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1、第3章 平面任意力系,3.1 平面任意力系的簡化 3.2 平面任意力系簡化結(jié)果的分析 3.3 平面任意力系的平衡 3.4 物體系統(tǒng)的平衡問題 3.5 平面桁架 3.6 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題,3.1 平面任意力系的簡化,平面任意力系：各力的作用線位于同一平面內(nèi)，但呈任意分布的力系。,例,3,3.1.1 力的平移定理,,,力的平移定理：可以把作用在剛體上點A處的力F平行移到另一 點O，但必須同時附加一個力偶。該力偶之矩 等于原來的力F對新作用點O之矩。,,力的平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。,4,3.1.2 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點簡化,,,,5,一、主矢 等于原
2、力系中各力的矢量和，稱為原平面力系的主矢。,（移動效應(yīng)）,,,6,二、主矩 等于原力系中各力對于簡化中心O之矩的代數(shù)和，稱為 原平面力系對于簡化中心的主矩。,,,（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）,,,7,三、固定端約束,,認為Fi這群力在同一 平面內(nèi); 將Fi向A點簡化得一 力和一力偶; RA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示; FAx, FAy, MA為固定端 約束反力; FAx, FAy限制物體平動, MA限制物體轉(zhuǎn)動。,8,3-2 平面任意力系簡化結(jié)果的分析,3.2.1 簡化結(jié)果的分析 簡化結(jié)果： 主矢 ，主矩MO ，可能出現(xiàn)以下四種情況：,=0， MO =0，該平面任意力系為平衡力系，將在
3、下節(jié) 詳細討論。, =0,MO0 簡化為一個合力偶，其力偶矩等于原力系 對于簡化中心O的主矩。由于力偶對其平面內(nèi)任一點的矩都相等，故不論原力系向哪一點簡化，得到的合力偶矩都相同。力系的主矩與簡化中心的位置無關(guān)。, 0,MO =0, 簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時， 簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）。此時簡化結(jié)構(gòu)與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩將不再為零。,9, 0,MO 0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡化 為一個合力FR。,合力FR的大小等于原力系的主矢 點O到合力作用線的距離,,,10,3.2.2 合力矩定理,平面任意力系的合力對于點O之矩等于原力系對簡化中心O的主
4、矩，即： 原力系對簡化中心O的主矩，又等于原力系中各力對簡化中心O之矩的代數(shù)和，即 于是，便有 即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系 中各力對于同一點之矩的代數(shù)和 平面任意力系 的合力矩定理。,,,,求：合力的大小、方向及與基底AB的交點至點A的距離a。該力系的合力。,11,例 3-1,已知:重力壩，G1=450kN，G2=200kN，左側(cè)水壓力F1=300kN，右側(cè)水壓力F2=80kN，其作用線過壩體角點A。,解：,1、首先將力系向點A簡化，求得力系的主矢 和對點A的主矩MA。由圖示幾何關(guān)系： 主矢 在坐標軸上的投影分別為,,,,,12,主矢 的大小為： 其與x軸
5、正向間的夾角為,,,,,,,,力系對于點A的主矩為,2、原力系還可進一步簡化為過點C的一個合力FR，其大小和方 向與主矢 相同。設(shè)合力FR與基底AB的交點C到A的距離為a：,,求：該分布力系合力的大小及作用線位置。該力系的合力。,13,例 3-2,已知:長度為l的簡支梁AB受按三角形分布的載荷作用，如圖所示，其分布載荷集度的最大值為q0。,解：,1、建立坐標系A(chǔ)xy如圖所示，載荷集度為坐標位置x的函數(shù)。距A端為x處的載荷集度為： 整個梁上分布載荷合力的大小為,,,,,,,,方向鉛垂向下。,14,2、下面確定此合力作用線的位置。設(shè)合力的作用線距A端 的距離為a，在距A端x處取長度為dx的微段，
