2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破22 數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用(2) 理

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1、必考必考問題22數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用(二)1(2012山東)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)當(dāng)3x1時(shí),f(x)(x2)2;當(dāng)1x3時(shí),f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338 C1 678 D2 012答案: B由f(x6)f(x)可知,函數(shù)f(x)的周期為6,所以f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5)1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2,所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)f(2)f(6)1210101,所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.2(2012四川)方程ayb2x2c中的

2、a,b,c3,2,0,1,2,3,且a,b,c互不相同在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有()A60條 B62條 C71條 D80條答案:B顯然方程ayb2x2c表示拋物線時(shí),有ab0,故該方程等價(jià)于yx2.(1)當(dāng)c0時(shí),從3,2,1,2,3中任取2個(gè)數(shù)作為a,b的值,有A20種不同的方法,當(dāng)a一定,b的值互為相反數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的拋物線相同,這樣的拋物線共有4312條,所以此時(shí)不同的拋物線共有A614條(2)當(dāng)c0時(shí),從3,2,1,2,3中任取3個(gè)數(shù)作為a,b,c的值有A60種不同的方法;當(dāng)a,c的值一定,而b的值互為相反數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的拋物線相同,這樣的拋物線共有4A24條,所以此時(shí)不同

3、的拋物線有A1248條綜上所述,滿足題意的不同的拋物線有144862條,故選B.3(2012福建)函數(shù)f(x)在a,b上有定義,若對(duì)任意x1,x2a,b,有ff(x1)f(x2),則稱f(x)在a,b上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在1,3上具有性質(zhì) P,現(xiàn)給出如下命題:f(x)在1,3上的圖象是連續(xù)不斷的;f(x2)在1,上具有性質(zhì)P;若f(x)在x2處取得最大值1,則f(x)1,x1,3;對(duì)任意x1,x2,x3,x41,3,有ff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命題的序號(hào)是()A B C D答案:D取函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件具有性質(zhì)P,但函數(shù)f(x)的圖象是不連續(xù)的,故為

4、假命題,排除A、B;取函數(shù)f(x)x,1x3,則函數(shù)滿足題設(shè)條件具有性質(zhì) P,但f(x2)x2,1x就不具有性質(zhì)P,故為假命題,排除C.應(yīng)選D.4(2012江西)下圖為某算法的程序框圖,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是_解析此框圖依次執(zhí)行如下循環(huán):第一次:T0,k1,sinsin 0成立,a1,TTa1,k2,26,繼續(xù)循環(huán);第二次:sin sin不成立,a0,TTa1,k3,36,繼續(xù)循環(huán);第三次:sinsin 不成立,a0,TTa1,k4,46,繼續(xù)循環(huán);第四次:sin 2sin成立,a1,TTa2,k5,56,繼續(xù)循環(huán);第五次:sinsin 2成立,a1,TTa3,k6,66不成立,跳出循環(huán),輸

5、出T的值為3.答案31分類討論思想的考查重點(diǎn)為含有參數(shù)的函數(shù)性質(zhì)問題、與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算推證問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等,在選擇、填空、解答題中都會(huì)涉及到分類討論的思想方法2等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用在高考試題中處處可見,是解高考試題常用的數(shù)學(xué)思想(1)分類與整合思想實(shí)質(zhì)上是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的數(shù)學(xué)策略利用好分類與整合思想可以優(yōu)化解題思路,降低問題難度復(fù)習(xí)中要養(yǎng)成分類與整合的習(xí)慣,常見的分類情形有:概念分類型,運(yùn)算需要型,參數(shù)變化型,圖形變動(dòng)型(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本、最重要的思想方法,它無處不在比如:在解析幾何中,通過建立坐標(biāo)系將幾何問題劃歸

