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1、5：二次曲線的位置的確定,前面我們已經(jīng)學(xué)過了，從二次曲線的一般方程，確定二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從 而確定二次曲線的類型和形狀. 今天，我 們將要學(xué)習(xí)， 如何從二次曲線的一般方程，確定二次曲線的位置.,標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系是通過先轉(zhuǎn)軸消掉混乘項，再移軸，把坐標(biāo)原點移到對稱中心或者是頂點的辦法來得到的.,,,,,,,,,,中心型曲線位置的確定（ ）：,確定中心型曲線的對稱軸和對稱中心,,滿足這樣條件的 有兩個，二者可以相差,非退化的情形,確定坐標(biāo)軸的方向，只需要 確定 軸到 軸的角度 就 可以了.,中心型曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（在坐標(biāo)系 ）,規(guī)定橢圓的長軸在 軸，即 ； 而雙曲線的實軸在 軸，即 同號；
2、從而就可以確定,退化的情形,,,5 二次曲線與直線的相關(guān)位置,討論二次曲線,與直線,的交點，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關(guān)于t的方程,對（3）或（4）可分以下幾種情況來討論：,二次曲線的漸近方向,定義 滿足條件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.,定義 沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的， 有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的， 有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.,即1)橢圓型：I20 2)拋物型： I20 3)雙曲型： I2<0,2. 二次曲線的中心與漸近線,定義5.2.3 如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(C是二次
3、曲線的對稱中心)，那么點C叫做二次曲線的中心.,定理5.2.1 點C(x0 ,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：,推論 坐標(biāo)原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項.,二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：,如果I20，則(5.22)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo),如果I20，分兩種情況：,定義5.2.4 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.,定義5.2.5 通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的漸近線.,定理5.2.2
4、 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上 成為二次曲線的組成部分.,6：不變量的概念,二次曲線的形狀，取決于方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，它由 完全確定.,坐標(biāo)系 中的多項式,任意做一個坐標(biāo)變換，把 變成 變成下面的,問題是 是否成立?,,,,,要證明：,只要證明：,（1）,（2）,（3）,(4),定理：經(jīng)過任意的直角坐標(biāo)變換 不變，當(dāng) 時， 也不變.,由 的系數(shù)確定的函數(shù)，如果在任意的直角坐標(biāo)變換下不變，就叫做 的不變量.,在轉(zhuǎn)軸下不變，但在移軸下會改變，所以，不是不變量，通常叫做半不變量.,Klein的埃爾朗根綱領(lǐng)：,每一種幾何學(xué)研究的都是圖形在某個特定的變換群之下不變的性質(zhì).,
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