《備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理（含解析）（30頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（1）了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.（2）理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn).（4）知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式（1）次方根的概念與性質(zhì)次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性質(zhì)當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).這時，的次方根用符號表示.當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.0的任
2、何次方根都為0，記作.（2）根式的概念與性質(zhì)根式概念式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).性質(zhì).當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)為偶數(shù)時，.【注】速記口訣：正數(shù)開方要分清，根指奇偶大不同，根指為奇根一個，根指為偶雙胞生負(fù)數(shù)只有奇次根，算術(shù)方根零或正，正數(shù)若求偶次根，符號相反值相同負(fù)數(shù)開方要慎重，根指為奇才可行，根指為偶無意義，零取方根仍為零2實(shí)數(shù)指數(shù)冪（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是.于是，在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定且.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后
3、，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：；.（3）無理數(shù)指數(shù)冪對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù).一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是.【注】指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)：僅有自變量x；(
4、3)系數(shù)：ax的系數(shù)是1.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y=ax與y=ax的圖象關(guān)于y軸對稱過定點(diǎn)過定點(diǎn)，即時，單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，底數(shù)對圖象的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中0cd1ab.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大.【注】速記口訣：指數(shù)增減要看清，抓住底數(shù)不放松；反正底數(shù)大于0，不等于1已表明；底數(shù)若是大于1，圖象從下往上增；底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減；
5、無論函數(shù)增和減，圖象都過(0，1)點(diǎn)3有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域若a的范圍不確定，則需對a進(jìn)行討論求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令u=f(x)，xm，n，如果復(fù)合的兩個函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在m，n上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在m，n上是減函數(shù)(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后分析式子與f(x)的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性二是圖象法，作出函數(shù)的圖象或從已
6、知函數(shù)圖象觀察，若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性考向一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答(5)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算(6)將根式化為指數(shù)運(yùn)算較為方便，對于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示如果有特殊要求，要根據(jù)要求寫出結(jié)果但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指
7、數(shù).典例1 化簡并求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.【名師點(diǎn)睛】把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再按照冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可1_考向二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題指數(shù)函數(shù)y=ax(a0，且a1)的圖象變換如下：【注】可概括為：函數(shù)y=f(x)沿x軸、y軸的變換為“上加下減，左加右減”典例2 函數(shù)y=axa(a0，且a1)的圖象可能是【答案】C【解析】當(dāng)x=1時，y=a1a=0，所以y=axa的圖象必過定點(diǎn)(1，0)，結(jié)合選項(xiàng)可知選C.2函數(shù)的圖像是ABCD考向三指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1比較冪的大小的常用方法：(1)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)
8、的單調(diào)性來判斷；(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較2解指數(shù)方程或不等式簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進(jìn)行分類討論典例3 設(shè)，則的大小關(guān)系是ABCD【答案】A【解析】對于函數(shù)，在其定義域上是減函數(shù)，即.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，可知，即.從而.故A正確.【名師點(diǎn)睛】不管是比較指數(shù)式的大小還是解含指數(shù)式的不等式，若底數(shù)含有參數(shù)，需注意對參數(shù)的值分與兩種情況討論.3設(shè)
9、，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則ABCD典例4 設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時，不等式可化為，即，解得；當(dāng)時，不等式可化為，所以故的取值范圍是.故選C【名師點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別討論當(dāng)及時，的取值范圍，最后綜合即可得出結(jié)果4若，則ABCD考向四指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值或范圍問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化求解，同時要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時進(jìn)行分類討論2指數(shù)函數(shù)的綜合問題要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合，同時要特別注意底數(shù)不確定時，對底數(shù)的分類討論.典例5 已知函數(shù)，則fx
10、是A奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在0,+上是增函數(shù)C奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D偶函數(shù)，且在0,+上是減函數(shù)【答案】C【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則，所以是奇函數(shù)，顯然函數(shù)是減函數(shù).故選C5若函數(shù)f(x)=3x3x與g(x)=3x3x的定義域均為R，則Af(x)與g(x)均為偶函數(shù)Bf(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)Cf(x)與g(x)均為奇函數(shù)Df(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)典例6 若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時，f（x），單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f(2)=1；當(dāng)x2時，f（x）單調(diào)遞增，若滿足題意，只需恒成立，即恒成立，a