6、該微段上的力 q(x)dx對點A的力矩為q(x)xdx，則由合力矩定理，得： 即,,,,,,,,結(jié)論：按三角形分布的載荷，其合力的大小等于三角形線分布 載荷的面積，合力的作用線通過三角形的幾何中心。,,,積分上式，得,,15, 3.3 平面任意力系的平衡 3.3.1 平面任意力系平衡的必要與充分條件,,,平衡方程 基本形式,16,平面一般力系的平衡問題可以列出三個獨立方程， 只能求解三個未知數(shù)。,3.3.2 平衡方程的其他形式,,,求： 求支座A、B處的約束力。,17,例 3-3,已知:外伸梁受一個力偶和一個集 中力作用，尺寸如圖所示。,解：,1、選取梁作為研究對象。梁所受的主動力有力
7、偶和集中力，約束力有A處的FAx、FAy以及B處的FB，假設(shè)三個未知力的方向如圖所示。,,,,,,,,2、對研究對象列平衡方程：,,18,解以上三個方程，可得：,,,,,,,,其中FAx和FAy的值為負，說明其實際方向與假設(shè) 的方向相反。FB的值為正，說明其實際方向與假設(shè)的 方向相同。,,,,,求：固定端A處的約束力。,19,例 3-2,已知:置于鉛垂平面內(nèi)的T字形剛架，G=80 kN，M=30 kNm，F(xiàn)=200 kN，q0=20 kN/m，a =1 m。,解：,1、取T字形剛架為研究對象，其中 按三角形分布的載荷可由作用于三 角形幾何中心的集中力F1=30 kN代 替。作用于A處的約束力有
8、FAx、Fay 和約束力偶MA，假設(shè)的約束力方向 如圖所示。,,,,,,,,20,2、按圖示坐標系列平衡方程：,,,,,,,,,,解以上方程，可求得,,,,其中約束力偶中的負號說明其實際轉(zhuǎn)向與所設(shè) 轉(zhuǎn)向相反，即MA應(yīng)為順時針方向。,21,設(shè)有F1, F2 Fn 構(gòu)成平面平行力系 建立坐標系，使x軸與各力作用線 垂直，則各力在x軸上的投影等于零 平衡方程 自然滿足。這樣平 面平行力系獨立的平衡方程就只剩 下兩個：,3.3.3 平面平行力系的平衡,平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。,,,,,求：平衡重G1及其至左輪距離x的取值范圍。,22,例 3-5,已知:起重機，G
9、=500kN，重心在兩鐵軌的對稱平面內(nèi)，最大起重量G2為200kN。為保證起重機在空載和滿載時都不致傾倒。,解：,選取起重機為研究對象，其滿載時的受力如右圖所示。 1、滿載時的情況。作用于起重機上的力有起重機本身重力G、平衡重G1、吊起物的重力G2以及鋼軌約束力FA和FB。這些力組成一個平面平行力系。,,,,,,,,,23,要使起重機滿載時不向右傾倒，除滿足平衡方程：,,,,,,,,,,,,,,以外，還需滿足 的限制條件。由上式,,,所以：,2、空載時。作用于起重機上的力有起重機自身重力G、平衡重G1以及鋼軌約束力FA和FB。要使起重機在空載時不向左傾倒，除滿足平衡方程：,,以外，還需滿
10、足 的限制條件。由上式,,24,,,,,,,,,,,,,,,,得平衡重 ：,,注意到 的條件，有,,,,平衡重至左輪距離,,物體系統(tǒng)：工程中的機構(gòu)和結(jié)構(gòu)通常是由若干物體通過一定的 約束組成的系統(tǒng)。,25,3-4 物體系統(tǒng)的平衡問題,3.4.1 物體系統(tǒng),外力：系統(tǒng)以外的物體對于該系統(tǒng)的作用力叫外力。 內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。,物體系統(tǒng)平衡的特點： 取整個系統(tǒng)為研究對象時，對內(nèi)力可以不予考慮。 整個物體系統(tǒng)平衡時，其中的每一物體也都處于平衡狀態(tài)。 根據(jù)具體情況來確定，可以取整個系統(tǒng)作為研究對象，也 可以取系統(tǒng)中的某個或某幾個物體作為研究對象。,26,
