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1、第九章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),9.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn),本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為,(9.1.1),(9.1.2),式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=, 為常數(shù) (9.1.3) 如果()滿足下式： ()=0-,0是起始相位 (9.1.4) 嚴(yán)格地說，此
2、時()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即,也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(9.1.3)式是第一類線性相位；滿足(9.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (9.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (9.1.6),(1) 第一類線性相位條件證明：,將(9.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(9.1.7),按照上式可
3、以將H(z)表示為,將z=e j代入上式，得到：,按照(9.1.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為,(9.1.8),(9.1.9),(2) 第二類線性相位條件證明：,(9.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(9.1.11),(9.1.12),2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn) 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(9.1.8)式，幅度函數(shù)H g()為,式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項(xiàng)也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=
4、(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為,令m=(N-1)/2-n,則有,(9.1.13),(9.1.14),式中,按照(9.1.13)式，由于式中cosn項(xiàng)對=0,,2皆為偶對稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對=0,,2是偶對稱的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。,3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(9.1.11)式重寫如下：,令m=N/2-n,則有,(9.1.15),(9.1.16),4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上面3)情況，推導(dǎo)如下：,令
5、m=(N-1)/2-n，則有,(9.1.17),(9.1.18),令m=N/2-n,則有,(9.1.19),(9.1.20),3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(9.1.7)式和(9.1.10)式，綜合起來用下式表示：,(9.1.21),圖9.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布,4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有,令m=N-n-1,則有,(9.1.22),如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出，,(9.1.23),圖9.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖9.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),9.2 利用窗函數(shù)法
6、設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej),hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此,相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為,(9.2.1),(9.2.2),為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (9.2.3),我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，,圖9.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e j)是一個以2為周期的函數(shù)，可以展為傅
7、氏級數(shù)，即,對(9.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：,(9.2.4),式中，Hd(e j)和RN(e j)分別是hd(n)和RN(n) 的傅里葉變換，即,(9.2.5),RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ej)寫成下式：,按照(9.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為,將Hd(e j)和RN(e j)代入(9.2.4)式，得到：,將H(ej)寫成下式：,(9.2.6),圖9.2.2 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響,通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點(diǎn)： (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過渡帶。過渡帶
8、的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。 在主瓣附近，按照(9.2.5)式，RN()可近似為,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(9.2.5)式，其頻率響應(yīng)為,2. 三角形窗(Bartlett Window),(9.2.8),其頻率響應(yīng)為,(9.2.9),3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗,當(dāng)N1時，N-1N
9、，,圖9.2.3 漢寧窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗,(9.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e j)為,其幅度函數(shù)WHm()為,當(dāng)N1時，可近似表示為,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(9.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(9.2.14),圖9.2.4 常用的窗函數(shù),圖9.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,圖9.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗
10、,6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計(jì)算：,一般I0(x)取1525項(xiàng)，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<<9。當(dāng)=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。=9.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為,(9.2.16),表9.2.1 凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響,表9.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)，那么單位取樣
11、響應(yīng)用下式求出：,(9.2.17),(9.2.18),根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：,例如，理想低通濾波器如(9.2.1)式所示，求出單位取樣響應(yīng)hd(n)如(9.2.2)式，重寫如下： (2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)， h(n)=hd(n)w(n),(4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：,例9.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11,c=0.2rad
12、。 解 用理想低通作為逼近濾波器，按照(9.2.2)式，有,用漢寧窗設(shè)計(jì)：,用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：,圖9.2.7 例9.2.1的低通幅度特性,9.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ej)表示，對它在=0到2之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到Hd(k)，,再對N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)，,(9.3.1),(9.3.2),式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,(9.3.3),(9.3.4),1.用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)，在此
13、基礎(chǔ)上我們已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：,(9.3.5),(9.3.6),(9.3.7),奇數(shù),偶數(shù),在=02之間等間隔采樣N點(diǎn)，,將=k代入(9.3.4)(9.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)：,(9.3.8),(9.3.9),奇數(shù),偶數(shù),(9.3.10),(9.3.11),設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為c，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和(k)用下面公式計(jì)算： N=奇數(shù)時，,(9.3.12),N=偶數(shù)時，,(9.3.13),2. 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待設(shè)計(jì)的濾波器為Hd(ej),對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為hd(n)，,則由頻率域采樣定理知道，在頻域02之間等間隔采樣N點(diǎn)，
14、利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN()，即,由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過IDFT得到h(n)，其Z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為,圖9.3.1 理想低通濾波器增加過渡點(diǎn),例9.3.1 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器，要求截止頻率c=/2rad，采樣點(diǎn)數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況。 解 用理想低通作為逼近濾波器。按照(9.3.12)式，,對理想低通幅度特性采樣情況如圖9.3.2所示。將采樣得到的,圖9.3.2 對理想低通進(jìn)行采樣,圖9.3.3 例9.3.1的幅度特性,圖9.3.4 例9.3.1(N=65)有兩個過
15、渡點(diǎn)幅度特性,9.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器,如果用E(ej)表示Hd(ej)和所設(shè)計(jì)濾波器H(ej)之間的頻響誤差 E(ej)=H-d(ej)-H(ej) (9.4.1) 其均方誤差為,(9.4.2),1. 切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則 設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hd()，實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hg()，其加權(quán)誤差E()用下式表示： E()=W()Hd()-Hg() (9.4.3) 為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況，,將Hg(
16、)代入(9.4.3)式，則,(9.4.4),式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇 M+1個系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E()的最大值為最小， 即,該定理指出最佳一致逼近的充要條件是E()在A上至少呈現(xiàn)M+2個“交錯”，使得,2.利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為,如果我們知道了A上的M+2個交錯點(diǎn)頻率：0,1,:,M+1,按照(9.4.4)式，并根據(jù)交錯點(diǎn)組準(zhǔn)則，可寫出,(9.4.5),將(9.4.5)式寫成矩陣形式，,(9.4.6),(1)在頻域等間隔取M+2個頻率0,1,:,M+1，作為交錯點(diǎn)組的初始值。按下
17、式計(jì)算值：,(9.4.7),(9.4.8),一般初始值i并不是最佳的極值頻率，也不是最優(yōu)估計(jì)誤差，它是相對于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg()，即,(9.4.9),(9.4.10),(9.4.11),(2)對上次確定的0,1,:,M+1中每一點(diǎn)，都檢查其附近是否存在某一頻率|E()|，如有，再在該點(diǎn)附近找出局部極值點(diǎn)，并用該點(diǎn)代替原來的點(diǎn)。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E()|||的點(diǎn)作為新的局部極值點(diǎn)，從而又得到一組新的交錯點(diǎn)組。,圖9.4.2 雷米茲算法流程圖,3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在9.1節(jié)，
18、我們已推導(dǎo)出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g()分別如下式：,奇數(shù),奇數(shù),偶數(shù),偶數(shù),經(jīng)過推導(dǎo)可把H-g()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (9.4.13) 式中，P()是系數(shù)不同的余弦組合式，Q()是不同的常數(shù)，四種情況的Q()和P()如表9.4.1所示。,表9.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況,表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關(guān)系如下：,(9.4.14),(9.4.15),(9.4.16),將(9.4.13)式代入(9.4.3)式，得到:,(9.4.17),(9.4.18),圖9.4.3 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)線性相位 FIR濾波器程序框圖,圖9.4.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)的低通濾波器幅度特性,9.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先，從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價(jià)的。,從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 從設(shè)計(jì)工具看，IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供準(zhǔn)確計(jì)算，計(jì)算工作量比較小，對計(jì)算工具的要求不高。,
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