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1、第2講 數(shù)列求和
專題復(fù)習(xí)檢測
A卷
1．(2019年福建泉州模擬)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝( )
A．8 B．9
C．16 D．17
【答案】B
【解析】S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
2．若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．13 B．12
C．11 D．10
【答案】A
【解析】因為
2、a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60.所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
3．已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9 B．15
C．18 D．30
【答案】C
【解析】∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴數(shù)列{an}是首項為－5，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝n2－6n.令
3、an＝2n－7≥0，解得n≥.∴n≤3時，|an|＝－an；n≥4時，|an|＝an.則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.故選C．
4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.
第二步：將數(shù)列的各項乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.
則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( )
A．(n＋1)2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
【答案】C
【解析】a1a2＋a2a3
4、＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·
＝n2
＝n2
＝n2·＝n(n－1)．
5．(2019年安徽皖西七校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】D
【解析】由an＝＝1－，得Sn＝n－＝n－，則Sn＝＝n－.將各選項中的值代入驗證得n＝6.
6．(2018年上海)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，則S7＝________.
【答案】14
【解析】由a3＝0，a6＋a7＝14，得解得a1＝－4，d＝2.∴S7＝7a1＋d＝14.
7．若一個數(shù)列的第m項等于
5、這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2 018積數(shù)列”且a1＞1，則當(dāng)其前n項的乘積取最大值時n的值為________．
【答案】1 008或1 009
【解析】由題可知a1a2a3·…·a2 018＝a2 018，故a1a2a3·…·a2 017＝1，由于{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且a1＞1，所以a1 009＝1，公比0＜q＜1.所以a1 008＞1且0＜a1 010＜1，故當(dāng)數(shù)列{an}的前n項的乘積取最大值時n的值為1 008或1 009.
8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1
6、＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.
【答案】2n＋1－2
【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
9．在正項等比數(shù)列{an}中，公比q∈(0,1)，a3＋a5＝5且a3和a5的等比中項是2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(log2a1＋log2a2＋…＋log2an)，判斷數(shù)列{bn}的前n項和Sn是否存在最大值？若存在，求出使Sn最大時n的值；若不
7、存在，請說明理由．
【解析】(1)依題意a3·a5＝4，又a3＋a5＝5，q∈(0,1)，
∴a3＝4，a5＝1.
∴q2＝＝，即q＝.
∴a1＝＝16，an＝a1·qn－1＝16·n－1＝25－n.
(2)∵log2an＝5－n，
∴bn＝[4＋3＋…＋(5－n)]＝＝.
∵當(dāng)n＜9時，bn＞0；當(dāng)n＝9時，bn＝0；當(dāng)n＞9時，bn＜0.
∴S1＜S2＜…＜S8＝S9＞S10＞S11＞….
∴Sn有最大值，此時n＝8或9.
10．(2019年山東濰坊二模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝8，S4＝40；數(shù)列的前n項和為Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.
8、
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝求數(shù)列{cn}的前n項和Pn.
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由題意，得所以an＝4n.
因為Tn－2bn＋3＝0，所以當(dāng)n＝1時，b1＝3.
當(dāng)n≥2時，Tn－1－2bn－1＋3＝0.
兩式相減，得bn＝2bn－1(n≥2)．
所以數(shù)列為等比數(shù)列，bn＝3·2n－1.
(2)cn＝
當(dāng)n為偶數(shù)時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝2n＋1＋n2－2.
當(dāng)n為奇數(shù)時，n－1為偶數(shù)，
Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－
9、1.
所以Pn＝
B卷
11．(2019年廣東江門模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancos ，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，則S120＝( )
A．7 160 B．7 220
C．7 280 D．7 340
【答案】C
【解析】由nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，得＝＋1，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．又＝1，所以＝n，即an＝n2，所以bn＝n2cos.所以b3k－2＋b3k－1＋b3k＝－(3k－2)2－(3k－1)2＋(3k)2＝9k－.所以S120＝ ＝＝7 280.
12．(2019年東北三校聯(lián)
10、考)如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，前n個內(nèi)切圓的面積和為( )
A．π B．π
C．π D．π
【答案】D
【解析】設(shè)第n個三角形的內(nèi)切圓半徑為an，則易知a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，故數(shù)列{an}是首項為a，公比為的等比數(shù)列．設(shè)前n個內(nèi)切圓面積和為Sn，則Sn＝π(a＋a＋…＋a)
＝πa
＝πa
＝×π＝π.故選D．
13．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其公比為2，設(shè)bn＝log2an且數(shù)列{bn}的前10項的和為25，那么＋＋＋…＋的值為________．
【答案
11、】
【解析】∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其公比為2，∴b1＋b2＋…＋b10＝log2(a1·a2·…·a10)＝
log2(a21＋2＋…＋9)＝25，∴a×245＝225，可得a1＝.那么＋＋＋…＋＝4＝4×＝.
14．(2018年甘肅張掖模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
【解析】(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1.
由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4.
兩式相減，化簡得an＋1＝an.
∴an＝n－1，bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n.
(2)由題意知cn＝＋.
令Hn＝＋＋＋…＋，①
則Hn＝＋＋…＋＋.②
①－②，得Hn＝＋＋＋…＋－＝
1－.
∴Hn＝2－.
＝－，
令Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
∴Tn＝Hn＋Mn＝2－＋.
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2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和練習(xí) 理
