2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差課件 理 新人教A版.ppt

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1、第8節(jié)離散型隨機變量的均值與方差,考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題.,知 識 梳 理,1.離散型隨機變量的均值與方差,若離散型隨機變量X的分布列為,x1p1x2p2xipixnpn,(1)均值 稱E(X)_為隨機變量X的均值或_，它反映了離散型隨機變量取值的_.,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aXb)_. (2)D(aXb)_ (a，b為常數(shù)). 3.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)_. (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(

2、X)_.,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,aE(X)b,a2D(X),p(1p),np(1p),微點提醒,基 礎(chǔ) 自 測,1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).() (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量.() (3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.() (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事.() 解析均值即期望值刻畫了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不

3、正確. 答案(1)(2)(3)(4),2.(選修23P68A1改編)已知X的分布列為,設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為(),答案A,3.(選修23P68練習(xí)2改編)若隨機變量X滿足P(Xc)1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_. 解析P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 答案0,4.(2018浙江卷)設(shè)0p1，隨機變量的分布列是,則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時() A.D()減小 B.D()增大 C.D()先減小后增大 D.D()先增大后減小,答案D,5.(2019北京延慶區(qū)調(diào)研)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：,若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相

4、等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_.,解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)E(X)，故乙技術(shù)好. 答案乙,6.(2017全國卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_. 解析有放回地抽取，是一個二項分布模型，其中p0.02，n100， 則D(X)np(1p)1000.020.981.96. 答案1.96,考點一離散型隨機變量的均值與方差,解(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，,(2)由題設(shè)甲、乙所付費用之和為，可能取值為0，40，80

5、，120，160，則：,的分布列為,規(guī)律方法(1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算. (2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.,解(1)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，,所以，隨機變量X的分布列為,(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為,考點二二項分布的均值與方差 【例2】 (2019順德一模)某市市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了1

6、00位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.,(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點后2位) (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值.,解(1)前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，,設(shè)a0.2d，b0.22d，c0.23d， 0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131， 解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.,居民月用水量在22.5內(nèi)的頻率為0.5

7、0.50.25. 居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)為0.2510025.,(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.70.8， 為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，,(3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7， 由題意，XB(3，0.7)，,X的分布列為,XB(3，0.7)，E(X)np2.1.,規(guī)律方法二項分布的均值與方差. (1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計算量. (2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE(

8、)b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab).,【訓(xùn)練2】 (2019湘潭三模)某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進一批生蠔，并隨機抽取了40只統(tǒng)計質(zhì)量，得到結(jié)果如表所示：,(1)若購進這批生蠔500 kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批生蠔的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))； (2)以頻率視為概率，若在本次購買的生蠔中隨機挑選4個，記質(zhì)量在5，25)間的生蠔的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解(1)由表中的數(shù)據(jù)可以估算一只生蠔的質(zhì)量為,所以購進500 kg生蠔，其數(shù)量為500 00028.517 544(只).,由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，,X的分布列為,考點三均值

9、與方差在決策問題中的應(yīng)用 【例3】 某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：,解若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為,若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥. 綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.,規(guī)律方法隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.,【訓(xùn)練3

10、】 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.,(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：,若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元.欲使

11、水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？,由二項分布，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為,(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元). 安裝1臺發(fā)電機的情形. 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1， 對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.,安裝2臺發(fā)電機的情形. 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200， 因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2； 當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000210 000， 因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8. 由此得Y的分布列如下：,所以

12、，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.,安裝3臺發(fā)電機的情形. 依題意，當(dāng)40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000315 000， 因此P(Y15 000)P(X120)p30.1. 因此得Y的分布列如下：,所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.,思維升華 基本方法 1.已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； 2.已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； 3.如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解.,易錯防范 1.在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式. 2.對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差.,