初一數(shù)學(xué)01有理數(shù)的巧算.ppt

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1、第一講 有理數(shù)的巧算,數(shù)的運算和表達(dá)式,所有內(nèi)容來自網(wǎng)路，如果有損你的版權(quán)，請告訴我,我立即改正。謝謝！,要求,有理數(shù)運算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的基礎(chǔ)它要求： 在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運算 要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題,1括號的使用,在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單,,由于負(fù)數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號因此進(jìn)行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，

2、尤其是要注意去括號時符號的變化,,,注意: 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計算,(2),注意: 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計算,例2,計算下式的值： 211555+445789+555789+211445 分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算,211555+445789+555789+211445,解 原式=(211555+211445) +(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =

3、2111000+1000789 =1000(211+789) =1000000 說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧,例3 計算：S=1-2+3-4++(-1)n+1n,分析 不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“-1”如果按照將第一、第二項，第三、第四項，，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號”的習(xí)慣，而取“添括號”之法 解 S=(1-2)+(3-4)++(-1)n+1n 下面需對n的奇偶性進(jìn)行討論： 當(dāng)n為偶數(shù)時，上式是n2個(-1)的和，所以有 s=-n/2 當(dāng)n為奇數(shù)時，上式是(n-1)2個(-1)的和，再加

4、上最后一項(-1)n+1n=n，所以有,,例4 在數(shù)1，2，3，，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？,分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，，1998中有19982個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1 現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然: n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 這啟發(fā)我們將1，2，3，，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上

5、述規(guī)則添加符號，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)++(1993-1994-1995+1996) -1997+1998=1 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1 說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化,2用字母表示數(shù),我們先來計算(100+2)(100-2)的值： (100+2)(100-2)=100100 -2100+2100 - 22 =100100 + (-2100+2100) - 22 =1002-22 這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)? (a+b)(a-b)=a2 -ab+ab -b2=a2 - b2 于是我們

6、得到了一個重要的計算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計算,例5 計算 30012999的值,解 30012999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8999999,例6 計算 1039710009的值,解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99999919,例7 計算,分析與解 直接計算繁仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 34

7、6，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1，所以原式=24690,,例8 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1),分析 式子中2，22，24，每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)運用(a+b)(a-b)=a2-b2了 解 原式= (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232

8、+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1,例9 計算,分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b),,,,例10 計算,我們用一個字母表示它以簡化計算,,,,,3觀察算式找規(guī)律,例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們的總分與平均分 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下

9、，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為 9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799， 平均分為 90+(-1)20=89.95,例12 計算1+3+5+7++1997+1999的值,分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法 解 用字母S表示所求算式，即 S=

10、1+3+5++1997+1999 再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995++3+1 將，兩式左右分別相加，得 2S=(1+1999)+(3+1997)++(1997+3)+(1999+1) =2000+2000++2000+2000(500個2000) =2000500 從而有 S=500000 說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5==1999-1997，都等于2),，這一列數(shù)叫等差數(shù)列，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決。一般有公式:（第一項+ 最后一項） 2 項數(shù),例13 計算 1+5+52+5

11、3++599+5100的值,分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算 解 設(shè) S=1+5+52++599+5100， 所以 5S= 5+52+53++5100+5101 得 4S=5101-1， 說明 如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)這一列數(shù)叫等比數(shù)列，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決一般有公式: S=A1*(Rn-1)/(R-1) A1 :首項 R:比例 n:項數(shù),,例14 計算：,分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計算是先通分本題通分

12、計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式 來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法 解 由于 所以 說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用,,,,,練習(xí)一 計算下列各式的值：,(1)-1+3-5+7-9+11--1997+1999 (2)11+12-13-14+15+16-17-18++99+100 (3)19911999-19902000 (4)4726342+4726352-472633472635-472634472636(5)1+4+7++244,,,練習(xí)二 計算平均分：,某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85,,,