6、為代數(shù)問題.必備知識(shí)分類與整合思想在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí),我們常常會(huì)遇到這樣一種情況:解到某一步之后,發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進(jìn)行的當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時(shí),就必須抓住主導(dǎo)問題發(fā)展方向的主要因素,在其變化范圍內(nèi),根據(jù)問題的不同發(fā)展方向,劃分為若干部分分別研究這里集中體現(xiàn)的是由大化小,由整體化為部分,由一般化為特殊的解決問題的方法,其研究的基本方向是“分”,但分類解決問題之后,還必須把它們整合在一起,這種“合分合”的解決問題的思想,就是分類與整合思想化歸與轉(zhuǎn)化思想 在解決一個(gè)問題時(shí)人們的眼光并不落在結(jié)論上,而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果,由此將問題化難為易,化繁為簡,化大為小,各個(gè)擊破,

7、達(dá)到最終解決問題的目的,這種解決問題的思想就是化歸與轉(zhuǎn)化思想必備方法1分類討論的幾種情況(1)由數(shù)學(xué)的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論:數(shù)學(xué)中的概念有些就是分類的,如絕對(duì)值的概念;(2)由數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論:一些數(shù)學(xué)定理和公式是分類的,如等比數(shù)列的求和公式等;(3)由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論:當(dāng)要解決的問題中涉及參數(shù)時(shí),由于參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí),問題的發(fā)展方向不同,這就要把參數(shù)劃分的幾個(gè)部分分類解決;(4)問題的具體情況引發(fā)的分類討論:有些數(shù)學(xué)問題本身就要分情況解決,如概率計(jì)算中要根據(jù)要求,分類求出基本事件的個(gè)數(shù);(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,需要采取分類討論的解題策略來

8、解決2化歸轉(zhuǎn)化思想的幾種情況(1)化為已知:當(dāng)所要解決的問題和我們已經(jīng)掌握的問題有關(guān)系時(shí),把所要解決的問題化為已知問題;(2)化難為易:化難為易是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想,當(dāng)我們遇到的問題是嶄新的,解決起來困難時(shí),就要把這個(gè)問題化為我們熟悉的問題,熟悉的問題我們有解決的方法,就是容易的問題,這是化難為易的一個(gè)方面;(3)化繁為簡:在一些問題中,已知條件或求解結(jié)論比較繁,這時(shí)就可以通過化簡這些較繁的已知或者結(jié)論為簡單的情況,再解決問題,有時(shí)把問題中的某個(gè)部分看做一個(gè)整體,進(jìn)行換元,這也是化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想;(4)化大為?。涸诮獯鹁C合性試題時(shí),一個(gè)問題往往是由幾個(gè)問題組成的,整個(gè)問題的結(jié)論,是通過這

9、一系列的小問題得出的,這種情況下,就可以把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小問題進(jìn)行解決. 分類討論數(shù)學(xué)中的很多概念都是通過分類定義的,數(shù)學(xué)中的一些定理、公式、法則往往有一些嚴(yán)格的限制條件,故高考常常在這些知識(shí)點(diǎn)中命題【例1】 (2010天津)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(,1)(1,)C(1,0)(1,) D(,1)(0,1)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 分a0,a0討論求解C當(dāng)a0時(shí),由f(a)f(a),得log2aloga,即log2alog2 ,即a,解得a1;當(dāng)a0時(shí),由f(a)f(a),得log(a)log2(a),即log2log2(

10、a),則a,解得1a0.所以a(1,0)(1,) 有許多核心的數(shù)學(xué)概念是分類的,比如:直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等,與這樣的數(shù)學(xué)概念有關(guān)的問題往往需要根據(jù)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類,從而全面完整地解決問題【突破訓(xùn)練1】 若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析則函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn),就是函數(shù)yax(a0且a1)的圖象與函數(shù)yxa的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)由圖象可知,當(dāng)0a1時(shí),兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合;當(dāng)a1時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)yax(a1)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線yxa的圖象與y軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

11、1,)答案(1,)由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同,所以某些含有參數(shù)的問題如函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用、求最值、一元二次方程根的判斷、直線斜率等,在求解時(shí)要根據(jù)參數(shù)的變化進(jìn)行分類討論【例2】 (2010山東)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)當(dāng)a時(shí),討論f(x)的單調(diào)性; (2)設(shè)g(x)x22bx4,當(dāng)a時(shí),若對(duì)任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)根據(jù)解題需要,要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、根的大小分類討論(2)將問題轉(zhuǎn)化為g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值,則可借助(1)問的結(jié)論求得f(x)在(0,

