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1、第4講不等式真題感悟1(2012浙江)若正數(shù)x、y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是A.B.C5D6解析將已知條件進行轉化，利用基本不等式求解x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.答案C2(2012江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為A50,0 B30,
2、20 C20,30 D0,50解析線性規(guī)劃問題利用可行域求最優(yōu)解設種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標函數(shù)zx0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示當目標函數(shù)線l向右平移，移至點E(30,20)處時，目標取得最大值，即當黃瓜30畝，韭菜20畝時，種植總利潤最大答案B考題分析利用基本不等式求最值是高考考查的重點，可單獨命題，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)；也可以是解答題的一部分解答這部分題目有時需要一定的技巧，線性規(guī)劃的題目一般不難，單獨命題，只要掌握基本方法即可網(wǎng)絡構建高頻考點突破考點一：不等式的解法【例1】 (1)(2012揚州模擬)函數(shù)f(x)則不等式f(2x2)f(x)的解集是
3、_(2)在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)0的解集是(2,3)，則ab的值是A1B2C4D8審題導引(1)利用函數(shù)f(x)的單調性，脫掉“f”，轉化為二次不等式求解；(2)根據(jù)新定義的運算，求出不等式，由不等式解集的端點與對應方程的根的關系可求ab.規(guī)范解答(1)作出函數(shù)yf(x)的圖象可知函數(shù)yf(x)在(，)上單調遞增，f(2x2)f(x)，2x2x，解得2x1，故不等式f(2x2)f(x)的解集為(2,1)(2)不等式(xa)(xb)0，即不等式(xa)1(xb)0，即不等式(xa)x(b1)0.因為該不等式的解集為(2,3)，說明方程(xa)x(b1)0的兩根之和等
4、于5，即ab15，即ab4.故選C.答案(1)(2,1)(2)C【規(guī)律總結】不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路是：先化為一般形式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)，即保證不等式的二次項系數(shù)為正值，在這種情況下寫出的解集不易出錯再求相應一元二次方程ax2bxc0的根，寫出不等式的解集(2)分式不等式、對數(shù)或指數(shù)不等式一般利用相關的性質轉化為一元二次不等式求解【變式訓練】1(2012威海模擬)f(x)若f(x0)1，則x0的取值范圍_解析原不等式等價于或解之得x01，或x01.答案(，1)(1，)2(2012宿州模擬)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則滿足f(x)a的x的取值范圍是
5、_解析f(x)是奇函數(shù)，f(1)f(1)，即1a(12)，a2，則不等式f(x)2等價于或解得x0或1x0，即x(1，)答案(1，)考點二：線性規(guī)劃【例2】已知變量x、y滿足條件若目標函數(shù)axy(其中a0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是A. B.C. D.審題導引根據(jù)目標函數(shù)中參數(shù)a的幾何意義，結合可行域，可求a的范圍規(guī)范解答畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)zaxy僅在點(3,0)處取得最大值，則直線yaxz的斜率應小于直線x2y30的斜率，即a，所以a.故選D.答案D【規(guī)律總結】線性規(guī)劃問題中參變量的特點與求解方法含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來高考命題的熱點，
6、由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧，增加了解題的難度參變量的設置形式通常有如下兩種：(1)條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時畫圖分析的難度，求解這類問題時要有全局觀念，結合目標函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向；(2)目標函數(shù)中設置參變量，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性從目標函數(shù)的結論入手，對圖形的動態(tài)分析，對變化過程中的相關量的準確定位，是求解這類問題的主要思維方法【變式訓練】3鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2排放量b及購買每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若
7、要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的費用最少為A14百萬元 B15百萬元C20百萬元 D以上答案都不對解析設購買A種鐵礦石x萬噸，B種鐵礦石y萬噸則由題意，可知x、y所滿足的條件為整理，得則購買費用z3x6y(百萬元)如圖，作出不等式組所表示的可行域，目標函數(shù)z的幾何意義是直線z3x6y在y軸上的截距的6倍，故當直線z3x6y在y軸上的截距最小時，目標函數(shù)取得最小值，顯然直線經(jīng)過點B(1,2)時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為z312615(百萬元)故選B.答案B考點三：基本不等式及應用【例3】 (1)(2012梧州模擬)a，bR，ab且ab1，則的最小值等于_(2)(2012郴州
8、模擬)若正實數(shù)x、y滿足：，則x、y的取值范圍為_審題導引(1)解題的關鍵是把原式變形，使兩項的積為定值，然后利用基本不等式求解；(2)把條件中的等式利用基本不等式轉化為含x、y的不等式并求解規(guī)范解答(1)ab，ab，ab0，則ab2，當且僅當ab，即ab時等號成立(2)由，得xy3xy，又xy2，xy32，即()2230，(3)(1)0，30，xy9.答案(1)2(2)xy9【規(guī)律總結】利用基本不等式求最值的技巧在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能
9、應用，否則會出現(xiàn)錯誤而“定”條件往往是整個求解過程中的一個難點和關鍵解題時應根據(jù)已知條件適當進行添(拆)項，創(chuàng)造應用基本不等式的條件【變式訓練】4(2012海淀模擬)已知函數(shù)f(x)mx11(其中m0，且m1)的圖象恒過定點A，而點A恰好在直線2axby20上(其中ab0)，則的最小值為_解析已知點A的坐標為(1,2)，據(jù)題意知2a2b20，即ab1，(ab)5529，當且僅當，即a，b時等號成立5(2012蘭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線xy1(x0)上，點P在x軸上的射影為M.若點P在直線xy0的下方，當取得最小值時，點P的坐標為_解析設P，M(x,0)，點P在直線xy0
10、的下方，x，即x1.x22，當且僅當x，即x時，等號成立，故P.答案名師押題高考【押題1】若關于x的不等式|xm|2x1|在R上恒成立，則實數(shù)m的取值為_解析由不等式|xm|2x1|恒成立得，(xm)2(2x1)2恒成立，即3x2(2m4)x1m20，于是應有(2m4)212(1m2)0，即(2m1)20，因此必有m.答案押題依據(jù)不等式的解法是高考的必考內(nèi)容之一，要求不高，但需熟練掌握本題涉及絕對值不等式、二次不等式的恒成立問題，同時考查了轉化與化歸的數(shù)學思想，綜合性較強，但難度較小，故押此題【押題2】(2012湘西模擬)已知向量a(x，2)，b(y,1)，其中x，y都是正實數(shù)，若ab，則tx2y的最小值是_解析ab，abxy20，即xy2.tx2y24，當且僅當x2，即x2，y1時等號成立答案4押題依據(jù)利用基本不等式求最值是高考的熱點之一本題的關鍵是根據(jù)條件，將問題轉化為能用基本不等式求解的形式，突出了轉化與化歸思想的考查，故押此題 - 6 -
2021屆高三數(shù)學二輪復習 專題一 第4講不等式教案
