22、跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？
解：(1)該問(wèn)題中要完成的事情是4名同學(xué)報(bào)名，因而可按學(xué)生分步完成，每一名同學(xué)有3種選擇方法，故共有34＝81種報(bào)名方法．
(2)該問(wèn)題中，要完成的事是三項(xiàng)冠軍花落誰(shuí)家，故可按冠軍分步完成，每一項(xiàng)冠軍都有4種可能，故可能的結(jié)果有43＝64種．
11．如右圖所示三組平行線分別有m，n，k條，在此圖形中
(1)共有多少個(gè)三角形？
(2)共有多少個(gè)平行四邊形？
解：(1)每個(gè)三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對(duì)應(yīng)的，由分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個(gè)三角形．
(2)每個(gè)平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對(duì)應(yīng)
23、的，由分類和分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成CC＋CC＋CC個(gè)平行四邊形．
12．把一個(gè)圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問(wèn)
(1)有多少種不同的涂法？
(2)若分割成4塊扇形呢？
解：(1)不同涂色方法數(shù)是：5×4×3＝60種；
(2)如右圖所示，分別用a，b，c，d記這四塊，a與c可同色，也可不同色，先考慮給a，c兩塊涂色，分兩類：
①給a，c涂同種顏色共5種涂法，再給b涂色有4種涂法，最后給d涂色也有4種涂法，由乘法原理知，此時(shí)共有5×4×4種涂法；
②給a，c涂不同顏色共有5×4種涂法，再給b涂色有3種方法，最后給d涂色也有3種方法，此
24、時(shí)共有5×4×3×3種涂法．
故由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂法．
1．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有( )
A．4種 B．5種
C．6種 D．12種
解析：選C 若甲先傳給乙，則有：甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3種不同的傳法；同理甲先傳給丙，也有3種不同的傳法，共有6種不同的傳法．
2．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種值A(chǔ)、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟
25、方法有________種(用數(shù)字作答)．
解析：
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
分兩步：第一步，先選壟，如圖．共有6種選法；
第二步：種植A、B兩種作物，有2種選法．
因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選壟種植方法有6×2＝12種．
答案：12
3．8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，
26、再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有________場(chǎng)比賽．
解析：小組賽共有2C場(chǎng)比賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場(chǎng)比賽；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有2C＋4＝16場(chǎng)比賽．
答案：16
4．某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？
解：首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確，可以選擇“只會(huì)排版”、“只會(huì)印刷”、“既會(huì)排版又會(huì)印刷”中的一個(gè)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．下面選擇“既會(huì)排版又會(huì)印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照被選出的人數(shù)，可將問(wèn)題分為三類：
第一類：既會(huì)排版又會(huì)印刷
27、的2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有3×1＝3種選法．
第二類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再?gòu)臅?huì)排版的3人中選1人，有3種選法，只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×1＝6種選法；若此人去印刷，則再?gòu)臅?huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×2＝12種選法．
再由分類計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18種選法．
第三類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全被選出，同理共有16種選法．
所以共有3＋18＋16＝3
28、7種選法．
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.理解排列組合的概念．
2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．
3.能利用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
1.排列組合概念及排列數(shù)、組合數(shù)公式一般不單獨(dú)考查．
2.排列組合的應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，獨(dú)立命題，題多為選擇、填空題，如2012年陜西T8，安徽T10，遼寧T5等.
[歸納·知識(shí)整合]
1．排列與排列數(shù)公式
(1)排列與排列數(shù)
(2)排列數(shù)公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)．
(3)排列數(shù)的性質(zhì)
A＝n
29、??；A＝1；0?。?.
[探究] 1.排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？
提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)．
2．組合與組合數(shù)公式
(1)組合與組合數(shù)
(2)組合數(shù)公式
C＝＝(m，n∈N*，m≤n)．
(3)組合數(shù)性質(zhì)
①C＝1；②C＝C；③C＝C＋C.
