2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測四 三角函數(shù)（提升卷）單元檢測 文（含解析） 新人教A版

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1、單元檢測四　三角函數(shù)、解三角形(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時間100分鐘，滿分130分． 4．請?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列命題中正確的是(　　) A．終邊在x軸正半軸上的角是零角 B．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限內(nèi)的角 C．不相等的角的終邊一定不相同 D．若β

2、＝α＋k·360°(k∈Z)，則角α與β的終邊相同 答案　D 解析　對于A，因?yàn)榻K邊在x軸正半軸上的角可以表示為α＝2kπ(k∈Z)，A錯誤；對于B，直角也可為三角形的內(nèi)角，但不在第一、二象限內(nèi)，B錯誤；對于C，例如30°≠－330°，但其終邊相同，C錯誤，故選D. 2．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則cosα·tanα的值是(　　) A．－B.C．－D. 答案　A 解析　因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P， 所以cosα＝，tanα＝－，所以cosα·tanα＝×＝－，故選A. 3．(2019·四川成都龍泉驛區(qū)第一中學(xué)模擬)已知sin＝，則sin等于(　　) A.B．－C．±D．－ 答案　B

3、 解析　∵sin＝cos ＝cos＝， ∴sin＝cos ＝cos＝2cos2－1 ＝2×－1＝－. 4．(2018·南充模擬)設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2017)＝－1，則f(2020)等于(　　) A．1B．2C．0D．－1 答案　A 解析　由題知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，則asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020

4、π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故選A. 5．函數(shù)y＝cos2－sin2的最小正周期為(　　) A.B.C．πD．2π 答案　C 解析　函數(shù)y＝cos2－sin2 ＝cos＝－sin2x， 所以函數(shù)的最小正周期是T＝＝π，故選C. 6．設(shè)a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，則(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　A 解析　由題可知b＝cos55°＝sin35°，因?yàn)閟in35°>sin23°，所以b>c，利用三角函數(shù)線比較tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°

5、，所以a>b.綜上，a>b>c，故選A. 7．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的最小正實(shí)數(shù)值是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，θ取得最小正實(shí)數(shù)值，故選B. 8．若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　C 解析　由題圖知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝

6、，所以ω＝＝， f(x)＝sin，由點(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin. 9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．則角B的大小為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化簡得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故選C. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin2x－2cos2x，將f(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向上平移1個單位長

7、度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x1)·g(x2)＝－4，則|x1－x2|的值可能為(　　) A.B.C.D．π 答案　C 解析　由題意得f(x)＝sin2x－cos2x－1 ＝2sin－1，則g(x)＝2sin，故函數(shù)g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)與g(x2)的值一個為2，另一個為－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．當(dāng)k＝1時，|x1－x2|＝，故選C. 11．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一點(diǎn)，且S△BCD＝，則等于(　　) A

8、.B.C.D. 答案　A 解析　設(shè)＝＝＝k，則由c2sinA·cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，得k2sinAsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，所以＝＝1－＝，故選A. 12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝sinωx(1＋sinω

9、x)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原點(diǎn)的單調(diào)遞增區(qū)間，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以?，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.綜上ω的取值范圍為，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知銳角α滿足cos＝cos2α，則sinαcosα＝________. 答案　 解析　由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因?yàn)閏osα＋sinα≠0，所以可化簡得cosα－sinα＝，即(cosα

10、－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinα·cosα＝. 14．工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式．高一某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，參加元旦晚會．已知此扇面的中心角為，外圓半徑為60cm，內(nèi)圓半徑為30cm，則制作這樣一面扇面需要的布料為________cm2. 答案　450π 解析　由扇形的面積公式，知制作這樣一面扇面需要的布料為××60×60－××30×30＝450π(cm2)． 15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝，△ABC的面積為，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，則a＋b＝________. 答案　 解析

11、　由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)， 得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＝，所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.又cosC＝＝＝，解得a＋b＝. 16．函數(shù)y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分圖象如圖所示，設(shè)P是圖象的最高點(diǎn)，A，B是圖象與x軸的交點(diǎn)，記∠APB＝θ，則sin2θ＝________. 答案　 解析　由題意知函數(shù)y＝sin(πx＋φ)的最小正周期為T＝＝2，過點(diǎn)P作PQ垂直x軸于點(diǎn)Q(圖略)， 則tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝， tanθ＝tan(∠APQ＋∠BPQ)＝8， 故sin2θ＝2

12、sinθcosθ＝＝＝. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan2α的值； (2)求β. 解　(1)由cosα＝，0<α<，得sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝×＝4， ∴tan 2α＝＝＝－. (2)由0<β<α<，得0<α－β<， 又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝，∴β＝. 18．(12分)已知

13、函數(shù)f(x)＝sin＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若對任意x∈R，有g(shù)(x)＝f，求函數(shù)g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝sin＋sin2x ＝＋sin2x ＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x ＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x ＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋， 故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋. ∵對任意x∈R，有g(shù)(x)＝f， ∴g(x)＝sin 2＋＝sin＋， 當(dāng)x∈時，2x＋∈， 則－≤sin≤1， ∴－×＋≤g(x)≤＋，即≤g(x)≤1. 故函數(shù)g(x

14、)在上的值域?yàn)? 19．(13分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos2A－cos2B＝2coscos. (1)求角B的值； (2)若b＝，且b≤a，求a－的取值范圍． 解　(1)由cos 2A－cos 2B＝2coscos，得2sin2B－2sin2A＝2， 則sin B＝， 所以B＝或. (2)因?yàn)閎≤a，所以B＝， 由正弦定理＝＝＝＝2， 得a＝2sin A，c＝2sin C. 所以a－＝2sin A－sin C＝2sin A－sin ＝sin A－cosA＝sin. 又b≤a，所以≤A<，則≤A－<， 所以≤sin<， 所以a－∈

15、. 20．(13分)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB. (1)求角C的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，且f(x)的圖象上兩相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為π，求f(A)的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閍2＋b2＝6abcos C， 由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C， 所以cosC＝. 又sin2C＝2sin AsinB，由正弦定理得c2＝2ab， 所以cosC＝＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)f(x)＝sin＋cosωx＝sin， 則最小正周期T＝＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝sin. 因?yàn)镃＝，B＝－A， 則解得