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1、
第83課時：第九章 直線、平面、簡單幾何體——立體幾何小結
課題：立體幾何小結
一．課前預習：
1．已知兩條異面直線所成的角為，直線與，直線與所成的角為，則的范圍是 （ ）
2．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、B C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為（ ）
90° 60° 45° 30°
3．長方體的一個頂點上三條棱長分別為，該長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為
2、
4．直角三角形的斜邊在平面內，與平面分別成的角，若，則在平面內的射影構成的三角形的面積為 5
二．例題分析：
例1．已知斜三棱柱中，
，點是與的交點，
（1）基向量表示向量；（2）求異面直線與所成的角；
（3）判定平面與平面
解：設
（1）
（2）由題意，可求得，，
，，，
∴異面直線與所成的角為
（3）取的中點，連結，則
∵，∴，且，∴
∴，平面，∴平面與平面
例2．如圖在四棱錐中，底面是，且邊長為的菱形，側面為正三角形，其所在平面垂直于底面。
（1）若為邊的中點，求證：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）若為
3、邊的中點，能否在棱上找到一點，使平面平面，并證明你的結論。
（1）∵為正三角形，為邊的中點，∴，
∵平面垂直于底面，∴底面，∴
在菱形中，，
∴，
∴為直角三角形，
且，，∴平面
（2）由（1）知底面，，
∴，
∴是二面角的平面角，
∵，∴，∴
（3）∵為邊的中點，∴，∴，取的中點，連結，
則，∵，∴平面，∴平面平面，∴點存在，且為的中點。
例3．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，側棱長為
（1）與能否垂直？請證明你的判斷；（2）當在上變化時，求異面直線與所成角的取值范圍。
解：∵菱形中，于，設，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則
（1
4、）∵，
∴
∴與不能垂直。
（2）∵，∴，
∵∴，
，
∵，∴設，又，
∴
∵，∴
∴直線與所成角的取值范圍是。
三．課后作業(yè)：
1．直線，和不同平面滿足：和那么必有（ ）
且且且且
2．在棱長為的正四面體中，分別是的中點，則（ ）
3．在空間直角坐標系中，已知，平面，垂足為，直線交平面于點，則點的坐標為（ ）
4．．給出下列四個命題：①如果直線平面，且，則直線與平面的距離等于平面與平面的距離；②兩條平行直線分別在兩個平行平面內，則這兩條平行直線的距離等于這兩個平行平面間的距離；③異
5、面直線分別在兩個平行平面內，則的距離等于這兩個平面的距離；④若點在平面內，平面//平面，則到平面的距離等于平面與平面的距離。則其中所有正確的命題的序號是
5．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，側棱長為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是側棱CC1上一點，且BD與底面所成角為30°.
（1）求點D到AB所在直線的距離.
（2）求二面角A1－BD－B1的度數.
6．已知三棱錐中，與是兩個共斜邊的等腰直角三角形，為上一點，平面，點分別是的中點，
（1）求的長；
（2）求直線與直線夾角的余弦值；
（3）求證：
7．如圖，已知正四面體P－ABC中，棱AB、PC的中點分別是M、N．
（1）求異面直線BN、PM所成的角；（2）求BN與面ABC所成的角．
C
B
M
P
N
A
5
用心 愛心 專心
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