（山西專用）2019中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt

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1、第14講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一二次函數(shù)中的線段問題(5年2考) 與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合,用含有變量的關(guān)系式表示線段的長,也可以結(jié)合自變量的取值范圍,確定線段的最值.,夯基礎(chǔ)學(xué)易,1.(2018貴港)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式; (2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn),PHx軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)M,連接PC. 求線段PM的長的最大值; 當(dāng)PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).,解析(1)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得 解得 這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y

2、=x2-2x-3. (2)設(shè)BC的解析式為y=kx+b(k0), 將B,C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得解得 BC的解析式為y=x-3, 設(shè)M(n,n-3)(0

3、. 綜上所述:P(2,-3)或(3-,2-4).,學(xué)法提點(diǎn) 本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用,解(1)問的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;解(2)問的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù),又利用了二次函數(shù)的性質(zhì);解(2)問的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于n的方程,要分類討論,以防遺漏.,考點(diǎn)二二次函數(shù)中的分類討論問題(5年5考) 與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合,考查綜合解決問題的能力,同時(shí)滲透分類討論的思想.,2.(2018湖南衡陽,25,10分)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C

4、,交拋物線于點(diǎn)D. (1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;,(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí),是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.,解析(1)如圖1, 圖1,y=-2x2+2x+4=-2+,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為,將x=代入y=-2x+4,得y =-2+4=3,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為. 不存在.理由如下:MN=-3=,假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P, 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4), PD=

5、-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m, PDMN, 當(dāng)PD=MN時(shí),四邊形MNPD為平行四邊形,即-2m2+4m=,,解得m1=(舍去),m2=,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為, PN==,PNMN, 平行四邊形MNPD不是菱形, 不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形. (2)存在.如圖2,OB=4,OA=2,則AB==2,,圖2,當(dāng)x=1時(shí),y=-2x+4=2,則P(1,2), PB==,,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4(a0), 把A(2,0)代入得4a+2b+4=0, 解得b=-2a-2, 拋物線的解析式為y=ax2-2(a+1)x+4, 當(dāng)x=1時(shí),y=ax2-2(a+1)x+4

6、=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a),PD=2-a-2=-a, DCOB,DPB=OBA, 當(dāng)=時(shí),PDBBOA,即=,解得a=-2,此時(shí)拋物線解析式為y =-2x2+2x+4;,當(dāng)=時(shí),PDBBAO,即=,解得a=-,此時(shí)拋物線解析式為y=- x2+3x+4. 綜上所述,滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4.,學(xué)法提點(diǎn) 此題看似是相似三角形的分類,其本質(zhì)是直角三角形的分類,即BPD為直角三角的分類討論,結(jié)合圖形可知BPD不可能為直角,因此PBD,BDP為直角為此題的突破口.,考點(diǎn)三二次函數(shù)中的面積問題(5年2考) 二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合,用含變量的關(guān)系

7、式表示圖形的面積,進(jìn)而確定圖形面積的最值.,3.(2018遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3,且與x軸相交 于A,B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)),與y軸交于C點(diǎn). (1)求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);,(2)若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),則是否存在一點(diǎn)P,使PBC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出PBC的最大面積;若不存在,試說明理由.,解析(1)拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3, -=3,解得a=-, 拋物線的解析式為y=-x2+x+4. 當(dāng)y=0時(shí),-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐

8、標(biāo)為(8,0). (2)當(dāng)x=0時(shí),y=-x2+x+4=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4). 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k0).,將B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,得解得 直線BC的解析式為y=-x+4. 假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,過點(diǎn)P作PDy軸,交直線BC于點(diǎn) D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,如圖所示.,PD=-x2+x+4-=-x2+2x, SPBC=PDOB=8=-x2+8x=-(x-4)2+16.,-1<0,當(dāng)x=4時(shí),PBC的面積最大,最大面積是16. 0

9、數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積,解題的關(guān)鍵:(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值;(2)根據(jù)三角形的面積公式找出SPBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.,類型一二次函數(shù)中的線段問題,研真題優(yōu)易,例1(2018山西,23,13分)綜合與探究 如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C, 連接AC,BC.點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PMx軸,垂足為點(diǎn)M,PM交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PEAC交x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.,(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo); (2)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是

10、等腰三角形.若存在,請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;,(3)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長,并求出m為何值時(shí)QF有最大值.,命題亮點(diǎn) 本題考查學(xué)生的推理能力,運(yùn)算能力,幾何直觀能力等,試題開放且綜合性強(qiáng). 解題思路 用含變量的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo),線段的長度,結(jié)合變量的取值范圍,確定線段的最值.,開放解答 答案(1)由y=0,得x2-x-4=0, 解得x1=-3,x2=4. 點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(4,0).,由x=0,得y=-4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4). (2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(1,-3). 詳解:當(dāng)CA=CQ時(shí),如圖1,,圖1,AC==5,BC==4, BQ=4-5.

