【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、 【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理訓(xùn)練 理 新人教A版 第一節(jié)　分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理． 2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題. 高考中，對于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理一般不單獨(dú)考查，多與排列、組合相結(jié)合考查，且多為選擇、填空題，如2012年北京T6，浙江T6等. [歸納·知識整合] 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案

2、中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． [探究]　1.選用分類加法計(jì)數(shù)原理的條件是什么？ 提示：當(dāng)完成一件事情有幾類辦法，且每一類辦法中的每一種辦法都能獨(dú)立完成這件事情，這時(shí)就用分類加法計(jì)數(shù)原理． 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法． [探究]　2.選用分類乘法計(jì)數(shù)原理的條件是什么？ 提示：當(dāng)解決一個(gè)問題要分成若干步，每一步只能完成這件事的一部分，

3、且只有當(dāng)所有步都完成后，這件事才完成，這時(shí)就采用分步乘法計(jì)數(shù)原理． [自測·牛刀小試] 1．一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩袋子里各取一個(gè)球，不同取法的種數(shù)為(　　) A．182　　　　　　　　　　 B．14 C．48 D．91 解析：選C　由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為 6×8＝48. 2．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有(　　) A．3種 B．6種 C．7種 D．9種 解析：選C　分3類：買1本書，買2本書和買3本書．各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7種．

4、 3．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有(　　) A．30 B．20 C．10 D．6 解析：選D　從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6種． 4．如圖，從A→C有________種不同的走法． 解析：分為兩類：不過B點(diǎn)有2種方法，過B點(diǎn)有2×2＝4種方法，共有4＋2＝6種方法． 答案：6 5．設(shè)集合A中有3個(gè)元素，集合B中有2個(gè)元素，可建立A→B的映射的個(gè)數(shù)為________． 解析

5、：建立映射，即對于A中的每一個(gè)元素，在B中都有一個(gè)元素與之對應(yīng)，有2種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理得映射有23＝8個(gè)． 答案：8 分類加法計(jì)數(shù)原理 [例1]　(1)(2012·北京高考)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24　　　　　　　　　　　 B．18 C．12 D．6 (2)將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數(shù)為(　　) A．80 B．120 C．140 D．50 [自主解答]　(1)法一：(直接法)本題可以理解為選出

6、三個(gè)數(shù)，放在三個(gè)位置，要求末尾必須放奇數(shù)，如果選到了0這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18； 法二：(間接法)奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n＝CCCA－CC＝18. (2)分兩類：若甲組2人，則乙、丙兩組的方法數(shù)是CA，此時(shí)的方法數(shù)是CCA＝60；若甲組3人，則方法數(shù)是CA＝20.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得總的方法數(shù)是60＋20＝80. [答案]　(1)B　(2)A 本例(1)條件不變，求有多少個(gè)能被5整除的數(shù)？ 解：能被5整除的數(shù)分兩類：當(dāng)個(gè)位數(shù)是0時(shí)，有A＝6個(gè)； 當(dāng)個(gè)位數(shù)是5時(shí)，若含有數(shù)字0時(shí)，則有2個(gè)，若不含有0時(shí)，則有C·A＝4個(gè)．故共有12個(gè)能被5整除的數(shù)．

7、　　　　 ——————————————————— 使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)條件 一是根據(jù)問題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類； 二是完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理． 1．若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“良數(shù)”．例如：32是“良數(shù)”，因?yàn)?2＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“良數(shù)”，因?yàn)?3＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么小于1 000的“良數(shù)”的個(gè)數(shù)為(　　) A．27 B．36 C．39

8、 D．48 解析：選D　一位“良數(shù)”有0,1,2，共3個(gè)；兩位數(shù)的“良數(shù)”十位數(shù)可以是1,2,3，兩位數(shù)的“良數(shù)”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9個(gè)；三位數(shù)的“良數(shù)”有百位為1,2,3，十位數(shù)為0的，個(gè)位可以是0,1,2，共3×3＝9個(gè)，百位為1,2,3，十位不是零時(shí)，十位個(gè)位可以是兩位“良數(shù)”，共有3×9＝27個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有48個(gè)小于1 000的“良數(shù)”． 分步乘法計(jì)數(shù)原理 [例2]　學(xué)校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法有________種(用數(shù)字作答

