2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第14講 圓錐曲線練習 文

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1、第14講　圓錐曲線 [考情分析]　圓錐曲線是高考的重點和熱點，選擇、填空題主要以考查圓錐曲線定義、標準方程和幾何性質(特別是離心率)為主，屬于中偏上難度． 熱點題型分析 熱點1　圓錐曲線的定義及標準方程 1.圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M. 2.圓錐曲線的標準方程 (1)橢圓的標準方程：＋＝1，其中a>b>0； (2)雙曲線的標準方程：－＝1，其中a>0，b>0； (3)拋物線的標準

2、方程：x2＝±2py，y2＝±2px，其中p>0. 1.(2019·廣州測試)已知雙曲線C：－＝1(a>0)的一條漸近線方程為2x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝(　　) A.1 B．13 C．4或10 D．1或13 答案　D 解析　由一條漸近線方程為2x＋3y＝0和b＝2可得a＝3，|F1F2|＝2＝2，由點P在雙曲線C上，則||PF1|－|PF2||＝6，可得|PF2|＝1或13，根據(jù)|PF1|＝7，|PF2|＝1，|F1F2|＝2或|PF1|＝7，|PF2|＝13，|F1F2|＝2均能滿足三角形成立的條件

3、．故選D. 2.橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A.－21 B．21 C.－或21 D.或21 答案　C 解析　若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝，由＝，即＝，解得k＝21.故選C. 1.運用雙曲線定義時，容易忽略距離差的“絕對值”這一條件．如第1題，忽略此條件可能因為|PF1|＝7,2a＝6，而直接根據(jù)|PF1|－|PF2|＝2a，得出|PF2|＝1，錯選A.因此對于各圓錐曲線的定義，要熟練掌握，特別是雙曲線的定義，不要忽略距離差的“絕對值”這一重要信息；除此之外，對于橢圓定義中|PF1|＋|PF

4、2|>|F1F2|、雙曲線定義中||PF1|－|PF2||<|F1F2|，滿足這樣點的軌跡才能是橢圓和雙曲線也是非常重要的信息點，這也是第1題后續(xù)需要驗證的原因． 2.求標準方程時不考慮焦點位置，如第2題，不考慮焦點在y軸上的情況，而導致漏解．因此求圓錐曲線方程時，當焦點位置不明時要注意根據(jù)焦點位置進行分類討論． 熱點2　圓錐曲線的幾何性質 1.橢圓、雙曲線中，a，b，c三者之間的關系 (1)橢圓：a2＝b2＋c2，離心率e＝＝∈(0,1)； (2)雙曲線：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝∈(1，＋∞)． 2.確定離心率的值或范圍時，充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質或者點坐標等，

5、建立一個關于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到關于a，c的關系式． 3.雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，雙曲線 －＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x；同時注意漸近線斜率與離心率e的關系． 1.設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　解法一：如圖， 在Rt△PF2F1中， ∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝＝， |PF2|＝2c·tan3

6、0°＝. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即＋＝2a，可得c＝a.∴e＝＝.故選D. 解法二：(特殊值法) 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝. ∴e＝＝＝＝.故選D. 2.(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________． 答案　 解析　如圖，取MN中點P，連接AP，則AP⊥MN，所以∠MAP＝30°.因為A(a,0)，M，N為y＝x上的點，則|AP|＝＝. 在R

7、t△PAM中，cos∠PAM＝，則＝＝，所以e＝＝. 3.(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 答案　2 解析　解法一：由＝， 得A為F1B的中點． 又O為F1F2的中點， ∴OA∥BF2. 又·＝0， ∴∠F1BF2＝90°. ∴OF2＝OB， ∴∠OBF2＝∠OF2B. 又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B， ∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2， ∴△OBF2為等邊三角形． 如圖1所示，不妨設B為.

8、 ∵點B在直線y＝－x上，∴＝， ∴離心率e＝＝2. 解法二：∵·＝0， ∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點，∴|OF2|＝|OB|＝c.如圖2，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a， ∴B(a，－b)，F(xiàn)2(c,0)． 又＝，∴A為F1B的中點． ∴OA∥F2B，∴∠F1OA＝∠F1F2B， 又∠F1OA＝∠BOF2，∴∠BOF2＝∠F1F2B， ∴＝，∴c＝2a，∴離心率e＝＝2. 1.雙曲線的漸近線方程是y＝±x，還是y＝±x，是最容易混淆出錯的

9、點．如第2題，如果將MN所在漸近線錯寫為y＝x，則|AP|＝.再根據(jù)cos∠PAM＝得到關于e的方程3e4－3e2－4＝0，從而形成錯解．因此雙曲線漸近線可以根據(jù)雙曲線方程進行推導，即對于雙曲線－＝1，令－＝0，則＝，＝±，即y＝±x，而不要死記硬背． 2.解決有關幾何性質問題時，既可以使用曲線方程與點坐標有關的代數(shù)運算，也可以選擇利用平面圖形的幾何性質求解．二者比較起來，代數(shù)運算的計算量較大，出錯率較高．因此求解此類問題時，要根據(jù)題目給出的已知條件，準確畫出平面圖形，并充分挖掘圖形中隱含的幾何性質，從而簡化計算過程． 3.求解離心率的值或范圍的問題時，要注意不同圓錐曲線的離心率范圍不同．

