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1、
必考問題9 等差、等比數(shù)列的基本問題
1．(2012·遼寧)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝( )．
A．58 B．88
C．143 D．176
答案： B [利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解．因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝＝11a6＝88.]
2．(2012·新課標(biāo)全國)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )．
A．7 B．5
C．－5 D．－7
2、
答案：D [設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.]
3．(2012·福建)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B [在等差數(shù)列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求公差為2.]
4．(2012·浙江)設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________.
解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q
3、2－1)，
∴q＝－1(舍去)或q＝.
答案
本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查這兩種數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡單運算、通項公式、求和公式等，屬于中檔題；以解答題出現(xiàn)時，各省市的要求不太一樣，有的考查等差、等比數(shù)列的通項公式與求和等知識，屬于中檔題；有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識結(jié)合考查，難度較大．
(1)深刻理解兩種數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，熟練掌握常用的方法和技能；掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定、證明方法，這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在以遞推數(shù)列為背景的試題的第(1)問中．
(2)熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并會靈活應(yīng)用，這是迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行計算的關(guān)鍵.
必備
4、知識
等差數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)
(1)an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)an＝a1＋(n－1)d.
(3)Sn＝＝na1＋d.
(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；
③等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．
等比數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)
(1)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)an＝a1qn－1.
(3)Sn＝＝(q≠1)．
(4)a＝an－1an＋1(n∈N
5、*，n≥2)．
(5)①an＝amqn－m；
②若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；
③等比數(shù)列{an}(公比q≠－1)的前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比數(shù)列．
必備方法
1．運用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算．
2．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵．解題時應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運
6、算量，既準(zhǔn)又快地解決問題．
3．等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：
(1)定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；＝q(q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列；
(2)利用中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；a＝an·an＋2(n∈N*)?{an}是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的an≠0，q≠0)；
(3)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝cqn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列；
(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；Sn＝mqn－m(m為常數(shù)，q≠0)?{an
7、}是等比數(shù)列；
(5)若判斷一個數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用a1，a2，a3驗證即可．
等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質(zhì)上有許多相似性，是高考必考內(nèi)容，著重考查等差、等比數(shù)列的基本運算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等．
【例1】? (2011·江西)已知兩個等比數(shù)列{an}、{bn}滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值．
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題
8、視點] (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)問的解題思路，結(jié)合方程的相關(guān)知識可求解．
解 (1)設(shè){an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.
由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－，
所以{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)設(shè){an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，
得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*)
由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有兩個不同的實根，
由{an}
9、唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a＝.
關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運算，一般通過其通項公式和前n項和公式構(gòu)造關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識．
【突破訓(xùn)練1】 (2011·廣東改編)等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝( )．
A．10 B．12 C．15 D．20
答案： A [設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,
10、5a7＝0，故a7＝0，而ak＋a4＝0，故k＝10.]
高考對該內(nèi)容的考查主要是等差、等比數(shù)列的定義，常與遞推數(shù)列相結(jié)合考查．常作為數(shù)列解答題的第一問，為求數(shù)列的通項公式做準(zhǔn)備，屬于中檔題．
【例2】? 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題視點] (1)先利用an＋1＝Sn＋1－Sn將Sn＋1＝4an＋2轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系式，再利用bn＝an＋1－2
11、an的形式及遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列來求證．
(2)借助(1)問結(jié)果，通過構(gòu)造新數(shù)列的方式求通項．
(1)證明 由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，由Sn＋1＝4an＋2，①
則當(dāng)n≥2時，有Sn＝4an－1＋2.②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
∴{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列，
(2)解 由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝.
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差
12、數(shù)列，
∴＝＋(n－1)×＝n－，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的首選方法是根據(jù)定義去判斷，其次是由等差中項或等比中項的性質(zhì)去判斷．
【突破訓(xùn)練2】 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設(shè)bn＝.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
(1)證明 ∵an＋1＝2an＋2n，∴＝＋1.
即有bn＋1＝bn＋1，
所以{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)知bn＝n，從而an＝n·2n－1.
Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)×2n－2＋n×
13、2n－1，
∴2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.
兩式相減得，
Sn＝n×2n－20－21－22－…－2n－1＝n×2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.
從近幾年的考題看，對于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)．考查的目的在于測試考生靈活運用知識的能力，這個“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上．
【例3】? (2012·石家莊二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，S1、2S2、3S3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)數(shù)列{bn－an}是首項為－6，公差為2的等差數(shù)
14、列，求數(shù)列{bn}的前n項和．
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題視點] (1)列出關(guān)于公比q的方程求q；(2)先求出bn后，再根據(jù)公式求和．
解 (1)由已知4S2＝S1＋3S3,4(a1＋a1q)＝a1＋3a1(1＋q＋q2)，
3q2－q＝0，∴q＝0(舍)，或q＝，∴an＝2·n－1.
(2)由題意得：bn－an＝2n－8，bn＝an＋2n－8＝2n－1＋2n－8.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，
Tn＝＋
＝3＋n(n－7)
＝－＋n2－7n＋3.
(1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯公式．(2)方程思想的應(yīng)用往往
15、是破題的關(guān)鍵．
【突破訓(xùn)練3】 數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1＝3，b1＝1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2＝64.
(1)求an，bn；
(2)求證：＋＋…＋＜.
(1)解 設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依題意有①
由(6＋d)q＝64知q為正有理數(shù)，
故d為6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)證明 Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
∴＋＋…
16、＋＝＋＋＋…＋
＝
＝＜.
遞推數(shù)列及其應(yīng)用
遞推數(shù)列問題一直是高考命題的特點，遞推數(shù)列在求數(shù)列的通項、求和及其它應(yīng)用中往往起至關(guān)重要的紐帶作用，是解決后面問題的基礎(chǔ)和臺階，此類題目需根據(jù)不同的題設(shè)條件，抓住數(shù)列遞推關(guān)系式的特點，選擇恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ǎ?
【示例】? (2011·湖北)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論
17、．
[滿分解答] (1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，兩式相減，得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，
即an＋2＝(r＋1)an＋1.(2分)
又a2＝ra1＝ra，
所以，當(dāng)r＝0時，數(shù)列{an}為：a,0，…，0，…；(3分)
當(dāng)r≠0，r≠－1時，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，
于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，
∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時，an＝r(r＋1)n－2a.(5分)
綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝
(6分)
(2)對于任意的m∈N*，且m≥2，a
18、m＋1，am，am＋2成等差數(shù)列，證明如下：
當(dāng)r＝0時，由(1)知，an＝
∴對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(8分)
當(dāng)r≠0，r≠－1時，
∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，
若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，
則Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.(10分)
由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，
于是對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，
從而am＋2＝4am，
∴am＋1＋am＋2＝2a
19、m，
即am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(12分)
綜上，對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(13分)
老師叮嚀：本題是以an和Sn為先導(dǎo)的綜合問題，主要考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及處理遞推關(guān)系式的一般方法．失分的原因有：第(1)問中漏掉r＝0的情況，導(dǎo)致結(jié)論寫為an＝r(r＋1)n－2a；第(2)問中有的考生也漏掉r＝0的情況，很多考生不知將Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk轉(zhuǎn)化為ak＋1與ak＋2的關(guān)系式，從而證明受阻．
【試一試】 (2012·四川)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立．
(1)求a1，a2
20、的值；
(2)設(shè)a1＞0，數(shù)列的前n項和為Tn.當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值．
解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a＝2a1＋2a2，②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③
(i)若a2＝0，由①知a1＝0，
(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.
綜上可知a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)當(dāng)a1＞0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
當(dāng)n≥2時，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，
所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令bn＝lg，
則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg，
所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)，
從而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg 1＝0，
當(dāng)n≥8時，bn≤b8＝lg＜lg 1＝0，
故n＝7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為
T7＝＝＝7－lg 2.
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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破9 等差、等比數(shù)列的基本問題 理