11、3.4.2 靜定與超靜定的概念,,靜力學(xué)中，每一種平衡力系所對應(yīng)的獨立平衡方程的數(shù)目是一定的： 平面力偶系 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。 平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。 平面平行力系 同平面匯交力系 平面任意力系 三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。,當：獨立方程數(shù)目未知量數(shù)目時，是靜定問題（可求解） 獨立方程數(shù)目<未知量數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）,相應(yīng)的工程結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。未知量數(shù)目與獨立平衡方程數(shù)目之差稱為超靜定次數(shù)。,27,圖c所示的結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)， 圖d所示的結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)。,圖a、b所示為靜定結(jié)構(gòu)。,,例,28,3.4
12、. 3 物體系統(tǒng)平衡問題分析實例,求：A、B處的約束力和中間鉸C所傳遞的力。,例 3-6,已知:組合梁由AC和CD組成，載荷及約束情況如圖。F1=10kN，F(xiàn)2=8kN，均布載荷集度q=3kN/m，a=2m。,解：,1、在組合結(jié)構(gòu)中，有的可以分成基本部分和附屬部分。單靠本身就能承受載荷并保持平衡的部分稱為基本部分；必須依賴于基本部分才能承受載荷并維持平衡的部分稱為附屬部分。該組合梁可視為由基本部分AC和附屬部分CD組合而成。對這類問題，通常先研究附屬部分，再研究基本部分。,29,2、先取附屬部分CD為研究對象，其受力如圖所示。列平衡方程：,,,,,,,,,代入數(shù)據(jù)并求解，得,,,,,30,3、
13、再取基本部分AC為研究對象，其受力如圖所示，列平衡方程：,,,,,,,,,,,,,,,,,代入數(shù)據(jù)并求解，得,,,,31,求：支座A、B處的約束力。,例 3-7,已知:三鉸剛架，F(xiàn)=20kN，q=30kN/m，a=2m。,解：,1、對于一般情況，先取整體為研究對象，待求出部分約束力后再研究其中的一部分，以求出其余的約束力。 取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：,,,,32,2、再取折桿CB為研究對象。對CB部分來講，鉸鏈C所傳遞的力屬于外力，故應(yīng)予以考慮。該部分的受力如圖所示。列平衡方程：,,,,,,,,,代入數(shù)據(jù)并求解，得,,,,可解得,,,,,,,,,33,求：支座A、B處的約束
14、力。,例 3-8,已知:已知力F和尺寸a，各構(gòu)件重量及摩擦不計。,解：,1、先取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：,,,,解得：,MB(F) = 0， FAy2a Fa = 0 Fy = 0, FAy + FBy F = 0 Fx = 0, FAx + FBx = 0,,34,2、再研究桿EH，其受力如右圖所示，由：,,,,,,,,,代入數(shù)據(jù)并求解，得,,,,,,,,,,,,MC(F) = 0， FE a sin45Fa = 0,解得：,,3、最后研究桿AD，其受力如右圖所示，由：,MD(F) = 0， FAx2a FAy2a FE a=0,,35,求：當機構(gòu)平衡時作用在
15、滑塊D上的水平力F的值。,例 3-9,已知: a=0.1m，l=0.5m， , 。,解：,本題屬于求機構(gòu)平衡時主動力之間關(guān)系的問題。對這類機構(gòu)進行受力分析時，通常是由已知到未知依傳動順序選取研究對象，逐一求解。 1、首先以曲柄OA為研究對象，其受力如圖所示，列平衡方程：,,,,,,,,,解得：,36,2、再取桿CB 、BD和滑塊D的組合為研究對象，其受力如圖所 示?？紤]到桿CB為二力桿，故C處的約束力FC沿CB方向。為簡 化計算，將各力對FC和FD的交點E取矩，有：,,,,,,,,,代入數(shù)據(jù)并求解，得,,,,,,,,,,,,,,,,37,3-5 平面桁架,3.5. 1 平面桁架的假設(shè),桁
