備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)09 函數(shù)與方程 理（含解析）

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1、考點(diǎn)09 函數(shù)與方程 （1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù). （2）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解. 一、函數(shù)的零點(diǎn) 1．函數(shù)零點(diǎn)的概念 對(duì)于函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)． 2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn)． 【注】并非所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0無實(shí)數(shù)根，故該函數(shù)無零點(diǎn)． 3．二次函數(shù)的零點(diǎn) 二次函數(shù)的圖

2、象 與x軸的交點(diǎn) (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 4．零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程的根. 【注】上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù). 5．常用結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)； (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)； (3)函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)； (4)函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).

3、 二、二分法 1．二分法的概念 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟 給定精確度ε，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證，給定精確度ε； ②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c； ③計(jì)算f(c)； a．若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； b．若f(a)·f(c)<0，則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))； c．若f(c)·f(b)<0，則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))． ④判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|

4、a?b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④. 【速記口訣】 定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看， 同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間． 重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口． 考向一函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）所在區(qū)間的判斷 函數(shù)零點(diǎn)的判定方法 (1)定義法（定理法）：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)． (2)方程法：判斷方程是否有實(shí)數(shù)解． (3)圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 典例1 函數(shù)的零點(diǎn)

5、所在的區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且通過計(jì)算可得，，，， ， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為. 本題選擇D選項(xiàng). 【規(guī)律總結(jié)】首先確定函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間即可.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：一般而言，判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進(jìn)行符號(hào)判斷即可得出結(jié)論．此類問題的難點(diǎn)往往是函數(shù)值符號(hào)的判斷，可運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷． 典例2 在用二分法求方程的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可以斷定該根所在區(qū)間為_______

6、____. 【答案】 【解析】令， ，，， 故下一步可以斷定根所在區(qū)間為. 故填. 1．已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 A． B． C． D． 2．已知函數(shù)． （1）證明方程f（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)解； （2）請(qǐng)使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)兩次，指出方程f（x）=0，x∈[0，2]的實(shí)數(shù)解x0在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)． 考向二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還

7、必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn). 典例3函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】要使函數(shù)有意義，則，即或， 由或， 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 故選B． 典例4函數(shù)f(x)=2x＋lg(x＋1) ?2的零點(diǎn)有 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【答案】B 【解析】解法一：因?yàn)閒(0)=1＋0?2=?1<0，f(2

8、)=4＋lg3?2=2+lg3>0，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零點(diǎn)． 又f(x)=2x＋lg(x＋1)?2在(?1，＋∞)上為增函數(shù)， 故f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)． 故選B. 解法二：在同一坐標(biāo)系中作出h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)的圖象，如圖所示， 由圖象可知h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=2x＋lg(x＋1)?2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)． 故選B. 3．已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A． B． C．

9、 D． 考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題 高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中．常與函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合，且主要有以下幾種常見類型及解題策略． 1．已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步： ①判斷函數(shù)的單調(diào)性； ②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式； ③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時(shí)，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用． 2．已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍 一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，把此問題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題． 3．借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小或

10、直接比較函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系 要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。糁苯颖容^函數(shù)零點(diǎn)的大小，則可有以下三種常用方法： ①求出零點(diǎn)，直接比較大小； ②確定零點(diǎn)所在區(qū)間； ③同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象，由零點(diǎn)位置關(guān)系確定大小. 典例5對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：,設(shè)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A．(?2,1) B．[0,1] C．[?2,0) D．[?2,1) 【答案】D 【解析】由新定義可得， 即. 其圖象如圖所示，所以由恰有三個(gè)零點(diǎn)可得，?1

11、(x)=lnxx,x≥1ax2-a,x<1，若函數(shù)g(x)=f(x)-13恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為_____． 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是 A． B． C． D． 2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 3．命題，命題函數(shù)在上有零點(diǎn)，則是的 A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 4．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為 A． B． C． D． 5．若定義在R上的函數(shù)fx滿足f(x+2)=f(x)且x∈[-1

12、,1]時(shí)，fx=x，則方程fx=log3x的根的個(gè)數(shù)是 A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函數(shù)f(x)=x+2,x<0,x2+12,x≥0,則函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．5 7．設(shè)方程兩個(gè)根分別為，則 A． B． C． D． 8．已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 9．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為 A．2 B．4 C．6 D．8 10．若函數(shù)f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零點(diǎn)

