《電磁場理論小班第4講第一章 矢量分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《電磁場理論小班第4講第一章 矢量分析（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系常用正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第1章 矢量分析
2、矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波31.1.標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單
3、位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波4zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示zAxAAyAzxy第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波5（1）矢量的
4、加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁
5、場與電磁波6（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點積）矢量的標(biāo)積（點積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeB
6、AzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波8（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子
7、科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波9 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。確定。1.21.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐
8、標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波101、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee,點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面）o x y z0 xx（平面）（平面
9、）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波112、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量
10、第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波12ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版
11、社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波134、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢
12、量的關(guān)系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波141.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場標(biāo)量場。例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時變標(biāo)
13、量場和矢量場可分別表示為：、),(tzyxu),(tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波151.1.標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值線標(biāo)量場的等值
14、線(面面)等值面等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。等值面的特點等值面的特點：意義意義:形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版
15、社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波162.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念概念：l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加；l0ul u(M)沿沿 方向減小；方向減?。籰0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點特點：方向性導(dǎo)數(shù)既與點：方向性導(dǎo)數(shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？的方向余弦。的方向
16、余弦。l式中式中：coscoscos、第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波17梯度的表達式梯度的表達式：zueueueuz1圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系 ureurerueursin11球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系zueyuexueuzyx直角面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 3、標(biāo)量場的梯度、標(biāo)量場的梯度（或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel第1章 矢量分析矢量
17、分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波18標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等
18、值面（或切平面）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z)=x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。描述了空間標(biāo)量場。試求：試求：(1)該函數(shù)該函數(shù) 在點在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；單位矢量；(2)求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量 el=ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向?qū)?shù)，并以點方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,
19、1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波20表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方
20、向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為211(22)()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy 對于給定的對于給定的P P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為(1,1,1)1221222Pxyl第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波21而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標(biāo)量函數(shù)點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)
21、，故 恒成立。恒成立。PPPl 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波221.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1、矢量線、矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線oM Fdrrrdr第1章 矢量分析矢量分析矢
22、量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波232、矢量場的通量、矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大?。恳胪康母拍?。引入通量的概念。dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：外，矢量場對閉合曲面的通量是：dd
23、nSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波240通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通
24、量的物理意義第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波253、矢量場的散度、矢量場的散度0(,)d(,)limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包
25、含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波26柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系zFyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電
26、磁場與電磁波電磁場與電磁波27直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo) 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計算在直角坐標(biāo)系中計算FzzxyP 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則第1章 矢量
27、分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波28dyxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 0d limySxzVFSFFFFVxyz根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波294、散度
28、定理、散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波301.5 矢量場的環(huán)流和
29、旋度矢量場的環(huán)流和旋度 1.矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場例如：流速場 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波31 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉
30、合曲線所圍曲面的電如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：流成正比，即：SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波32q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有
31、旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波33 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。
32、當(dāng) S0時，極限時，極限01rotlimdCnSFFlS稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。量場的旋度。SCMFn特點特點：其值與點：其值與點M 處的方向處的方向n有關(guān)。有關(guān)。2、矢量場的旋度、矢量場的旋度（）F（1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社
33、出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波34123412341234dddddCllllyzyzFlFlFlFlFlFyFzFyFz 12yyyMFzFFMz而而 22zzzMFyFFMy推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 rotxF32yyyMFzFFMz42zzzMFyFFMy 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 、的表達式的表達式rotxFrotyFrotzF第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波35d()yzCFFF ly zyz 于是于是
34、 同理可得同理可得rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxy0drotlimyCzxSF lFFFSyz 故得故得概念概念：矢量場在矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法 線方向，即線方向，即nMaxrotnFeF物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。nrot FnF性質(zhì)性質(zhì)：（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與
35、電磁波36zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計算公式旋度的計算公式:zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波37旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第1章
36、 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波38SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通
37、量，即第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波394、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波401、矢量場的源、矢量場的源散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或
38、正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度；旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁
39、波412、矢量場按源的分類、矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場0dClF性質(zhì)性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F無旋場無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場例如：靜電場0EEuF()0Fu 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波42（2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即性質(zhì)性質(zhì)：0dSSF0 F無散場可以表示為另一個矢量場的旋度無散場可以
40、表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場AB0BAF()0FA 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波43（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F（4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分()()()()()lCF rF rF ru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 02 u0F 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科
41、技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波441.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1、拉普拉斯運算、拉普拉斯運算 標(biāo)量拉普拉斯運算標(biāo)量拉普拉斯運算2u概念概念：2()uu 2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系計算公式計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波45 矢量拉普拉
42、斯運算矢量拉普拉斯運算2F概念概念：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對于非直角分量，對于非直角分量，22()iiFF直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(,)ix y z第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波462.格林定理格林定理 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場 及及 滿足下列等式。滿足下列等式。SVSnV 2
43、dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面，為標(biāo)為標(biāo)量場量場 在在 S 表面的外法線表面的外法線 en 方向上方向上的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。n2 ()d()dVSVS 以上兩式稱為以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。SV,ne第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波4722 ()d()dVSVSnn22 ()ddVSVS 基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)
44、量第二格林定理。格林定理說明了區(qū)域格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟弦虼?，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。場的求解問題。此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。格林定理廣泛地用于電磁理論。第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)
45、編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波48亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理:若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為表示為 )()()(rArurF式中：式中：VrrrFruVd)(41)(VVrrrFrAd)(41)(亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。域，矢量場可由其散度及旋度確定。1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第1章 矢量分析矢量分析矢量分析電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波49有界區(qū)域有界區(qū)域SVrrSrFVrrrFrud)(41 d)(41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(41d)(41)(在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。
電磁場理論小班第4講第一章 矢量分析