16、架：由若干桿件在兩端用鉸鏈連接而成，且所有載荷都作用 在節(jié)點上的結(jié)構(gòu)。各桿件軸線都處在同一平面內(nèi)的桁架 稱為平面桁架。,平面桁架的假設(shè)： 1、各桿在兩端用光滑鉸鏈彼此連接。 2、各桿的軸線平直且在同一平面內(nèi)，并通過鉸鏈的幾何中心。 3、載荷和支座約束力都作用在節(jié)點上，且位于桁架的平面內(nèi)。 4、各桿件自重或忽略不計，或平均分配在桿件的兩端節(jié)點上。 桁架中的桿件均可視為二力桿，只承受拉力或壓力作用。,求桁架內(nèi)力常常采用節(jié)點法和截面法。,38,解：首先以桁架整體為研究對象，求出支座約束力。桁架受力如圖所示，對整體列平衡方程,3.5.2 節(jié)點法,通過依次取各節(jié)點為研究對象，利用平面匯交力
17、系的平衡條件求出各桿內(nèi)力的方法稱為節(jié)點法。,試求：圖中所示桁架各桿的內(nèi)力。,例3-10,,解上述方程，得：,,39,由于本桁架結(jié)構(gòu)及其所受外力都對稱于中線ED，各相應(yīng)對稱桿件的內(nèi)力必然相等。因此，只計算中線ED左側(cè)各桿的內(nèi)力即可。 取節(jié)點A 為研究對象。假設(shè)桿AC和AD均受拉力，則節(jié)點A的受力如圖所示。對節(jié)點A列平衡方程：,,解上述方程，得：,,,,,其中FAC得負值，說明桿AC受壓；FAD得正值，說明桿AD受拉。,再取節(jié)點C為研究對。則節(jié)點C的受力如圖所示。使y軸與未知力FCE垂直，對節(jié)點C列平衡方程：,,40,,,,,最后，取節(jié)點E為研究對象，其受力如圖所 示。對節(jié)點E列平衡方程：,,解
18、上述方程，并注意到 ，得：,,,解上述方程，并注意到 ，得：,,41,3.5.3 截面法,選擇適當?shù)慕孛?，假想地把桁架截為兩部分，取其中一部分為研究對象，求出被截桿件內(nèi)力的方法稱為截面法。,解：首先求支座約束力。取桁架整體為研究對象，其受力情況如圖所示。對整個結(jié)構(gòu)列平衡方程：,試求：CD、DH和HG三桿的內(nèi)力 。,例3-11,解上述方程，得：,已知: F1=10kN，F(xiàn)2=7kN， 各桿長度均為a=1m。,,,42,其次，為求CD、DH和HG三桿的內(nèi) 力，可假想用截面m-n將三根桿截斷， 把桁架分為兩部分，取左邊部分為研 究對象，其受力如圖所示。,,解上述方程，得：,,
19、,,,,,,對左邊部分列平衡方程，有：,43,1、摩擦力：當兩個相互接觸的物體產(chǎn)生相對運動或具有 相對運動趨勢時，會在接觸部位產(chǎn)生一種阻 礙對方相對運動的阻礙作用。,2、滑動摩擦力：當相對運動為滑動或具有相對滑動 趨勢時相應(yīng)的摩擦力。 3、滾動摩擦力偶：當相對運動為滾動或具有相對滾 動趨勢時，相應(yīng)的摩擦力實際上 是一種力偶。,3-6 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題,幾個概念：,44,3.6.1 滑動摩擦,一滑動摩擦定律,,,,運動狀態(tài)：靜止： 臨界：（將動未動）靜滑動摩擦力達到極限 值，稱為最大靜摩擦力，以F
20、max表示。 滑動：這時的摩擦力稱為動滑動摩擦力：,滑動摩擦的特征 大?。? 。 方向：與物體相對滑動方向或運動趨勢方向相反。 摩擦因數(shù)：無量綱比例系數(shù)f 和f 分別稱為靜摩擦因數(shù)和動 摩擦因數(shù)。它們與接觸物體材料的性質(zhì)、接觸 面的狀態(tài)（如光潔度、溫度、濕度、潤滑情況 等）等因素有關(guān)，一般由實驗測定，可在有關(guān) 工程手冊中查到。,45,,,46,二、摩擦角的概念： 定義： 當摩擦力達到最大靜摩擦力時，全約束力FR與接 觸面法線的夾角也達到其最大值 ，這個角稱為兩接觸物體的摩擦角。,即摩擦角的正切值等于靜摩擦因數(shù)，故摩擦角也是
21、反映物體間摩擦性質(zhì)的一個物理量。,,計算：,三、自鎖條件 定義： 當物體依靠接觸面間的相互作用的摩擦力與即全反力，自己把自己卡 緊，無論外力多大都不會松開的現(xiàn)象稱為自鎖。,47,自鎖條件：,48,3.6.2 考慮摩擦?xí)r的平衡問題,考慮具有摩擦的物體或物體系統(tǒng)的平衡問題，其解法與平面任意力系在原則上并無差別,只是在進行受力分析時要考慮摩擦力。而且具有摩擦的平衡問題的解往往以不等式的形式給出一個平衡范圍。,解：根據(jù)題意，如F1的值太小，物塊將下滑；如F1的值過大，又將使物塊上滑，所以需分兩種情形加以討論。 1、先求恰能維持物塊不致下滑所需的F1最小值F1min。這時物塊仍有下滑趨勢，摩擦力向上