10、 熱點3　交匯題型 解析幾何與其他知識相結合，各種題型均有可能出現(xiàn)，要求較高，其中最常見的是與平面向量和不等式結合考查．解決此類問題，關鍵在于能“透過現(xiàn)象看本質”，從而選擇相應方法求解． 交匯點一　與不等式交匯 典例1　(2017·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A.16　 B．14　　 C．12　　 D．10 解析　因為F為y2＝4x的焦點，所以F(1,0)． 由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設l1的斜率為k，則

11、l2的斜率為－，故直線l1，l2的方程分別為 y＝k(x－1)，y＝－(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|AB|＝ ·|x1－x2| ＝ · ＝ ·＝. 同理可得|DE|＝4(1＋k2)． 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16， 當且僅當k2＝，即k＝±1時，取得等號．故選A. 答案　A 解析幾何與不等式交匯，主要體現(xiàn)在運用不等式的相關知識，解析或證明幾何圖形的某些特征．交匯點集中在利用不等式的解法求參數(shù)范圍，或構造函數(shù)利用均值不等

12、式求最值等問題上. (2019·江西南昌一模)拋物線y2＝8x的焦點為F，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個動點，若x1＋x2＋4＝|AB|，則∠AFB的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為x1＋x2＋4＝|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝|AB|，在△AFB中，由余弦定理得： cos∠AFB＝ ＝ ＝－1＝－1， 又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2， 所以|AF|·|BF|≤|AB|2， 則cos∠AFB＝－1 ≥－1＝－， 所以∠AFB的最大值為，故選D. 交匯點二　與向量交

13、匯 典例2　(2019·吉林四平質檢)經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設O為坐標原點，則·等于(　　) A.－3 B．－ C.－或－3 D．± 解析　依題意，當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時，其方程為y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1.代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以兩個交點坐標為A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得·＝－.故選B. 答案　B 平面向量與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理．

14、解決此類問題基本思想：一是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉化為運算；二是考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題. 設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使(＋2)·2＝0(O為坐標原點)，則△F1PF2的面積是(　　) A.4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　∵(＋2)·2＝(＋)·2＝·2＝0， ∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12， ∴2mn＝4，mn＝2，∴S△F1PF2＝mn＝1. 真題自檢感悟 　　 1.(2019·全國卷Ⅰ

15、)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|， ∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴點A是橢圓的短軸端點，如圖．不妨設A(0，－b)，由F2(

16、1,0)，＝2，得B.由點B在橢圓上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2. ∴橢圓C的方程為＋＝1.故選B. 2.(2019·全國卷Ⅰ)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為(　　) A.2sin40° B．2cos40° C. D. 答案　D 解析　由題意可得－＝tan130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故選D. 3.(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2

17、 D. 答案　A 解析　設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c,0)．由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故選A. 4.(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意易知|PF2

18、|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限內，由∠F1F2P＝120°可得P點的坐標為(2c，c)． 又因為kAP＝，即＝，所以a＝4c，e＝，故選D. 專題作業(yè)　　 一、選擇題 1.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝，∴e＝＝＝ ＝ ＝.故選A. 2.(

19、2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　A 解析　雙曲線－＝1的右焦點坐標為(，0)，一條漸近線的方程為y＝x，不妨設點P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點P的橫坐標為，縱坐標為×＝，即△PFO的底邊長為，高為，所以它的面積為××＝.故選A. 3.(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1

20、 答案　B 解析　由題意可得＝，c＝3，又a2＋b2＝c2，解得a2＝4，b2＝5，則C的方程為－＝1，故選B. 4.(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　) A.2 B. C. D. 答案　A 解析　設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 因為圓的圓心為(2,0)，半徑為2， 由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝. 根據(jù)點到直線的距離公式得＝， 解得b2＝3a2. 所以C的離心率e＝＝ ＝ ＝2. 5.(2019·長沙市高三一模)A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)是

21、拋物線的焦點，O為坐標原點，當|AF|＝4時，∠OFA＝120°，則拋物線的準線方程是(　　) A.x＝－1 B．y＝－1 C.x＝－2 D．y＝－2 答案　A 解析　如圖，過A作AB⊥x軸，AC垂直于準線，因為∠OFA＝120°，|AF|＝4，所以∠AFB＝60°，|BF|＝2，根據(jù)拋物線定義知|AC|＝4且|AC|＝|BF|＋p，所以p＋2＝4即p＝2.即拋物線的準線方程為x＝－1，故選A. 6.(2019·河北武邑中學調研)已知直線l：y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k等于(　　) A.