11、 OB=OC,OCB=OBC=45. MQ=MB==4-, OM=OB-MB=,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 當(dāng)AC=AQ時(shí),如圖2,AQC=ACQ,,圖2 ACO+OCB=QAB+QBA. OB=OC,OCB=OBC,ACO=QAM.,又AOC=QMA,AOCQMA, OC=AM=4,OA=QM=3, OM=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-3). 綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(1,-3). (3)解法一:如圖3,過點(diǎn)F作FGPQ于點(diǎn)G,,圖3 則FGx軸. 由B(4,0),C(0,-4),得OBC為等腰直角三角形.,OBC=QFG=45. GQ=FG=FQ. PEAC,1=2. FGx軸,2=3.1=3. FGP=A

12、OC=90, FGPAOC. =,即=. GP=FG=FQ=FQ.,QP=GQ+GP=FQ+FQ=FQ.FQ=QP. PMx軸,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, MBQ=45, QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4. QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m. QF=QP==-m2+m. -<0,QF有最大值.,當(dāng)m=-=2時(shí),QF有最大值. 解法二:如圖4, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為,BM=4-m.,圖4 BMQ是等腰直角三角形, BQ=BM=4-m.,PEAC, 2=1. 又PME=AOC=90, EMPAOC, =, =, 即EM=-m2+m+3.,BE=EM+MB=-m2

13、-m+7. PEAC, BEFBAC, =, =, 即BF=-m2-m+4. QF=BF-BQ=-m2+m=-(m-2)2+.,-<0, 當(dāng)m=2時(shí),QF有最大值,為.,類型二二次函數(shù)中的分類討論問題,例2(2016山西,23,14分)綜合與探究 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,連接CE,已知點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為(-2,0),(6,-8).,(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo); (2)試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F,使FOEFCE,若存在,請(qǐng)直接

14、寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為(0,m),直線PB與直線l交于點(diǎn)Q.試探究:當(dāng)m為何值時(shí),OPQ是等腰三角形.,命題亮點(diǎn) 本題考查學(xué)生的推理能力,運(yùn)算能力,幾何直觀能力等,滲透分類討論思想,試題開放且綜合性強(qiáng). 解題思路 通過對(duì)第(1)(2)問的分析,可以知OCE為等腰三角形,以此為突破口,構(gòu)造一個(gè)與OCE相似的三角形,進(jìn)而構(gòu)造出等腰三角形OPQ.,開放解答 解析(1)拋物線y=ax2+bx-8經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),D(6,-8),解得 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-3x-8. y=x2-3x-8=(x-3)2-, 拋物線的對(duì)稱軸為直線

15、x=3. 又拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0). 設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=kx(k0). 點(diǎn)D(6,-8)在直線l上,6k=-8,解得k=-. 直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-x. 點(diǎn)E為直線l和拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn), 點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3,縱坐標(biāo)為-3=-4, 即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,-4). (2)拋物線上存在點(diǎn)F,使FOEFCE.,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3-,-4)或(3+,-4). (3)解法一: 分兩種情況:當(dāng)OP=OQ時(shí),OPQ是等腰三角形.,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,-4), OE==5. 過點(diǎn)E作直線MEPB,交y軸于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H, 則=. OM=OE=5.

16、 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-5). 設(shè)直線ME的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x-5(k10). 3k1-5=-4,解得k1=.ME的函數(shù)表達(dá)式為y=x-5.,令y=0,得x-5=0,解得x=15.點(diǎn)H的坐標(biāo)為(15,0). 又MHPB,=,即=,m=-. 當(dāng)QO=QP時(shí),OPQ是等腰三角形.,當(dāng)x=0時(shí),y=x2-3x-8=-8, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-8). CE==5. OE=CE.1=2. 又QO=QP,1=3. 2=3,CEPB. 設(shè)直線CE交x軸于點(diǎn)N,其函數(shù)表達(dá)式為y=k2x-8(k20), 3k2-8=-4,解得k2=.CE的函數(shù)表達(dá)式為y=x-8.,令y=0,得x-8=0.x=6.點(diǎn)N的坐標(biāo)為