9、)． [自主解答]　有兩名教師要值班兩天，把六天分為四份，兩個(gè)兩天連排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六種情況，把四名教師進(jìn)行全排列，有A＝24種情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的排法6×24＝144種． [答案]　144 ——————————————————— 使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)要按照事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的； (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事. 2．將數(shù)字1,2,3,

10、4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1

11、色都不相同，且標(biāo)號為1,5,9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種． [自主解答]　分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3與1,5,9同色，則2,6的涂法為2×2，若3與1,5,9不同色，則3有兩種涂法，2,6只有一種涂法，同理涂4,7,8，即涂法總數(shù)是C(2×2＋C×1)×(2×2＋C×1)＝3×6×6＝108. [答案]　108 ——————————————————— 應(yīng)用兩個(gè)原理解決實(shí)際問題的注意點(diǎn) 在解決實(shí)際問題中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類的方法可能要運(yùn)用分步完成，分步的方法可能會(huì)采取分類

12、的思想求．分清完成該事情是分類還是分步，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系． 3．如圖所示，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法共有(　　) A．288種　　　　　　　　 B．264種 C．240種 D．168種 解析：選B　分三類：①B，D，E，F(xiàn)用四種顏色， 則有A×1×1＝24種方法； ②B，D，E，F(xiàn)用三種顏色，則有A×2×2＋2A×2×1＝192種方法； ③B，D，E，F(xiàn)用兩種顏色，則有A×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264種． 

13、2個(gè)區(qū)別——兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理 區(qū)別一 每類辦法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就完成 每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事 區(qū)別二 各類辦法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的 各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)，也不能遺漏 3個(gè)注意點(diǎn)——利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn) (1)當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法；

14、(2)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律； (3)混合問題一般是先分類再分步． . 數(shù)學(xué)思想——計(jì)數(shù)原理中的分類討論 從近幾年的高考試題來看，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的問題重點(diǎn)考查學(xué)生分析問題解決問題的能力及分類討論思想的應(yīng)用．解決此類問題時(shí)，需要分清兩個(gè)原理的區(qū)別，一般情形是考慮問題有幾種情況，即分類；考慮每種情況有幾個(gè)步驟，即分步．要求既要會(huì)合理分類，又要能合理分步． [典例]　(2012·浙江高考)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．60種　　　　　　　　

15、B．63種 C．65種 D．66種 [解析]　對于4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類，即4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，2個(gè)數(shù)為偶數(shù)2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，因此共有C＋CC＋C＝66種． [答案]　D (1)本題主要考查排列組合計(jì)數(shù)問題，可通過分類討論思想進(jìn)行求解，即把所取的4個(gè)數(shù)分為三類求解． (2)對于計(jì)數(shù)問題，有時(shí)正確的分類是解決問題的切入點(diǎn)．同時(shí)注意分類的全面與到位，不要出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的現(xiàn)象． 1．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有(　　) A．9種　　　　　　　　　　　 B．16種 C．20種

16、 D．28種 解析：選D　當(dāng)a為0時(shí)，b只能取0,1兩個(gè)數(shù)；當(dāng)a為9時(shí)，b只能取8,9兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a為其他數(shù)時(shí)，b都可以取3個(gè)數(shù)．故共有28種情形. 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有(　　) A．30個(gè)　　　　　　　　　　 B．42個(gè) C．36個(gè) D．35個(gè) 解析：選C　∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)． 2．高三年級的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠可自由選