[探究] 2.如何區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？
提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問(wèn)題，若與順序無(wú)關(guān)，則是組合問(wèn)題．
[自測(cè)·牛刀小試]
1．12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一
30、種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)是( )
A．123 B．312
C．A D．12＋11＋10
解析：選C 從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次，共有A種不同的獲獎(jiǎng)情況．
2．異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是( )
A．20 B．9
C．C D．CC＋CC
解析：選B 分兩類，第一類在直線a上任取一點(diǎn)與直線b可確定C個(gè)平面；第二類在直線b上任取一點(diǎn)與直線a可確定C個(gè)平面．故可確定C＋C＝9個(gè)不同的平面．
3．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有( )
A．252種
31、 B．112種
C．20種 D．56種
解析：選B 不同的分配方案共有CC＋CC＋CC＋CC＝112種．
4．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種．
解析：(間接法)共有C－C＝34種不同的選法．
答案：34
5．如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方法有________種．
解析：M，N，P，Q共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，減去不合題意的4種．則不同的方法有16種．
答案：16
排列問(wèn)題
[例1
32、] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生不能站在一起；
(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．
[自主解答] (1)問(wèn)題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A＝2 520種排法．
(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040種排法．
(3)相鄰問(wèn)題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有A種排法，由分
33、步乘法計(jì)數(shù)原理知， 共有N＝A·A·A＝288種．
(4)不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排共有A種排法，故N＝A·A＝1 440種．
(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝720種排法．所以共有A·A＝3 600種排法．
本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少中排法？
解：(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排，故有N＝A·A＝720種．
———————————————————
解決排列類應(yīng)用題的主要方法
(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接
34、列式計(jì)算；
(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；
(3)捆綁法：相鄰問(wèn)題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；
(4)插空法：不相鄰問(wèn)題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；
(5)分排問(wèn)題直排處理的方法；
(6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法；
(7)定序問(wèn)題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
1．一位老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法( )
A．450 B．46
35、0
C．480 D．500
解析：選C 先排老師有A種排法，剩下同學(xué)有A種排法．共有AA＝480種排法．
2．排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．
(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？
(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？
解：(1)先排歌唱節(jié)目有A種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有A種方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有A·A＝43 200種方法．
(2)先排舞蹈節(jié)目有A種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有A·A＝2 880種方法.
36、
組合問(wèn)題
[例2] 要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？
(1)至少有1名女生入選；
(2)至多有2名女生入選；
(3)男生甲和女生乙入選；
(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；
(5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．
[自主解答] (1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．
由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為
CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771種．
法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12名人中任選5人有C種選法，其中全是男代表的選法有C種．
37、
所以“至少有1名女生入選”的選法有C－C＝771種；
(2)至多有2名女生入選包括如下幾種情況：
0女5男，1女4男，2女3男，
由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C＋CC＋CC＝546種．
(3)男生甲和女生乙入選，即只要再?gòu)某猩缀团彝獾?0人任選3名即可，共有CC＝120種選法；
(4)法一：男生甲和女生乙不能同時(shí)入選包括以下幾種情況：
男生甲入選女生乙不入選；男生甲不入選女生乙入選；男生甲和女生乙都不入選．
由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C＋C＋C＝672種．
法二：間接法：從12人中選出5人，有C種選法，從除去男生甲和女生乙外的10人中任選3人有C種選法，所以“男
38、生甲和女生乙不能同時(shí)入選”的選法有C－CC＝672種；
(5)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有C種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為C－C＝540種．
———————————————————
組合兩類問(wèn)題的解法
(1)“含”與“不含”的問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?
(2)“至少”、“最多”的問(wèn)題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解．通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆
39、向思維，用間接法處理．
3．某校開(kāi)設(shè)A類選修課3門(mén)，B類選修課4門(mén)，一位同學(xué)從中選3門(mén)．若要求兩類課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有( )
A．30種 B．35種
C．42種 D．48種
解析：選A 法一：可分兩種互斥情況：A類選1門(mén)，B類選2門(mén)或A類選2門(mén)，B類選1門(mén)，共有CC＋CC＝18＋12＝30種選法．
法二：總共有C＝35種選法，減去只選A類的C＝1種，再減去只選B類的C＝4種，共有30種選法．
排列、組合的綜合應(yīng)用
[例3] 有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù)：
(1)有女生
40、但人數(shù)必須少于男生；
(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文科代表；
(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；
(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．
[自主解答] (1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC種，后排有A種，共有(CC＋CC)·A＝5 400種．
(2)除去該女生后，先取后排，有C·A＝840種．
(3)先選后排，但先安排該男生，有C·C·A＝3 360種．
(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，選出的3人全排有A種，共C·C·A＝360種．
————————————————
41、———
求解排列、組合綜合題的一般思路
排列、組合的綜合問(wèn)題，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列．其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)．
4．4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？
(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
解：(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放
42、2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC×A＝144種．
(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．
(3)確定2個(gè)空盒有C種方法，4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)，(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法．
故共有C＝84種．
1個(gè)識(shí)別——排列問(wèn)題與組合問(wèn)題的識(shí)別方法
識(shí)別方法
排列
若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，即排列
43、問(wèn)題與選取元素順序有關(guān)
組合
若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取元素順序無(wú)關(guān)
3點(diǎn)注意——求解排列、組合問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)
(1)解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理．
(2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來(lái)解決．分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏．
(3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏.