17、(6,0). CNPB,=,=,解得m=-. 綜上所述,當(dāng)m的值為-或-時(shí),OPQ是等腰三角形. 解法二:設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交直線PB于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)H.分兩種情況: 當(dāng)QO=QP時(shí),OPQ為等腰三角形.,當(dāng)x=0時(shí),y=x2-3x-8=-8, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-8). 點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,-4),,OE==5, CE==5, OE=CE, 1=2. 1=3, 2=3, PBCE. 又HMy軸, 四邊形PMEC是平行四邊形.,EM=CP=-8-m. HM=HE+EM=4+(-8-m)=-4-m,BH=8-3=5. HMy軸, BHMBOP, =, =, m=-. 當(dāng)OP=OQ時(shí),OPQ為等腰

18、三角形.,EHy軸, OPQEMQ, =,,EQ=EM. EM=EQ=OE-OQ=OE-OP=5-(-m)=5+m. HM=4-(5+m)=-1-m. EHy軸, BHMBOP. =. =, m=-. 當(dāng)m的值為-或-時(shí),OPQ為等腰三角形.,(原創(chuàng))綜合與探究 如圖,拋物線y=-x2+ax+b經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(5,0),與y軸交于點(diǎn)C,直線x=2,與x軸交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱. (1)請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo); (2)連接CD,BD,BC,請(qǐng)求出BDC的面積; (3)點(diǎn)M是直線DF上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)M,N,E為頂點(diǎn)的三角形

19、,是等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).,解析(1)拋物線y=-x2+ax+b經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(5,0), 解得a=6,b=-5. 拋物線的表達(dá)式為y=-x2+6x-5. 將x=2代入表達(dá)式得D(2,3),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3, 點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,E(4,3). (2)將x=0代入y=-x2+6x-5得y=-5,C(0,-5), 設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b(k0), 直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(5,0),C(0,-5),,解得k=1,b=-5, y=x-5,將x=2代入得y=-3,直線BC與DF的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,-3), =+=DGBF+DGOF=15. (3

20、)(3,0)或(-3,0)或(5,0)或(-1,0).,命題點(diǎn)一二次函數(shù)中的線段問題,試真題練易,1.(2017山西,23,14分)綜合與探究 如圖,拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸 交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),連接PQ.過點(diǎn)Q作QDx軸,與拋物線交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E.連接PD,與BC交于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t0).,(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式; (2)直接寫出P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含t的代

21、數(shù)式表示,結(jié)果需化簡(jiǎn));,在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)PQ=PD時(shí),求t的值; (3)試探究在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn).若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值與點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.,解析(1)令y=0,得-x2+x+3=0.解得x1=-3,x2=9, 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,0). 令x=0,得y=3, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3). 設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k0), 由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得解得 直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.,(2)P,D. 過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G,PHQD于點(diǎn)H.,QDx軸,四邊形PGQH是矩形, HQ=PG.PQ=PD,PHQD

22、, DQ=2HQ=2PG. P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-3,t,9-2t,-t2+t, -t2+t=2t, 解得t1=0(舍去),t2=,當(dāng)PQ=PD時(shí),t的值為. (3)存在.t=3,F.,命題點(diǎn)二二次函數(shù)中的分類討論與圖形面積問題,2.(2014山西,24,13分)綜合與探究 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC是平行四邊形,A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(-2,3),拋物線W經(jīng)過O,A,C三點(diǎn),D是拋物線W的頂點(diǎn). (1)求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)將拋物線W和OABC一起先向右平移4個(gè)單位后,再向下平移m(0

23、過程中,設(shè)OABC與OABC的重疊部分的面積為S,試探究:當(dāng)m為何值時(shí)S有最大值,并求出S的最大值;,(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取最大值時(shí),設(shè)此時(shí)拋物線W的頂點(diǎn)為F,若點(diǎn)M是x軸上 的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線W上的動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以D,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.,解析(1)拋物線W過原點(diǎn)O(0,0),設(shè)拋物線W的解析式為y=ax2+bx(a0). 拋物線W經(jīng)過A(4,0),C(-2,3)兩點(diǎn), 解得 拋物線W的解析式為y=x2-x. y=x2-x=(x-2)2-1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1). (2)由OABC得,CBOA,CB=OA=4. 又C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3).,如圖,過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E,由平移可知,點(diǎn)C在BE上,且BC=m.,BE=3,OE=2,EA=OA-OE=2. 設(shè)CB與BA交于點(diǎn)G,CO與x軸交于點(diǎn)H,,CBx軸,BCGBEA. =,即=, CG=BC=m. 由平移知,OABC與OABC的重疊部分的四邊形CHAG是平行四邊形. S=CGCE=m(3-m)=-m2+2m=-+. -<0,且0