17、擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有(　　) A．16種 B．18種 C．37種 D．48種 解析：選C　三個(gè)班去四個(gè)工廠不同的分配方案共43種，甲工廠沒有班級去的分配方案共33種，因此滿足條件的不同的分配方案共有43－33＝37種． 3．(2013·哈爾濱模擬)如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有(　　) A．9種 B．11種 C．13種 D．15種 解析：選C　每個(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與不脫落兩種狀態(tài)，電路不通可能是1個(gè)或多個(gè)焊接點(diǎn)脫落，問題比較復(fù)雜，但電路通

18、的情況卻只有3種，即焊接點(diǎn)2脫落或焊接點(diǎn)3脫落或全不脫落，故滿足題意的焊接點(diǎn)脫落的不同情況共有24－3＝13種． 4．4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有(　　) A．12種 B．24種 C．30種 D．36種 解析：選B　從4位同學(xué)中選出2人有C種方法，另外2位同學(xué)每人有2種選法，故不同的選法共有C×2×2＝24種． 5．(2013·汕頭模擬)如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(　　) A．400種 B．460種 C．480種 D．496種 解析：選C　

19、從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D，A同色1種，D，A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480種． 6．(2013·杭州模擬)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是(　　) A．60 B．48 C．36 D．24 解析：選B　長方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36個(gè)，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12個(gè)，共36＋12＝48個(gè)． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．從集合{1,

20、2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為________． 解析：當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1、2、4,2、4、8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1、3、9；當(dāng)公比為時(shí)，等比數(shù)列可為4、6、9.同時(shí)，4、2、1和8、4、2,9、3、1,9、6、4也是等比數(shù)列，共8個(gè)． 答案：8 8．某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有________種(用數(shù)字作答)． 解析：若取出1本畫冊，3本集郵冊，有C種贈(zèng)送方法；若取出2本畫冊，2本集郵冊，有C種贈(zèng)送方法，則不同的贈(zèng)送方法有C＋C＝10種

21、． 答案：10 9．將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

22、跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？ 解：(1)該問題中要完成的事情是4名同學(xué)報(bào)名，因而可按學(xué)生分步完成，每一名同學(xué)有3種選擇方法，故共有34＝81種報(bào)名方法． (2)該問題中，要完成的事是三項(xiàng)冠軍花落誰家，故可按冠軍分步完成，每一項(xiàng)冠軍都有4種可能，故可能的結(jié)果有43＝64種． 11．如右圖所示三組平行線分別有m，n，k條，在此圖形中 (1)共有多少個(gè)三角形？ (2)共有多少個(gè)平行四邊形？ 解：(1)每個(gè)三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應(yīng)的，由分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個(gè)三角形． (2)每個(gè)平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應(yīng)

23、的，由分類和分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成CC＋CC＋CC個(gè)平行四邊形． 12．把一個(gè)圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問 (1)有多少種不同的涂法？ (2)若分割成4塊扇形呢？ 解：(1)不同涂色方法數(shù)是：5×4×3＝60種； (2)如右圖所示，分別用a，b，c，d記這四塊，a與c可同色，也可不同色，先考慮給a，c兩塊涂色，分兩類： ①給a，c涂同種顏色共5種涂法，再給b涂色有4種涂法，最后給d涂色也有4種涂法，由乘法原理知，此時(shí)共有5×4×4種涂法； ②給a，c涂不同顏色共有5×4種涂法，再給b涂色有3種方法，最后給d涂色也有3種方法，此

24、時(shí)共有5×4×3×3種涂法． 故由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂法． 1．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有(　　) A．4種 B．5種 C．6種 D．12種 解析：選C　若甲先傳給乙，則有：甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3種不同的傳法；同理甲先傳給丙，也有3種不同的傳法，共有6種不同的傳法． 2．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種值A(chǔ)、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟

25、方法有________種(用數(shù)字作答)． 解析： × × × × × × × × × × × × 分兩步：第一步，先選壟，如圖．共有6種選法； 第二步：種植A、B兩種作物，有2種選法． 因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選壟種植方法有6×2＝12種． 答案：12 3．8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，