22、B. C. D. 答案　D 解析　由消去y得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， ∵Δ＝(4k2－8)2－16k4>0，又k>0，解得00，x2>0， 由②③解得x1＝4，x2＝1，代入①得k2＝， ∵00，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則E的離心率為(　　) A.2 B. C．2 D．2

23、 答案　C 解析　由題意，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，即＝，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝＝2，故選C. 8.(2019·河北衡水中學模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A.y＝±x B．y＝±x C.y＝±x D．y＝±2x 答案　A 解析　如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B. 因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°， 所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2

24、a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b. 又點M在雙曲線上， 所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a. 整理，得b＝a.所以＝. 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選A. 9.(2019·華南師大附中一模)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)，點F為E的左焦點，點P為E上位于第一象限內的點，P關于原點的對稱點為Q，且滿足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b，則E的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　設雙曲線的另一個焦點為F1，連接F1P，F(xiàn)1Q，因為P關于原點的對稱點為Q，所以F1PFQ是平行四邊形，所以|PF1|＝|FQ|.根據(jù)雙

25、曲線定義知|PF|－|PF1|＝2a，又|PF|＝3|FQ|＝3|PF1|，所以|PF1|＝a，|OP|＝b，|OF1|＝c，因為c2＝a2＋b2，所以∠OPF1＝90°.又因為|PQ|＝2b，|QF1|＝3a，|PF1|＝a，所以(3a)2＝a2＋(2b)2，整理得b2＝2a2即c2＝3a2，所以e＝＝，故選B. 10.(2019·湖北八校二模)設F是拋物線x2＝4y的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則|FA|＋|FB|＋|FC|的值為(　　) A.3 B．6 C．9 D．12 答案　B 解析　因為＋＋＝0，所以F為△ABC的重心，設A，B，C三點的縱坐標分別為y

26、1，y2，y3，則＝y(tǒng)F＝1，所以y1＋y2＋y3＝3.由拋物線定義可知|FA|＝y(tǒng)1＋1，|FB|＝y(tǒng)2＋1，|FC|＝y(tǒng)3＋1，所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋3＝6，故選B. 11.(2019·鄭州第三次質量預測)橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點M，N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設橢圓的右焦點為F1，由橢圓定義知△FMN的周長為|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|MF1|)＋(2－|NF1|)＝4＋|MN|－|MF1|－|NF1|.因為|MF1|＋|NF1|≥|M

27、N|，所以|MN|－|MF1|－|NF1|≤0，當MN過F1時取等號，即直線x＝m過橢圓的右焦點時，△FMN的周長最大，此時|MN|＝，|FF1|＝2，所以S△FMN＝××2＝，故選C. 12.(2019·汕頭市一模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a＋c，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1,0)∪(0,1) C.(－∞，－)∪(，＋∞) D.(－，0)∪(0，) 答案　B 解析　

28、如圖，因為AB⊥BD且BF⊥AD，所以|BF|2＝|AF|·|DF|.因為A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，所以B，則|DF|＝＝.又因為D到直線BC的距離即為|DF|，所以0)， 即x2－＝1(x>0)， 故P為雙曲線x2－＝1右支上一點， 且A，B分別為該雙曲線的左、右焦點

29、， 則|PA|－|PB|＝2a＝2，|PA|＝2＋2＝4. 14.(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. 答案　6 解析　如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A， 過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，

30、 故|FN|＝2|MF|＝6. 15.(2019·四省聯(lián)考診斷)在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足＝λ，當λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足＝2，△PAB的面積的最大值為，△PCD的面積的最小值為，則橢圓的離心率為________． 答案　 解析　依題意A(－a,0)，B(a,0)，設P(x，y)， 依題意得|PA|＝2|PB|， 即＝2， 兩邊平方化簡得2＋y2＝2， 故橢圓的圓心為，半徑r＝.

31、所以△PAB的最大面積為·2a·a＝，解得a＝2，又因△PCD的最小面積為·2b·＝b·＝，解得b＝1. 故橢圓的離心率為e＝＝＝. 16.(2019·廣東六校聯(lián)考)已知直線l：y＝kx＋t與圓C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B兩點，且△C1AB的面積取得最大值，又直線l與拋物線C2：x2＝2y相交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　根據(jù)題意得到△C1AB的面積為r2sinθ，當角度為直角時面積最大，此時△C1AB為等腰直角三角形，則圓心到直線的距離為d＝1，根據(jù)點到直線的距離公式得到＝1?1＋k2＝(1＋t)2?k2＝t2＋2t，直線l與拋物線C2：x2＝2y相交于不同的兩點M，N，聯(lián)立直 線和拋物線方程得到x2－2kx－2t＝0，只需要此方程有兩個不等根即可，所以Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0，解得t的取值范圍為(－∞，－4)∪(0，＋∞). - 19 -