22、，其受力情況如圖所示。對物塊列平衡方程：,試求：F1的取值范圍 。,例3-12,已知:重為G的物塊放在傾角為的斜面上，大于摩擦角。物塊與斜面間的摩擦因數(shù)為fs。有一水平力F1使物塊保持靜止 。,49,,,,,在極限情況下，補充物理方程,,解方程，得：,,,考慮到,,2、再求不致使物塊向上滑動的F1的最大值F1max。這時物塊處于臨界狀態(tài)，有向上滑動趨勢，摩擦力向下，如圖所示。對物塊列出平衡方程：,,,,補充物理方程：,50,,,,,,,,,解方程，得：,考慮到,,,由此可知，要維持物塊平衡，作用力F1的值應(yīng)滿足的條件是:,,這便是所求的平衡范圍。,51,求：（1） F=1.2kN時，棱柱體是否
23、處于平衡狀態(tài)；（2）能保持棱柱體平衡的力F的最大值 。,例 3-13,解：,,,,,,,,,,,已知:均質(zhì)棱柱體重G=4.8kN，其高度h=2m， 寬度b=1m，放置在水平面上。與水平面之間的靜摩擦因數(shù) , 。,,,1、棱柱體的受力如右圖所示，要保持棱柱體平衡，必須滿足如下兩個條件：一是不發(fā)生滑動，要求靜摩擦力小于等于最大摩擦力，即 ，二是不繞角點B傾倒，這就要求法向約束力FN的作用線距中心點的距離,52,2、為求保持棱柱體平衡的最大拉力Fmax，可分別求出棱柱體即將滑動時的臨界拉力F1max和即將繞B點傾倒時的臨界拉力F2max，二者中較小者即為所求。,,,,,,,,,
24、,,,,,,,,,,,,,,,對棱柱體列平衡方程：,,,,可解得,,,,而棱柱體與地面間的最大摩擦力為,,結(jié)果分析: 靜摩擦力Fs的值小于最大摩擦力，棱柱體不會滑動。又由于d小于b/2=0.5m，棱柱體不會傾倒。所以，當F=1.2kN時棱柱體處于平衡狀態(tài)。,53,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,棱柱體將要滑動的條件為：,,,,,,,棱柱體將繞B點傾倒的條件是d = b/2,因此:,,將其代入前面的公式, 可求得:,,,故保持棱柱體平衡的最大拉力為,,結(jié)論：當拉力F逐漸增大時，棱柱體將由于先傾倒而失去平衡。,1、分析：本系統(tǒng)存在三種可能的臨界平衡狀態(tài)：1）輪軸B與固定面接觸處的摩擦
25、力FB首先達到最大值，對應(yīng)于輪軸繞E作純滾動；2）物塊A與固定面接觸處的摩擦力FA首先達到最大值，對應(yīng)于輪軸繞B作純滾動；3）FA和FB同時達到最大值，此時輪軸沿水平面既滾動又滑動。,54,求：使此物體系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)時物塊Q的最大值Qmax。,例 3-14,已知:物塊A重GA=100kN，輪軸B重GB=100kN 。重物A 與水平面的摩擦因數(shù)fA=0.5，輪軸B與水平面的摩擦因數(shù)fB=0.2，輪的半徑R=100mm，軸的半徑r=50mm，不計其余物體的重量。,解：,,,,,,,,,55,分別取輪軸B和物塊A作為研究對象，其受力如圖所示。,,,,,,,,,對物塊A列平衡方程：,,,,,,,,,,,,,,,,2、第一種可能出現(xiàn)的臨界狀態(tài)，此時下列兩條件應(yīng)同時成立：,,,,,,對輪軸B列平衡方程：,,,56,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,將方程聯(lián)立求解，得：,,,,可求出輪軸上繩索的拉力FT的值：,,,,,,,,假設(shè)條件 成立，得：,,,該值與A處的摩擦力FA的值相等，即,,,而:,結(jié)論：在A處的摩擦力尚未達到最大值以前，B處的摩擦力已經(jīng)達到最大值。系統(tǒng)平衡的臨界狀態(tài)是輪軸繞E作純滾動。故使此系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)時Q的最大值為Q max=38.5kN。,
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