26、再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有________場比賽． 解析：小組賽共有2C場比賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場比賽；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有2C＋4＝16場比賽． 答案：16 4．某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？ 解：首先分類的標(biāo)準(zhǔn)要正確，可以選擇“只會(huì)排版”、“只會(huì)印刷”、“既會(huì)排版又會(huì)印刷”中的一個(gè)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．下面選擇“既會(huì)排版又會(huì)印刷”作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照被選出的人數(shù)，可將問題分為三類： 第一類：既會(huì)排版又會(huì)印刷

27、的2人全不被選出，即從只會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法；只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有3×1＝3種選法． 第二類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再從會(huì)排版的3人中選1人，有3種選法，只會(huì)印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×1＝6種選法；若此人去印刷，則再從會(huì)印刷的2人中選1人，有2種選法，從會(huì)排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有2×3×2＝12種選法． 再由分類計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18種選法． 第三類：既會(huì)排版又會(huì)印刷的2人全被選出，同理共有16種選法． 所以共有3＋18＋16＝3

28、7種選法． [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解排列組合的概念． 2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3.能利用排列組合知識解決簡單的實(shí)際問題. 1.排列組合概念及排列數(shù)、組合數(shù)公式一般不單獨(dú)考查． 2.排列組合的應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，獨(dú)立命題，題多為選擇、填空題，如2012年陜西T8，安徽T10，遼寧T5等. [歸納·知識整合] 1．排列與排列數(shù)公式 (1)排列與排列數(shù) (2)排列數(shù)公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)． (3)排列數(shù)的性質(zhì) A＝n

29、?。籄＝1；0！＝1. [探究]　1.排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？ 提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)． 2．組合與組合數(shù)公式 (1)組合與組合數(shù) (2)組合數(shù)公式 C＝＝(m，n∈N*，m≤n)． (3)組合數(shù)性質(zhì) ①C＝1；②C＝C；③C＝C＋C. [探究]　2.如何區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題，若與順序無關(guān)，則是組合問題． [自測·牛刀小試] 1．12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一

30、種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)是(　　) A．123　　　　　　　　 B．312 C．A D．12＋11＋10 解析：選C　從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次，共有A種不同的獲獎(jiǎng)情況． 2．異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是(　　) A．20 B．9 C．C D．CC＋CC 解析：選B　分兩類，第一類在直線a上任取一點(diǎn)與直線b可確定C個(gè)平面；第二類在直線b上任取一點(diǎn)與直線a可確定C個(gè)平面．故可確定C＋C＝9個(gè)不同的平面． 3．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有(　　) A．252種

31、 B．112種 C．20種 D．56種 解析：選B　不同的分配方案共有CC＋CC＋CC＋CC＝112種． 4．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種． 解析：(間接法)共有C－C＝34種不同的選法． 答案：34 5．如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法有________種． 解析：M，N，P，Q共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，減去不合題意的4種．則不同的方法有16種． 答案：16 排列問題 [例1

32、]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)： (1)選其中5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起； (5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾． [自主解答]　(1)問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A＝2 520種排法． (2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040種排法． (3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有A種排法，由分

33、步乘法計(jì)數(shù)原理知， 共有N＝A·A·A＝288種． (4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排共有A種排法，故N＝A·A＝1 440種． (5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝720種排法．所以共有A·A＝3 600種排法． 本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少中排法？ 解：(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排，故有N＝A·A＝720種．　　　　 ——————————————————— 解決排列類應(yīng)用題的主要方法 (1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接

34、列式計(jì)算； (2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置； (3)捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列； (4)插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中； (5)分排問題直排處理的方法； (6)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法； (7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列． 1．一位老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法(　　) A．450　　　　　　　　 B．46

35、0 C．480 D．500 解析：選C　先排老師有A種排法，剩下同學(xué)有A種排法．共有AA＝480種排法． 2．排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單． (1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ (2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：(1)先排歌唱節(jié)目有A種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有A種方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有A·A＝43 200種方法． (2)先排舞蹈節(jié)目有A種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有A·A＝2 880種方法.