12、2)上的最小值,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間(1,2的關(guān)系討論求g(x)的最小值即可求b的范圍解(1)因?yàn)閒(x)ln xax1,所以f(x)a,x(0,)令h(x)ax2x1a,x(0,)當(dāng)a0時(shí),h(x)x1,x(0,),所以當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,即ax2x1a0,解得x11,x21.()當(dāng)a時(shí),x1x2,h(x)0恒成立,此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減()當(dāng)0a10,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x時(shí),h(x)0

13、,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x時(shí),h(x)0,此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減()當(dāng)a0時(shí),由于10,此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;x(1,)時(shí),h(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當(dāng)0a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減(2)因?yàn)閍,由(1)知,x11,x23(0,2),當(dāng)x(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,2)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1).由于“對(duì)

14、任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2)”等價(jià)于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”(*)又g(x)(xb)24b2,x1,2,所以當(dāng)b0,此時(shí)與(*)矛盾;當(dāng)b1,2時(shí),因?yàn)間(x)min4b20,同樣與(*)矛盾;當(dāng)b(2,)時(shí),因?yàn)間(x)ming(2)84b,解不等式84b,可得b.綜上所述,b的取值范圍是. 求解時(shí),要結(jié)合參數(shù)的意義,對(duì)參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論,分類要合理,要不重不漏,要符合最簡原則【突破訓(xùn)練2】 (2012東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR),其中a0.(1)若a1,求曲線yf(x)在點(diǎn)(

15、2,f(2)處的切線方程;(2)若在區(qū)間上,f(x)0恒成立,求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí),f(x)x3x21,f(2)3.f(x)3x23x,f(2)6,所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y36(x2),即y6x9.(2)f3ax23x3x(ax1)令f(x)0,解得x0或x.以下分兩種情況討論:若0a2,則.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x0f(x)0f(x)極大值當(dāng)x時(shí),f(x)0等價(jià)于即解不等式組得5a5.因此0a2.若a2,則0.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x0f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)x時(shí),f(x)0等價(jià)于即解不等式組

16、得a5或a.因此2a5.綜合,可知a的取值范圍為0a5.轉(zhuǎn)化與化歸思想非常普遍,??疾樘厥馀c一般、常量與變量、正與反或以換元法為手段的轉(zhuǎn)化【例3】 已知函數(shù)f(x)x32x2ax1.若函數(shù)g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 很顯然,函數(shù)g(x)是二次函數(shù),二次函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間上存在零點(diǎn),情況是很復(fù)雜的,但這個(gè)二次函數(shù)可以把參數(shù)分離出來,這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)具體的函數(shù)的值域解析g(x)f(x)3x24xa,g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點(diǎn),等價(jià)于3x24xa在區(qū)間(1,1)上有解,等價(jià)于a的取值范圍是函數(shù)y3x24x在區(qū)間(

17、1,1)上的值域,不難求出這個(gè)函數(shù)的值域是.故所求的a的取值范圍是.答案 在高考中,轉(zhuǎn)化與化歸思想占有相當(dāng)重要的地位,在解題時(shí)注意依據(jù)問題本身所提供的信息,利用動(dòng)態(tài)思維,去尋求有利于問題解決的化歸與轉(zhuǎn)化的途徑和方法【突破訓(xùn)練3】 函數(shù)f(x)sin xcos xsin 2x的最小值是_解析令tsin xcos xsin,則t21sin 2x,且t,f(t)t2t12,故當(dāng)t,時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為.答案突破轉(zhuǎn)化與化歸的瓶頸轉(zhuǎn)化的一種方式是變換研究對(duì)象,將問題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象的知識(shí)背景中,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題、復(fù)雜問題簡單化,進(jìn)而變得容易處理通過引進(jìn)新的變量,可以將分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯

18、露出來,或者將條件與結(jié)論聯(lián)系起來,或者使題目的形式變得熟悉,從而將復(fù)雜的計(jì)算或證明題簡化【示例】 (2012陜西)設(shè)函數(shù)fn(x)xnbxc(nN,b,cR)(1)設(shè)n2,b1,c1,證明:fn(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn);(2)設(shè)n2,若對(duì)任意x1,x21,1,有|f2(x1)f2(x2)|4,求b的取值范圍;(3)在(1)的條件下,設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列x2,x3,xn,的增減性滿分解答(1)b1,c1,n2時(shí),fn(x)xnx1.fnfn(1)10,fn(x)在內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x時(shí),fn(x)nxn110,fn(x)在上是單調(diào)遞增的,fn(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)(4分)(2)當(dāng)

19、n2時(shí),f2(x)x2bxc.對(duì)任意x1,x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等價(jià)于f2(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下:(i)當(dāng)1,即|b|2時(shí),M|f2(1)f2(1)|2|b|4,與題設(shè)矛盾(ii)當(dāng)10,即0b2時(shí),Mf2(1)f224恒成立(iii)當(dāng)01,即2b0時(shí),Mf2(1)f224恒成立綜上可知,2b2.(8分)注:(ii),(iii)也可合并證明如下:用maxa,b表示a,b中的較大者當(dāng)11,即2b2時(shí),Mmaxf2(1),f2(1)f2f21c|b|24恒成立(8分)(3)法一設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)(n2),fn(xn)xxn1

20、0,fn1(xn1)xxn110,xn1,于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1),又由(1)知fn(x)在上是遞增的,故xnxn1(n2),所以,數(shù)列x2,x3,xn,是遞增數(shù)列(12分)法二設(shè)xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點(diǎn),fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10,則fn1(x)的零點(diǎn)xn1在(xn,1)內(nèi),故xnxn1(n2),所以,數(shù)列x2,x3,xn,是遞增數(shù)列(12分)老師叮嚀:本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)與不等式,以及數(shù)列的單調(diào)性的判斷和恒成立問題的處理,意在考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的運(yùn)用.第(1)問利用函數(shù)零點(diǎn)存在定

21、理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).第(2)問結(jié)合分類討論思想,得出函數(shù)在區(qū)間1,1上的最值,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為簡單的解不等式問題,不會(huì)轉(zhuǎn)化是一個(gè)重要的失分點(diǎn).第(3)問,看成單純的數(shù)列問題,無法將新問題與第(2)問中的結(jié)論聯(lián)系起來,導(dǎo)致解題走入死胡同.【試一試】 已知函數(shù)f(x)x(aR),g(x)ln x.(1)求函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于x的方程f(x)2e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))只有一個(gè)實(shí)數(shù)根a的值解(1)函數(shù)F(x)f(x)g(x)xln x的定義域?yàn)?0,)F(x)1.當(dāng)14a0,即a時(shí),得x2xa0,則F(x)0.函數(shù)F(x)在(0,)上單調(diào)

22、遞增當(dāng)14a0,即a時(shí),令F(x)0,得x2xa0,解得x10,x2.(i)若a0,則x20.x(0,),F(xiàn)(x)0,函數(shù)F(x)在(0,)上單調(diào)遞增(ii)若a0,則x時(shí),F(xiàn)(x)0;x時(shí),F(xiàn)(x)0,函數(shù)F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,);當(dāng)a0時(shí),函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由f(x)2e,得x2e,化為x22exa.令h(x),則h(x).令h(x)0,得xe.當(dāng)0xe時(shí),h(x)0;當(dāng)xe時(shí),h(x)0.函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,)上單調(diào)遞減當(dāng)xe時(shí),函數(shù)h(x)取得最大值,其值為h(e).而函數(shù)m(x)x22exa(xe)2ae2,當(dāng)xe時(shí),函數(shù)m(x)取得最小值,其值為m(e)ae2.當(dāng)ae2,即ae2時(shí),方程f(x)2e只有一個(gè)實(shí)數(shù)根12

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