x+5． 7. B 【解析】根據(jù)題意，fx=x+12,x∈A21?x,x∈B， 若 x0∈A， 即 0≤x0<12，fx0=x0+12， 有 12≤fx0<1， 則 ffx0=21?fx0=1?2x0， 若 ffx0∈A， 則 0≤1?2x0<12， 可解得：14

13、B， D 【解析】f2x?1=2x?12+22x?1+1, 故 fx=x2+2x+1，故選項C錯誤，選項D正確． f3=16，f?3=4，故選項A錯誤，選項B正確． 10. B， C 【解析】對于A，函數(shù) fx=x 與 gx=x2=∣x∣ 的解析式不同，表示相同函數(shù)； 對于B，函數(shù) ft=∣t?1∣ 的定義域為 R，gx=∣x?1∣ 的定義域為 R，定義域相同，對應關系也相同，是相同函數(shù)； 對于C，函數(shù) fx=x 的定義域為 R，gx=log22x=x 的定義域為 R，定義域相同，對應關系也相同，是相同函數(shù)； 對于D，函數(shù) fx=x2?1x+1=x?1 的定義域為 ?∞,

14、?1∪?1,+∞，gx=x?1 的定義域為 R，定義域不同，不是相同函數(shù)． 11. A， B， C， D 【解析】由題意可得 Dx=0,x為無理數(shù)1,x∈Q， 由于 π 為無理數(shù)，則 Dπ=0，故A正確； 結合函數(shù)的定義及分段函數(shù)的性質可知，函數(shù)的值域 0,1，故B正確； 結合函數(shù)可知，當 x∈Q 時，Dx=1 關于 x=1，x=2 都對稱，當 x 為無理數(shù)時，Dx=0 關于 x=1，x=2 都對稱． 12. ?∞,?1∪1,+∞ 13. 4 14. ?∞,0∪0,+∞，?∞,0∪0,+∞ 15. ?2 【解析】由 f?1=f2=0 可解得 p=?1，q=

15、?2， 所以 fx=x2?x?2， 于是 f1=12?1?2=?2． 16. ④ 【解析】①②不滿足存在性；③不滿足任意性． 17. 3，?1 18. 13 【解析】因為函數(shù) fx=log2x,x>03x,x≤0， 所以 f12=log212=?1， ff12=f?1=3?1=13． 19. a>1 20. ?1 【解析】因為函數(shù) fx=1?x,x≥02x,x<0， 所以 f2=1?2=?1． 21. ?∞,12∪8,+∞ 22. 5 【解析】由 fx 滿足 fx+2=1fx，得函數(shù) fx 的最小正周期 T=4． 所以 ff5=ff1=f5=f

16、1=5． 23. x?1x（x≠0，且 x≠1） 24. ?6 或 4 【解析】當 a≤?1 時， fx=?3x+2a?1,x≤ax?2a?1,a?1， 所以 fa=fxmin=?a?1， 所以 ?a?1=5， 所以 a=?6． 當 a>?1 時， fx=?3x+2a?1,x≤?1?x+2a+1,?1a， 所以 fa=fxmin=a+1， 所以 a+1=5， 所以 a=4． 綜上，a=?6或4． 25. 1 26. 2 【解析】因為函數(shù) fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1, 所以

17、f0=2，f2=4+2a=4a，解得 a=2． 27. y=?3x+1,?1≤x≤22x?9,2≤x≤5 【解析】線段 AB 的方程為 y+5=?3x?2，?1≤x≤2，即 y=?3x+1，?1≤x≤2，線段 AC 的方程為 y+5=2x?2，2≤x≤5，即 y=2x?9，2≤x≤5， 故所求的折線段的解析式為 y=?3x+1,?1≤x≤22x?9,2≤x≤5． 28. 設邊長為 y 的正方形面積為 x，正方形周長不超過 100，那么 y 是 x 的函數(shù)，定義域是 A=x0

18、長 x 相對應． 29. （1） 據(jù)題意，設 fx=kx+bx≠0,則ffx=fkx+b=kkx+b+b=k2x+kb+b=4x?1． 則有 k2=4,kb+b=?1, 解得 k=2,b=?13. 或 k=?2,b=1. fx=2x?13．或 fx=?2x+1． ??????（2） 令 t=x+1，則 x=t?1，ft=t?12+2t?1+2=t2+1． 所以，fx=x2+1． ??????（3） 由題意，得 fx?2f1x=3x+2,f1x?2fx=3x+2, 解得 fx=?x?2x?2． 所以，fx=?x?2x?2． 【解析】說明（1）已知函數(shù)模型（如一次函數(shù)，二次函數(shù)

19、，反比例函數(shù)等）求函數(shù)表達式時，可用待定系數(shù)法；（2）已知 fgx 的表達式求 y=fx 的表達式時，可用換元法；（3）已知同時含有 fx 與 f1x 或 fx 與 f?x 的表達式求 y=fx 的表達式時，可用聯(lián)立消元法． 30. （1） （方法 1）（換元法）：設 t=x+1，則 x=t?12t≥1．代入原式有 ft=t?12+2t?1=t2?2t+1+2t?2=t2?1．所以 fx=x2?1x≥1． （方法 2）（配湊法）：因為 x+2x=x2+2x+1?1=x+12?1，所以 fx+1=x+12?1x+1≥，即 fx=x2?1x≥1． ??????（2） 用 ?x 換 x 得 2

20、f?x?fx=?3x+1，與原式聯(lián)立消去 f?x 得 fx=x+1． ??????（3） 令 x=0，得 f?y=f0?y?y+1=1+y2?y，fy=y2+y+1，即 fx=x2+x+1． 31. 設 fx=ax2+bx+ca≠0， 由 f0=0，知 c=0，fx=ax2+bx， 又由 fx+1=fx+x+1， 得 ax+12+bx+1=ax2+bx+x+1， 即 ax2+2a+bx+a+b=ax2+b+1x+1， 所以 2a+b=b+1,a+b=1, 解得 a=b=12． 所以 fx=12x2+12x，x∈R． 32. （1） 考慮到點 P 在正方形 ABCD 四邊上移動時 △ABP 的面積 y 與路程 x 的解析式不同，應分段進行考慮， 首先，這個函數(shù)的定義域為 0,12． 當 0