36、 組合問題 [例2]　要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？ (1)至少有1名女生入選； (2)至多有2名女生入選； (3)男生甲和女生乙入選； (4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選； (5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選． [自主解答]　(1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771種． 法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12名人中任選5人有C種選法，其中全是男代表的選法有C種．

37、 所以“至少有1名女生入選”的選法有C－C＝771種； (2)至多有2名女生入選包括如下幾種情況： 0女5男，1女4男，2女3男， 由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C＋CC＋CC＝546種． (3)男生甲和女生乙入選，即只要再從除男生甲和女生乙外的10人任選3名即可，共有CC＝120種選法； (4)法一：男生甲和女生乙不能同時(shí)入選包括以下幾種情況： 男生甲入選女生乙不入選；男生甲不入選女生乙入選；男生甲和女生乙都不入選． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C＋C＋C＝672種． 法二：間接法：從12人中選出5人，有C種選法，從除去男生甲和女生乙外的10人中任選3人有C種選法，所以“男

38、生甲和女生乙不能同時(shí)入選”的選法有C－CC＝672種； (5)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有C種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為C－C＝540種． ——————————————————— 組合兩類問題的解法 (1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取． (2)“至少”、“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解．通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆

39、向思維，用間接法處理． 3．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(　　) A．30種　　　　　　　　　　 B．35種 C．42種 D．48種 解析：選A　法一：可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有CC＋CC＝18＋12＝30種選法． 法二：總共有C＝35種選法，減去只選A類的C＝1種，再減去只選B類的C＝4種，共有30種選法． 排列、組合的綜合應(yīng)用 [例3]　有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù)： (1)有女生

40、但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語文科代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表． [自主解答]　(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC種，后排有A種，共有(CC＋CC)·A＝5 400種． (2)除去該女生后，先取后排，有C·A＝840種． (3)先選后排，但先安排該男生，有C·C·A＝3 360種． (4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，選出的3人全排有A種，共C·C·A＝360種． ————————————————

41、——— 求解排列、組合綜合題的一般思路 排列、組合的綜合問題，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列．其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)． 4．4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． (1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？ (3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ 解：(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放

42、2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC×A＝144種． (2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法． (3)確定2個(gè)空盒有C種方法，4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)，(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法． 故共有C＝84種． 1個(gè)識別——排列問題與組合問題的識別方法 識別方法 排列 若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列

43、問題與選取元素順序有關(guān) 組合 若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān) 3點(diǎn)注意——求解排列、組合問題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決．分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏． (3)對于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏. 創(chuàng)新交匯——幾何圖形中的排列組合問題 1．排列、組合問題的應(yīng)用一

44、直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識結(jié)合交匯命題． 2．解答此類問題應(yīng)注意以下問題： (1)仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題； (2)對限制條件較為復(fù)雜的排列組合問題，可分解為若干個(gè)簡單的基本問題后再用兩個(gè)原理來解決； (3)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來檢驗(yàn)． [典例]　(2011·湖北高考)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有______

45、__種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種(結(jié)果用數(shù)值表示)． [解析]　(1)當(dāng)n＝6時(shí)，如果沒有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，有6種方案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的5個(gè)空內(nèi)，有C＝10種方案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有C＝4種方案，由圖可知不可能有4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)黑色正方形，綜上可知共有21種方案．(2)將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個(gè)空格都有兩種方案，由分步計(jì)數(shù)原理一 共有26種方案，本問所求事件為(1)的對立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的方案有26－21＝43種． [答案]　21　

46、43 1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn) (1)命題背景的創(chuàng)新：本題以平面幾何中的著色問題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問題． (2)考查方式的創(chuàng)新：在切入點(diǎn)上一改往日直來直去的文字語言敘述，而是以圖形語言的形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生對圖形語言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與應(yīng)用能力． 2．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn) (1)由n＝1,2,3,4時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)的規(guī)律，歸納n＝6時(shí)的情況； (2)求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可考慮利用對立事件求解． 3．解決與圖形有關(guān)的排列組合問題的注意事項(xiàng) 需要強(qiáng)化對圖形語言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法的訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想