13、，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A． B． C． D． 11．已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A． B． C． D． 12．已知函數(shù)的零點(diǎn)，則整數(shù)的值為____________. 13．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和等于____________． 14．已知函數(shù)f(x)=|lnx|,x>0x+1,x?0，若函數(shù)y=f(x)-a2有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________. 15．已知函數(shù)，若在區(qū)間上方程只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________． 16．已知函數(shù). （1）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相

14、異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）已知且，，求證：方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根. 1．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是 A． B． C． D． 2．（2019年高考浙江）已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則 A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0 3．（2019年高考江蘇）設(shè)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方

15、程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ▲ . 4．（2018年高考新課標(biāo)I卷理科）已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 5．（2017年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．的一個(gè)周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在(,)單調(diào)遞減 6．（2017年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 7．(2016年高考天津卷理科)已知函數(shù)(a＞0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍

16、是 A． B． C． D． 8．（2018年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 9．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________． 10．（2018年高考天津卷理科）已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______________. 11．（2017年高考江蘇）設(shè)是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，，則方程的解的個(gè)數(shù)是_________． 12．（2016年高考山東卷理科）已知函數(shù)，其中．若

17、存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________． 變式拓展 1．【答案】B 【解析】由題知f(x)單調(diào)，故即解得. 故選B． 2．【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）∵，， ∴， 又∵函數(shù)是連續(xù)函數(shù)， ∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可得方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解． （2）取，得， 由此可得， 則下一個(gè)有解區(qū)間為， 再取，得， 由此可得， 則下一個(gè)有解區(qū)間為， 綜上所述，所求實(shí)數(shù)解在較小區(qū)間內(nèi). 【思路分析】（1）通過與的乘積小于0，利用零點(diǎn)的存在性定理證明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，轉(zhuǎn)化求解即可．

18、3．【答案】D 【解析】函數(shù)的圖象如圖： 若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）． 故選D． 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 4．【答案】(-13,0] 【解析】函數(shù)gx＝fx-13恰有

19、2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=fx和y=13的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 令hx=lnxx，則h'x=1-lnxx2， 當(dāng)1≤x＜e時(shí)，h'x>0，當(dāng)x>e時(shí)，h'x<0， 所以hx在1,e上為增函數(shù)，在e,+∞上為減函數(shù)， 且最大值為he=1e>13， 當(dāng)a>0時(shí)，易知不滿足題意； 當(dāng)a=0時(shí)，滿足題意； 當(dāng)a<0時(shí)，如圖所示，由圖象可知，-13

20、要問題，常用的方法有方程法、圖象法、方程+圖象法. 考點(diǎn)沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】選項(xiàng)A中，函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意，故A不正確. 選項(xiàng)B中，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意，故B不正確. 選項(xiàng)C中，函數(shù)是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，符合題意，故C正確. 選項(xiàng)D中，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意，故D不正確. 綜上可知選C. 2．【答案】B 【解析】易知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)， 且，，f(0)=1>0， 所以由零點(diǎn)存在性定理得，零點(diǎn)所在的區(qū)間是（-1,0）. 故選B. 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題. 3．【答案】C 【解析】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞

21、增， 又函數(shù)在上有零點(diǎn)， 所以， 解得． ∵Y，∴是的必要不充分條件． 故選C． 4．【答案】C 【解析】由題意，函數(shù)， 可得，則， ∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴切線斜率為，則， 又由，得， 解得，， ∴， 則，， ∴， 故函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為． 故選C． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟練利用零點(diǎn)的存在性定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 5．【答案】A 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx滿足fx+2=fx，所以函數(shù)fx是周期為2的周期函數(shù). 又x∈[-1,1]時(shí)，fx

22、=|x|，所以函數(shù)fx的圖象如圖所示. 再作出y=log3x的圖象，如圖， 易得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)， 所以方程f(x)=log3|x|有4個(gè)根． 故選A． 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是可以等價(jià)轉(zhuǎn)化的. 6．【答案】B 【解析】由題意，令f[(f(x)]-1=0，得f[f(x)]=1， 令f(x)=t,由f(t)=1，得t=-1或t=22， 作出函數(shù)fx的圖象，如圖所示， 結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)=-1有1個(gè)解，f(x)=22有2個(gè)解， 故y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 故選B．