創(chuàng)新交匯——幾何圖形中的排列組合問(wèn)題
1．排列、組合問(wèn)題的應(yīng)用一
44、直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合交匯命題．
2．解答此類問(wèn)題應(yīng)注意以下問(wèn)題：
(1)仔細(xì)審題，判斷是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題；
(2)對(duì)限制條件較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，可分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后再用兩個(gè)原理來(lái)解決；
(3)由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來(lái)檢驗(yàn)．
[典例] (2011·湖北高考)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：
由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有______
45、__種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種(結(jié)果用數(shù)值表示)．
[解析] (1)當(dāng)n＝6時(shí)，如果沒(méi)有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，有6種方案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的5個(gè)空內(nèi)，有C＝10種方案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有C＝4種方案，由圖可知不可能有4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)黑色正方形，綜上可知共有21種方案．(2)將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個(gè)空格都有兩種方案，由分步計(jì)數(shù)原理一
共有26種方案，本問(wèn)所求事件為(1)的對(duì)立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的方案有26－21＝43種．
[答案] 21
46、43
1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)
(1)命題背景的創(chuàng)新：本題以平面幾何中的著色問(wèn)題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問(wèn)題．
(2)考查方式的創(chuàng)新：在切入點(diǎn)上一改往日直來(lái)直去的文字語(yǔ)言敘述，而是以圖形語(yǔ)言的形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生對(duì)圖形語(yǔ)言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力．
2．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)由n＝1,2,3,4時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)的規(guī)律，歸納n＝6時(shí)的情況；
(2)求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可考慮利用對(duì)立事件求解．
3．解決與圖形有關(guān)的排列組合問(wèn)題的注意事項(xiàng)
需要強(qiáng)化對(duì)圖形語(yǔ)言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法的訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想
47、和方法，才能快速正確地解決排列組合問(wèn)題．
(2012·安徽高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品．已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為( )
A．1或3 B．1或4
C．2或3 D．2或4
解析：選D 不妨設(shè)6位同學(xué)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，列舉交換紀(jì)念品的所有情況為AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有15種．因?yàn)?位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，即缺少以上交換中的2種．第一類，某人少交換2次，如DF，
48、EF沒(méi)有交換，則A，B，C交換5次，D，E交換4次，F(xiàn)交換3次；第二類，4人少交換1次，如CD，EF沒(méi)有交換，則A，B交換5次，C，D，E，F(xiàn)交換4次．
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．(2012·遼寧高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為( )
A．3×3！ B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：選C 利用“捆綁法”求解．滿足題意的坐法種數(shù)為
A(A)3＝(3！)4.
2．(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)
49、小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( )
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
解析：選A 先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案．
3．在“神九”航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有( )
A．24種 B．48種
C．96種 D．144種
解析：選C 當(dāng)A出現(xiàn)在第一步時(shí)，再排A，B，C以外的三個(gè)程序，有A種，A與A，B，C以外的三個(gè)程序生成4個(gè)可以排列程序B、C的空檔，此時(shí)共有AA
50、A種排法；當(dāng)A出現(xiàn)在最后一步時(shí)的排法與此相同，故共有2AAA＝96種編排方法．
A
B
C
D
4.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有( )
A．192種 B．128種
C．96種 D．12種
解析：選C 可分三步：第一步，填A(yù)、B方格的數(shù)字，填入A方格的數(shù)字大于B方格中的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2，若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的數(shù)字，有4種不同的填法；第三步，
51、填方格D的數(shù)字，有4種不同的填法．由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的填法總數(shù)為6×4×4＝96.
5．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )
A．10種 B．15種
C．20種 D．30種
解析：選C 分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種．
6．(2012·山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張
52、．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為( )
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：選C 若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C＝64種，若2張同色，則有C×C×C×C＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C＝192種，剩余2張同色，則有C×C×C＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．某公司計(jì)劃在北京、上海、蘭州、銀川四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的
53、項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該公司不同的投資方案種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
解析：由題意知按投資城市的個(gè)數(shù)分兩類：①投資3個(gè)城市即A種．②投資2個(gè)城市即CA種，共有不同的投資方案種數(shù)是A＋CA＝60.