11、0.故選D典例7 函數(shù)的值域?yàn)開【答案】(0，2【解析】設(shè)，又由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求解由題意，設(shè)，又由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，知當(dāng)時，即函數(shù)的值域?yàn)?若關(guān)于的不等式的解集包含區(qū)間，則的取值范圍為ABCD1計(jì)算：A3 B2 CD2若函數(shù)f(x)=2x,x1-log2x,x1，則函數(shù)f(x)的值域是A(-,2)B0,+)C(-,0)(0,2)D(-,23設(shè)，則的大小關(guān)系是ABCD4函數(shù)f(x)=12x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為A0,+B1,+C(-,1)D(-,-1)5函數(shù)的圖象的大致形狀是ABCD6已知函數(shù)，其值域?yàn)?，在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則的概率是ABCD7已知實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系式中
12、恒成立的是ABCD8已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?若是的必要不充分條件，則的取值范圍是ABCD9已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且時，則不等式的解集為ABCD10函數(shù)f(x)=log2x+1與g(x)=2-x-1在同一平面直角坐標(biāo)系下的圖象大致是ABCD11設(shè)函數(shù)與且)在區(qū)間上具有不同的單調(diào)性，則與的大小關(guān)系是ABCD12定義新運(yùn)算：當(dāng)mn時，mn=m；當(dāng)mb，則Aln(ab)0 B3a0 Dab4（2019年高考浙江）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，(a0，且a1)的圖象可能是5（2019年高考全國卷理數(shù)）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A（log3）（）（）B（log3）（）（）C（）
13、（）（log3）D（）（）（log3）6（2017年高考新課標(biāo)卷理科）已知集合A=x|x0，所以.故選B.【名師點(diǎn)睛】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定a,b,c的范圍，然后比較其大小即可.對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，因?yàn)榈姆柌淮_定，所以時可排除
14、選項(xiàng)A、B；時，可排除選項(xiàng)C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷正確.故選D【名師點(diǎn)睛】用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而作出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法既可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性.5【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)=3x3x=f(x)，g(x)=3x3x=g(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù).故選D.6【答案】B【解析】由題得在（0,1）上恒成立，設(shè)，所以，由于函數(shù)是增函數(shù)，所以.故選B考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】D【解析】原式
15、.故選D.2【答案】A【解析】因?yàn)閤1時，2x2；x1時，-log2x0，所以函數(shù)fx的值域是-,2.故選A3【答案】B【解析】由的單調(diào)性可知：，又，.故選B.4【答案】B【解析】由函數(shù)f(x)=(12)x2-2x，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知識可知，它的減區(qū)間，即為y=x2-2x的增區(qū)間由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y=x2-2x的增區(qū)間為(1,+).故選B5【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時，由題意可得，故可排除B，D；又當(dāng)時，由于，故，故排除C故選A【名師點(diǎn)睛】由函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象的形狀時，主要利用排除法進(jìn)行解題時要注意以下幾點(diǎn)：（1）先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域進(jìn)行排除；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)
16、進(jìn)行判斷，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性進(jìn)行排除；（3）根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷或根據(jù)函數(shù)的變化趨勢進(jìn)行判斷6【答案】B【解析】函數(shù)的值域?yàn)?，即，則在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)的概率故選B7【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，對于A，當(dāng)時，滿足，但不成立對于B，若，則等價為成立，當(dāng)時，滿足，但不成立對于C，當(dāng)時，滿足，但不成立對于D，當(dāng)時，恒成立.故選D【名師點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)即可得出的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷出結(jié)論本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題8【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，于
17、是.因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，故有（等號不同時成立），得.故選B9【答案】D【解析】由題意得，當(dāng)時，則不等式，即，解得；又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，則不等式，即，解得，所以不等式的解集為.故選D10【答案】D【解析】，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，將函數(shù)y=(12)x的圖象向左平移一個單位，即可得到g(x)的圖象，從而排除選項(xiàng)A,C；將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移一個單位，即可得到f(x)=log2x+1的圖象，從而排除選項(xiàng)B.故選D11【答案】D【解析】由題意，因?yàn)榕c在區(qū)間上具有不同的單調(diào)性，則，所以，所以.故選D12【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)fx=2x2-1log2x
18、2x=2x，0x122x-2x，1x2，當(dāng)x0,1時，fx=2x1,2；當(dāng)x1,2時，fx=22x-2x，令t=2x2,4，則2t2-t0，C正確.故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)及絕對值的意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷4【答案】D【解析】當(dāng)時，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤：一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不
19、熟練，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性.5【答案】C【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，又在(0，+)上單調(diào)遞減，即.故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，先利用函數(shù)的奇偶性化為同一區(qū)間，再利用中間量比較自變量的大小，最后根據(jù)單調(diào)性得到答案6【答案】A【解析】由可得，則，即，所以，.故選A.7【答案】A【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù).故選A.【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題型，根據(jù)與的關(guān)系就可以判斷出函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的四則運(yùn)算判斷函數(shù)的單調(diào)性，如：增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù).8【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選A9【答案】【解析】由題意得：當(dāng)時，恒成立，即；當(dāng)時，恒成立，即；當(dāng)時，即.綜上，x的取值范圍是.10【答案】【解析】由題意知在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，則不等式可化為，則，即，解得，即的取值范圍為30
備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理（含解析）