23、【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中令f(x)=t,由f(t)=1，得到t=-1或t=22，作出函數(shù)fx的圖象，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．【答案】A 【解析】作出函數(shù)的圖象， 由圖象可知，兩個(gè)根一個(gè)小于，一個(gè)區(qū)間內(nèi)， 不妨設(shè)，則， 兩式相減得：，即， 故選A． 8．【答案】D 【解析】由題意可知函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，繪制函數(shù)的圖象如下圖所示， 函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)， 結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，，求解對(duì)數(shù)不等式可得：， 即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

24、 本題選擇D選項(xiàng). 【名師點(diǎn)睛】由題意確定函數(shù)的性質(zhì)，然后將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)的問題求解實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 9．【答案】D 【解析】由題意得，， ∴，即函數(shù)的周期

25、4. ∵， ∴的圖象關(guān)于對(duì)稱. 作出的圖象如圖所示， 函數(shù)的零點(diǎn)即為圖象與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，四個(gè)交點(diǎn)分別關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，即零點(diǎn)之和為8. 故選D． 10．【答案】B 【解析】函數(shù)f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零點(diǎn)， 即e-x-ln(x+a)=0在(0,+∞)上有解， 令函數(shù)g(x)=e-x，h(x)=ln(x+a)， e-x-ln(x+a)=0在(0,+∞)上有解即函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)的圖象在(0,+∞)上有交點(diǎn)， 函數(shù)h(x)的圖象就是函數(shù)k(x)=lnx的圖象向左平移a個(gè)單位， 如圖所示，函數(shù)k(x)=lnx向左平移時(shí)， 當(dāng)函數(shù)圖

26、象過點(diǎn)(0,1)之后，與函數(shù)g(x)=e-x的圖象沒有交點(diǎn)， 此時(shí)h(0)=ln(0+a)=1，a=e， 故a的取值范圍為(-∞,e). 故選B. 11．【答案】D 【解析】可變形為， 即或， 由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)榉匠糖∮腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 所以恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 即的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 由圖可知時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 故選D． 12．【答案】3 【解析】由題意知：在上單調(diào)遞增， 若存在零點(diǎn)，則存在唯一一個(gè)零點(diǎn)， 又，

27、， ∴由零點(diǎn)存在性定理可知：，則. 故答案為. 13．【答案】 【解析】令，則. 設(shè)，則，解得(舍去)或. 所以，解得或. 所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 它們之和等于 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，通過解方程來求函數(shù)的零點(diǎn). 14．【答案】[-1,0)∪(0,1] 【解析】由題意得方程f(x)-a2=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程f(x)=a2有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 所以函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=a2的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)． 畫出函數(shù)y=f(x)的圖象如下圖所示， 結(jié)合圖象可得，要使兩函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 則需滿足0

28、 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0)∪(0,1]． 故答案為[-1,0)∪(0,1]． 【名師點(diǎn)睛】解答本題時(shí)注意兩點(diǎn)：一是把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題求解；二是利用數(shù)形結(jié)合的方法解題．考查轉(zhuǎn)化思想和畫圖、識(shí)圖、用圖的能力. 15．【答案】或 【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，即； 當(dāng)時(shí)，由，得，即. 令函數(shù)， 則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有一個(gè)交點(diǎn). 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與在區(qū)間上的大致圖象如下圖所示： 結(jié)合圖象可知：當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象也只有一個(gè)交點(diǎn)， 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【名師點(diǎn)睛】已知方

29、程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)去判斷零點(diǎn)的分布情況（特別是對(duì)于分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程），也可以參變分離，把方程的解的問題歸結(jié)為不同函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題． 16．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析. 【解析】（1） ， ， ∴, 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). （2）已知，則對(duì)于恒成立,即恒成立， ∴,從而解得. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. （3）設(shè)， 則， ， ， , 在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根. 【思路點(diǎn)撥】（1）利用判別式判定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用判

30、別式處理即可； （3）利用零點(diǎn)的定義，將方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可以證明. 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路： （1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 直通高考 1．【答案】B 【解析】∵，． ∵時(shí)，； ∴時(shí)，，； ∴時(shí)，，， 如圖： 當(dāng)時(shí)，由解得，， 若對(duì)任意，都有，則. 則m的取值范圍是.