答案：60
8．(2013·武漢模擬)某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開(kāi)出有________種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)．
解析：先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，先從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有C種，最后，安排其他兩輛車共有A種方法，故不同的調(diào)度方法為C·C·A＝120種
54、．
答案：120
9．(2013·宜昌模擬)某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來(lái)，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂(lè)部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．
解析：設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：
(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)
55、社團(tuán)中，有CA種方法，這時(shí)共有CCA種參加方法．
(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有A種方法，這時(shí)共有CA種參加方法．
綜合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180種參加方法．
答案：180
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找出所有4件次品為止．
(1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？
(2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？
56、
解：(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有A種不同測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有C·A＝A種測(cè)試方法，再排余下4件的測(cè)試位置，有A種測(cè)試方法．所以共有不同的測(cè)試方法A·A·A＝103 680種．
(2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同的測(cè)試方法A·C·A＝576種．
11．從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：
(1)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？
(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？
(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？
解：(1)分三步完成：
57、第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有A種情況．所以符合題意的七位數(shù)有CCA＝100 800個(gè)．
(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有CCAA＝14 400個(gè)．
(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有CCAAA＝5 760個(gè)．
12.編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，不同的放法有多少種？
解：根據(jù)A球所在位置分三類：
(1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，
58、余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A＝6種不同的放法；
(2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A＝6種不同的放法；
(3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi)，則B球可以放在2號(hào)，3號(hào)，5號(hào)盒子中的任何一個(gè)，余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，有A＝6種不同的放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有AA＝18種不同的放法．
綜上所述，由分類計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．
1．甲、乙、丙3人站在共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是___
59、_____(用數(shù)字作答)．
解析：當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有AC種站法，當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有CCC種站法，因此不同的站法種數(shù)有AC＋CCC＝210＋126＝336種．
答案：336
2．如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為( )
A．40 B．48
C．56 D．62
解析：選C 滿足要求的點(diǎn)的取法可分為3類：
第1類，在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有4C種取法；
第2類，在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有2C種取法；
第3類，過(guò)點(diǎn)P的四條棱中，每一條棱上的兩點(diǎn)(除P外)
60、和與這條棱異面的其中一條棱的中點(diǎn)也共面，有4C種取法．
所以，滿足題意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56種．
3．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1個(gè)，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有多少種？
解：依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有AA＝1 440種，
其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方法共有AA＝240種；
滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方法共有AA＝240種；
滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班、丁在
61、10月7日值班的方法共有AA＝48種．
因此滿足題意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008種．
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．
2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
1.一般不考查用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．
2.求二項(xiàng)展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)和特定項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，考查形式為選擇題和填空題，難度不大，屬中低檔題，如2012年廣東T10，福建T11等.
[歸納·知識(shí)整合]
1．二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n
62、∈N*)
二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)C(r＝0,1，…，n)
二項(xiàng)式通項(xiàng)
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項(xiàng)
[探究] 1.二項(xiàng)式(x＋y)n的展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)與(y＋x)n的展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)一樣嗎？
提示：盡管(x＋y)n與(y＋x)n的值相等，但它們的展開(kāi)式形式是不同的，因此應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，x，y的位置不能隨便交換．
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
[探究] 2.二項(xiàng)式(x＋y)n展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)就最大嗎？
提示：不一定最大，當(dāng)二項(xiàng)式中x，y的系數(shù)均為1時(shí)，或x，y的系數(shù)均為－1，n為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)，否則不一定．
[自
63、測(cè)·牛刀小試]
1．(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．C B．C
C．C D．(－1)r－1C
解析：選D 本題中由于y的系數(shù)為負(fù)，故其第r項(xiàng)的系數(shù)為(－1)r－1C.
2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是( )
A．42 B．35
C．28 D．21
解析：選D 依題意可知，二項(xiàng)式(1＋x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于C×15＝21.
3．已知8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是( )
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
解析：選C
64、由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.
4．若(1＋2x)6的展開(kāi)式中的第2項(xiàng)大于它的相鄰兩項(xiàng)，則x的取值范圍是________．
解析：由題意得即
解得
65、_．
(2)(2012·廣東高考)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．
(3)(2012·福建高考)(a＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)a＝________.
[自主解答] (1)由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝(－2)3C＝－160.
(2)由6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C＝20.
(3)(a＋x)4的展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系數(shù)為Ca，故
66、Ca＝8，解得a＝2.
[答案] (1)－160 (2)20 (3)2
———————————————————
求特定項(xiàng)的步驟
(1)根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式建立方程來(lái)確定指定項(xiàng)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n為正整數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，且r≤n)；
(2)根據(jù)所求項(xiàng)的指數(shù)特征求所要求解的項(xiàng)．
1．(2012·泰安模擬)若二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為( )
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：選C Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，
當(dāng)r＝4時(shí)，＝0，又n∈N*，
所以n＝12.
2．(1＋x＋x2)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．
解析：6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
Tr＋1＝C(－1)rx6－2r，
當(dāng)r＝3時(shí)，T4＝－C＝－20，當(dāng)r＝4時(shí)，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常數(shù)項(xiàng)為－20＋15＝－5.
答案：－5
二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和
[例2] 設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理訓(xùn)練 理 新人教A版