47、和方法，才能快速正確地解決排列組合問題． (2012·安徽高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品．已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為(　　) A．1或3　　　　　　　　 B．1或4 C．2或3 D．2或4 解析：選D　不妨設(shè)6位同學(xué)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，列舉交換紀(jì)念品的所有情況為AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有15種．因?yàn)?位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，即缺少以上交換中的2種．第一類，某人少交換2次，如DF，

48、EF沒有交換，則A，B，C交換5次，D，E交換4次，F(xiàn)交換3次；第二類，4人少交換1次，如CD，EF沒有交換，則A，B交換5次，C，D，E，F(xiàn)交換4次． 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2012·遼寧高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A．3×3！　　　　　　　　　　 B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 解析：選C　利用“捆綁法”求解．滿足題意的坐法種數(shù)為 A(A)3＝(3！)4. 2．(2012·新課標(biāo)全國卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)

49、小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 解析：選A　先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案． 3．在“神九”航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有(　　) A．24種 B．48種 C．96種 D．144種 解析：選C　當(dāng)A出現(xiàn)在第一步時(shí)，再排A，B，C以外的三個(gè)程序，有A種，A與A，B，C以外的三個(gè)程序生成4個(gè)可以排列程序B、C的空檔，此時(shí)共有AA

50、A種排法；當(dāng)A出現(xiàn)在最后一步時(shí)的排法與此相同，故共有2AAA＝96種編排方法． A B C D 4.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有(　　) A．192種 B．128種 C．96種 D．12種 解析：選C　可分三步：第一步，填A(yù)、B方格的數(shù)字，填入A方格的數(shù)字大于B方格中的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2，若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的數(shù)字，有4種不同的填法；第三步，

51、填方格D的數(shù)字，有4種不同的填法．由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的填法總數(shù)為6×4×4＝96. 5．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有(　　) A．10種 B．15種 C．20種 D．30種 解析：選C　分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種． 6．(2012·山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張

52、．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 解析：選C　若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C＝64種，若2張同色，則有C×C×C×C＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C＝192種，剩余2張同色，則有C×C×C＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．某公司計(jì)劃在北京、上海、蘭州、銀川四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的

53、項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該公司不同的投資方案種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：由題意知按投資城市的個(gè)數(shù)分兩類：①投資3個(gè)城市即A種．②投資2個(gè)城市即CA種，共有不同的投資方案種數(shù)是A＋CA＝60. 答案：60 8．(2013·武漢模擬)某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)． 解析：先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，先從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有C種，最后，安排其他兩輛車共有A種方法，故不同的調(diào)度方法為C·C·A＝120種

54、． 答案：120 9．(2013·宜昌模擬)某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析：設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況： (1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)

55、社團(tuán)中，有CA種方法，這時(shí)共有CCA種參加方法． (2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有A種方法，這時(shí)共有CA種參加方法． 綜合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180種參加方法． 答案：180 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止． (1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？

56、 解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有C·A＝A種測試方法，再排余下4件的測試位置，有A種測試方法．所以共有不同的測試方法A·A·A＝103 680種． (2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同的測試方法A·C·A＝576種． 11．從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問： (1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？ (2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？ (3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？ 解：(1)分三步完成：

57、第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有A種情況．所以符合題意的七位數(shù)有CCA＝100 800個(gè)． (2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有CCAA＝14 400個(gè)． (3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有CCAAA＝5 760個(gè)． 12.編號為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，不同的放法有多少種？ 解：根據(jù)A球所在位置分三類： (1)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，

58、余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A＝6種不同的放法； (2)若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A＝6種不同的放法； (3)若A球放在4號盒子內(nèi)，則B球可以放在2號，3號，5號盒子中的任何一個(gè)，余下的三個(gè)盒子放球C，D，E，有A＝6種不同的放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有AA＝18種不同的放法． 綜上所述，由分類計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種． 1．甲、乙、丙3人站在共有7級的臺(tái)階上，若每級臺(tái)階最多站2人，同一級臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是___