31、 故選B. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程，二次函數(shù).解題的關(guān)鍵是能夠得到時(shí)函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)值為時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值. 2．【答案】C 【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b， ， 當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)， 令y

32、′＞0得x∈(a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn). 根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)， 如圖： ∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0， 解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3， 則a>–1，b<0. 故選C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣

33、ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意可列不等式組求解． 3．【答案】 【解析】作出函數(shù)，的圖象，如圖： 由圖可知，函數(shù)的圖象與的圖象僅有2個(gè)交點(diǎn)，即在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 則與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)， 由到直線的距離為1，可得，解得， ∵兩點(diǎn)連線的斜率， ∴， 綜上可知，滿足在(0,9]上有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的k的取值范圍為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的圖象，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程，點(diǎn)到直線的距離，直線的斜率等，考查知識(shí)點(diǎn)較多

34、，難度較大.正確作出函數(shù)，的圖象，數(shù)形結(jié)合求解是解題的關(guān)鍵因素. 4．【答案】C 【解析】畫出函數(shù)的圖象，在y軸右側(cè)的圖象去掉，再畫出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)（0,1）時(shí)，直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點(diǎn)的問題，畫出函數(shù)的圖象以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相

35、應(yīng)的結(jié)果.即：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖象，再畫出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果. 5．【答案】D 【解析】函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為，取，可得函數(shù)的一個(gè)周期為，選項(xiàng)A正確； 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)B正確； ，函數(shù)的零點(diǎn)滿足，即，取，可得的一個(gè)零點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故選D. 【名師點(diǎn)睛】（1）求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為或的

36、形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是看解析式是否為或的形式. （2）求的對(duì)稱軸，只需令，求x即可；求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可. 6．【答案】C 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為. 設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為， 若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)； 若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)， 即，解得.故選C. 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得

37、問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 7．【答案】C 【解析】當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，必須滿足≥0，故0＜a≤，此時(shí)函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(x)在R上單調(diào)遞減，還需，即，所以． 結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y=|f(x)|的圖象和直線y=2?x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)x≥0時(shí)，方程|f(x)|=2?x只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．因此，只需當(dāng)x＜0時(shí)，方程|f(x)|=2?x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解． 根據(jù)已知條件可得，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0，即只需方程f(x)=2?x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即，即在(?∞，0)上恰有唯一的實(shí)數(shù)解， 判別式， 因?yàn)椋裕? 當(dāng)3a?2＜0

38、，即a＜時(shí)，方程有一個(gè)正實(shí)根、一個(gè)負(fù)實(shí)根，滿足要求； 當(dāng)3a?2=0，即a=時(shí)，方程的一個(gè)根為0，一個(gè)根為，滿足要求； 當(dāng)3a?2＞0，即＜a＜時(shí)，因?yàn)? (2a?1)＜0，此時(shí)方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，不滿足要求； 當(dāng)a=時(shí)，方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，滿足要求． 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 故選C． 8．【答案】 【解析】，， 由題可知或， 解得或，故有3個(gè)零點(diǎn). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)，首先求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù). 9．【答案】(1,4) 【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的

39、解集是 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得. 綜上，的取值范圍為. 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路： (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 10．【答案】 【解析】分類討論： 當(dāng)時(shí)，方程即，整理

40、可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則； 當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則. 令，其中，，則原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【名師點(diǎn)睛】本題的核心是考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法包括： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f

41、(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn). 11．【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況， 在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)， 若，則由，可設(shè)，且互質(zhì)， 因此，則， 此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此， 因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等， 只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn)， 畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期的部分， 且處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn)， 因此方程的解的個(gè)數(shù)為8． 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 12．【答案】(3，＋∞) 【解析】函數(shù)的大致圖象如圖所示， 根據(jù)題意知只要即可， 又m＞0，解得m＞3， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3，＋∞)． 33