山東省煙臺市2013屆高三數(shù)學(xué)3月診斷性測試試題 理（煙臺一模含解析）新人教A版

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1、山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試 數(shù)學(xué)（理）試題 注意事項(xiàng)： 1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。 2．使用答題紙時(shí)，必須使用0．5毫米的黑龜墨水簽字筆書寫，作圖時(shí)，可用2B鉛筆．要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙，試題卷上答題無效。 3．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。 一、選擇題：本大題共12小題；每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求，把正確選項(xiàng)的代號涂在答題卡上． 1．已知i是虛數(shù)單位，若，則|z|等于 A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，

2、所以，選C. 2．若集合M={x∈N*| x<6}，N=，則M= A．（-∞，-1） B． C．（3,6） D．{4,5} 【答案】D 【解析】,，所以， 3．已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（），則log2f（2）的值為 A． B．- C．2 D．-2 【答案】 【解析】設(shè)冪函數(shù)為，則，解得，所以，所以，即，選A. 4．已知函數(shù)，若，則的值為 A． B． C． D．（其中k∈Z） 4 4 2 4 【答案】C 【解析】由，得，即，所以，所以，即，選C. 5．下列說法錯誤的是

3、： A．命題“若x2—4x+3=0，則x=3”的逆否命題是“若x≠3，則x2－4x+3≠0” B．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要條件 C．若p∧q為假命題，則p、g均為假命題 D．命題P：″，使得x2+x+1<0”，則 【答案】C 【解析】若p∧q為假命題，則p、g至少有一個為假命題，所以C錯誤。選C. 6．若函數(shù)f（x）=2sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值等于 A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以要使函數(shù)f（x）=2sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，即，所以，解得，所以的最大值等于，選B. 7．若

4、回歸直線方程的斜率的估計(jì)值是1．23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線的方程是 ^ ^ A．=1．23x+4 B．=1．23x+5 C．=1．23x+0．08 D．=0．08x+1．23 【答案】C 【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得，即，選B. 8．如右圖，某幾何體的三視圖均為邊長為l的正方形，則該幾何體的體積是 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由題意三視圖對應(yīng)的幾何體如圖所示， 所以幾何體的體積為正方體的體積減去一個三棱錐的體積，即,選A. 9．若點(diǎn)P是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線與圓x2+y2 =10的

5、一個交點(diǎn)，則|PA|+ |PB|的值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意知，所以，所以雙曲線方程為。不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則由題意知，所以，解得，所以，所以，選D. 10．函數(shù)的部分圖像是 【答案】A 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，所以排除B,D.當(dāng)，排除D ，選A. 11．實(shí)數(shù)x，y滿足，若函數(shù)z=x+y取得最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為 A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】，由得，作出不等式對應(yīng)的區(qū)域，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，直線的截距最大為4，由，解得，即D(2

6、，2)，所以，選A. 12．已知函數(shù)f（x）=，把函數(shù)g（x）=f（x）－x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若0＜x≤1，則﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1， 若1＜x≤2，則0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1 若2＜x≤3，則1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2 若3＜x≤4，則2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3 以此類推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），則f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+

7、n， 下面分析函數(shù)f（x）=2x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn) 很顯然，它們有兩個交點(diǎn)（0，1）和（1，2）， 由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個交點(diǎn)． 然后①將函數(shù)f（x）=2x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個單位即得到函數(shù)f（x）=2x﹣1和y=x的圖象， 取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點(diǎn)（0，0）． 即當(dāng)x≤0時(shí)，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=0． ②取①中函數(shù)f（x）=2x﹣1和y=x圖象﹣1＜x≤0的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個單位， 即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(diǎn)（1

8、，1）． 即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=1． ③?、谥泻瘮?shù)f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行， 即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(diǎn)（2，2）． 即當(dāng)1＜x≤2時(shí)，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=2． ④以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）． 即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1． 綜上所述方程f（x）﹣x=0的

9、根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為 0，1，2，3，4，… 其通項(xiàng)公式為,選B. 二、填空題：本大題共有4個小題，每小題4分，共16分．把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 13．執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，輸出的S值為 【答案】10 【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，； 第三次循環(huán)，； 第四次循環(huán)，，此時(shí)不滿足條件，輸出. 14．若（x2－的展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)（1－3x）n =ao+a1x+a2x2+…+anxn，則al+a2+…+an的值為 【答案】255 【解析】展開式（x2－的通項(xiàng)公式為，因?yàn)楹瑇的項(xiàng)為

10、第6項(xiàng)，所以，解得，令，得，又，所以。 15．對大于l的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23，，，…，仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為 。 【答案】8 【解析】即13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…m增加1，累加的奇數(shù)個數(shù)便多1，我們不難計(jì)算59是第30個奇數(shù)，若它是m的分解，則1至m-1的分解中，累加的奇數(shù)一定不能超過30個，故可列出不等式，進(jìn)行求解，由且，解得。 16．給出下列命題：①函數(shù)在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)； ②函數(shù)f（x）=2x －x2的零點(diǎn)有3個；

11、 ③函數(shù)y= sin x（x∈）圖像與x軸圍成的圖形的面積是S= ； ④若～N（1，），且P（0≤≤1）=0.3，則P(≥2）=0.2． 其中真命題的序號是（請將所有正確命題的序號都填上）： 【答案】②④ 【解析】①，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以①錯誤。②正確。③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y= sin x（x∈）圖像與x軸圍成的圖形的面積是，所以③錯誤。④因?yàn)?所以④正確，所以正確的為②④。 三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟。 17．（本小題滿分12分） 已知平面向量a =（cos,sin），b=

12、（cosx，sinx），c=（sin,-cos），其中0<<，且函數(shù)f（x）=（a·b）cosx+（b·c）sinx的圖像過點(diǎn)（，1）。 （1）求的值； （2）先將函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移個單位，然后將得到函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，求函數(shù)y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值. 18．（本小題滿分12分） 已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足：a2·a4=65，a1+a5=18。 （1）若1

13、 （2）設(shè)，是否存在一個最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn

14、學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制）（均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題。 （1）補(bǔ)全這個頻率分布直方圖，并估計(jì)本次考試的平均分； （2）若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到的學(xué)生成績在[40，70）記0分，在[70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望。 21．（本小題滿分13分） 設(shè)A（x1, y1），b（x2, y2）是橢圓C：（a>b>0）上兩點(diǎn)，已知，若m·n=0且橢圓的離心率e=，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由。 22．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)f（x）=axlnx圖像上點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線y=2x平行（其中e= 2．71828…），g（x）=x2－x2－tx－2． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）求函數(shù)f（x）在[n，n+2]（n>0）上的最小值； （3）對一切x，3f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。