59、_____(用數(shù)字作答)． 解析：當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有AC種站法，當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有CCC種站法，因此不同的站法種數(shù)有AC＋CCC＝210＋126＝336種． 答案：336 2．如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為(　　) A．40　　　　　　　　　 B．48 C．56 D．62 解析：選C　滿足要求的點(diǎn)的取法可分為3類： 第1類，在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有4C種取法； 第2類，在兩個(gè)對角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有2C種取法； 第3類，過點(diǎn)P的四條棱中，每一條棱上的兩點(diǎn)(除P外)

60、和與這條棱異面的其中一條棱的中點(diǎn)也共面，有4C種取法． 所以，滿足題意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56種． 3．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1個(gè)，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有多少種？ 解：依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有AA＝1 440種， 其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方法共有AA＝240種； 滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方法共有AA＝240種； 滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班、丁在

61、10月7日值班的方法共有AA＝48種． 因此滿足題意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008種． [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題. 1.一般不考查用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2.求二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)和特定項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，考查形式為選擇題和填空題，難度不大，屬中低檔題，如2012年廣東T10，福建T11等. [歸納·知識整合] 1．二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n

62、∈N*) 二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)C(r＝0,1，…，n) 二項(xiàng)式通項(xiàng) Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項(xiàng) [探究]　1.二項(xiàng)式(x＋y)n的展開式的第k＋1項(xiàng)與(y＋x)n的展開式的第k＋1項(xiàng)一樣嗎？ 提示：盡管(x＋y)n與(y＋x)n的值相等，但它們的展開式形式是不同的，因此應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，x，y的位置不能隨便交換． 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) [探究]　2.二項(xiàng)式(x＋y)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)就最大嗎？ 提示：不一定最大，當(dāng)二項(xiàng)式中x，y的系數(shù)均為1時(shí)，或x，y的系數(shù)均為－1，n為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)，否則不一定． [自

63、測·牛刀小試] 1．(x－y)n的二項(xiàng)展開式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是(　　) A．C　　　　　　　　　　 B．C C．C D．(－1)r－1C 解析：選D　本題中由于y的系數(shù)為負(fù)，故其第r項(xiàng)的系數(shù)為(－1)r－1C. 2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是(　　) A．42 B．35 C．28 D．21 解析：選D　依題意可知，二項(xiàng)式(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)等于C×15＝21. 3．已知8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是(　　) A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析：選C　

64、由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 4．若(1＋2x)6的展開式中的第2項(xiàng)大于它的相鄰兩項(xiàng)，則x的取值范圍是________． 解析：由題意得即 解得

65、_． (2)(2012·廣東高考)6的展開式中x3的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)． (3)(2012·福建高考)(a＋x)4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)a＝________. [自主解答]　(1)由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝(－2)3C＝－160. (2)由6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展開式中x3的系數(shù)為C＝20. (3)(a＋x)4的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系數(shù)為Ca，故

66、Ca＝8，解得a＝2. [答案]　(1)－160　(2)20　(3)2 ——————————————————— 求特定項(xiàng)的步驟 (1)根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式建立方程來確定指定項(xiàng)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n為正整數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，且r≤n)； (2)根據(jù)所求項(xiàng)的指數(shù)特征求所要求解的項(xiàng)． 1．(2012·泰安模擬)若二項(xiàng)式n的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為(　　) A．6　　　　　　　　　　　　 B．10 C．12 D．15 解析：選C　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 當(dāng)r＝4時(shí)，＝0，又n∈N*， 所以n＝12. 2．(1＋x＋x2)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________． 解析：6的展開式的通項(xiàng)為 Tr＋1＝C(－1)rx6－2r， 當(dāng)r＝3時(shí)，T4＝－C＝－20，當(dāng)r＝4時(shí)，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常數(shù)項(xiàng)為－20＋15＝－5. 答案：－5 二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和 [例2]　設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：